Calcul de la puissance d’un ascenseur
Contexte : Quelle puissance pour soulever une charge ?
Les ascenseurs sont des machines essentielles qui nous transportent verticalement en utilisant un moteur électrique. Pour concevoir un tel système, un ingénieur doit calculer la puissance que le moteur doit fournir. Cette puissance dépend de la charge à soulever (la masse de la cabine et de ses occupants), de la hauteur à gravir et de la vitesse à laquelle on souhaite se déplacer. En physique, la puissanceLa puissance d'une force est l'énergie qu'elle transfère (le travail) par unité de temps. Elle se mesure en Watts (W). est directement liée au travailEn physique, le travail d'une force est l'énergie fournie par cette force lorsque son point d'application se déplace. Il se mesure en Joules (J). d'une force et au temps nécessaire pour effectuer ce travail.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans le calcul de la puissance d'un ascenseur. Nous allons décomposer le problème en calculant d'abord le travail nécessaire pour vaincre la force de pesanteur (le poids), puis en déduire la puissance minimale que le moteur doit développer pour monter à une vitesse constante.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le poids d'un objet à partir de sa masse.
- Calculer le travail d'une force constante lors d'un déplacement rectiligne.
- Appliquer le principe d'inertie dans une situation de mouvement rectiligne uniforme.
- Définir et calculer la puissance moyenne d'une force.
Données de l'étude
Schéma de la situation
- Intensité de la pesanteur : \( g = 9.8 \, \text{N/kg} \)
Questions à traiter
- Calculer la valeur du poids \(\vec{P}\) de l'ascenseur.
- Déterminer la valeur de la force de traction \(\vec{F}\) exercée par le câble sur la cabine.
- Calculer le travail \(W(\vec{F})\) de la force de traction lors de la montée.
- En déduire la puissance moyenne \(P_m\) développée par le moteur de l'ascenseur.
Correction : Calcul de la puissance d’un ascenseur
Question 1 : Calculer la valeur du poids \(\vec{P}\) de l'ascenseur
Principe avec image animée (le concept physique)
Le poids d'un objet est la force d'attraction gravitationnelle exercée sur cet objet par la Terre. C'est une force verticale, dirigée vers le bas. Sa valeur se calcule en multipliant la masse de l'objet par l'intensité de la pesanteur, notée \(g\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La masse (en kg) est une quantité de matière propre à un objet, elle est invariable. Le poids (en N) est une force qui dépend de l'astre qui attire l'objet. Sur la Lune, où l'intensité de la pesanteur est environ 6 fois plus faible, la masse de l'ascenseur serait la même, mais son poids serait 6 fois plus petit.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Ne jamais confondre la masse et le poids ! C'est une des erreurs les plus courantes. Le poids est une force, la masse ne l'est pas. Vérifiez toujours que vos unités sont cohérentes : des kilogrammes (kg) pour la masse, des newtons (N) pour le poids.
Normes (la référence réglementaire)
Les unités utilisées (kilogramme, newton, mètre) sont celles du Système International d'unités (SI), la norme mondiale pour les sciences et l'ingénierie.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'intensité de la pesanteur \(g\) est constante sur toute la hauteur de la montée de l'ascenseur, ce qui est une excellente approximation pour un bâtiment.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Relation Poids-Masse :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \( m = 800 \, \text{kg} \)
- \( g = 9.8 \, \text{N/kg} \)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la valeur du poids :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une force de 7840 Newtons est l'effort que le moteur devra vaincre en permanence juste pour empêcher l'ascenseur de tomber. C'est la force de base contre laquelle tout le système doit travailler.
Point à retenir : Le poids est une force (\(P=m \times g\)) qui représente l'attraction de la Terre sur un objet.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul du poids est la première étape fondamentale car c'est la principale force que le moteur de l'ascenseur doit contrer pour soulever la cabine.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Utiliser la masse dans les calculs de force : Ne jamais utiliser la masse (en kg) directement dans une formule de travail ou de puissance. Il faut toujours la convertir en poids (en N) au préalable.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quelle serait la valeur du poids de l'ascenseur sur la Lune, où \(g_{\text{Lune}} \approx 1.6 \, \text{N/kg}\) ?
Question 2 : Déterminer la valeur de la force de traction \(\vec{F}\)
Principe avec image animée (le concept physique)
L'énoncé précise que l'ascenseur monte à vitesse constante. Cela nous donne une information cruciale. D'après le principe d'inertieAussi appelé première loi de Newton. Si un objet est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle., si un objet est en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle. Ici, les deux forces verticales sont le poids \(\vec{P}\) (vers le bas) et la force de traction du câble \(\vec{F}\) (vers le haut). Pour que leur somme soit nulle, elles doivent se compenser parfaitement.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le principe d'inertie est la première loi de Newton. Il stipule que tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s'exercent sur lui se compensent. Mathématiquement, cela s'écrit \(\Sigma \vec{F} = \vec{0}\). C'est un cas particulier de la dynamique où l'accélération est nulle.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Les mots "vitesse constante" ou "mouvement rectiligne uniforme" dans un énoncé de physique sont un signal fort ! Ils signifient presque toujours que vous devez utiliser le principe d'inertie et que la somme des forces est nulle.
Normes (la référence réglementaire)
Le principe d'inertie est l'un des piliers de la mécanique Newtonienne, qui est le cadre théorique utilisé pour décrire la plupart des mouvements mécaniques à notre échelle.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On néglige les forces de frottement (de l'air, des guides de l'ascenseur). Dans la réalité, le moteur doit fournir une force légèrement supérieure pour compenser ces frottements.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Application du principe d'inertie :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \( P = 7840 \, \text{N} \) (résultat de la Q1)
Calcul(s) (l'application numérique)
Détermination de la valeur de la force de traction :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le moteur doit exercer une force exactement égale au poids pour maintenir une vitesse constante. S'il exerçait une force plus grande, l'ascenseur accélérerait. S'il exerçait une force plus faible, il ralentirait (ou descendrait).
Point à retenir : Un mouvement à vitesse constante implique que les forces se compensent.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Il est crucial de déterminer la force développée par le moteur, car c'est cette force qui effectue le travail que nous allons calculer à l'étape suivante.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ignorer la vitesse constante : Si on oublie que la vitesse est constante, on ne peut pas affirmer que \(F=P\). C'est l'information clé qui permet de résoudre la question.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Si l'ascenseur descendait à vitesse constante, quelle serait la valeur de la force de traction \(\vec{F}\) ?
Question 3 : Calculer le travail \(W(\vec{F})\) de la force de traction
Principe (le concept physique)
Le travailEn physique, le travail d'une force est l'énergie fournie par cette force lorsque son point d'application se déplace. Il se mesure en Joules (J). d'une force est l'énergie transférée par cette force au système. Lorsque la force est constante et dans la même direction que le déplacement, son travail est dit "moteur". Il se calcule simplement en multipliant la valeur de la force par la longueur du déplacement.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule complète du travail est \(W(\vec{F}) = F \times d \times \cos(\alpha)\), où \(\alpha\) est l'angle entre la force et le déplacement. Ici, la force de traction et le déplacement sont tous deux verticaux vers le haut, donc l'angle \(\alpha = 0°\) et \(\cos(0°) = 1\). La formule se simplifie donc en \(W(\vec{F}) = F \times h\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Le travail est une énergie. Son unité est le Joule (J). Un Joule, c'est le travail d'une force de 1 Newton se déplaçant sur 1 mètre. C'est une très petite quantité d'énergie, c'est pourquoi on utilise souvent le kilojoule (kJ).
Normes (la référence réglementaire)
Le Joule (J) est l'unité d'énergie et de travail du Système International d'unités (SI). Il a été nommé en l'honneur du physicien anglais James Prescott Joule.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la force de traction est constante tout au long du déplacement, ce qui est cohérent avec l'hypothèse d'une vitesse constante.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Travail d'une force motrice :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \( F = 7840 \, \text{N} \) (résultat de la Q2)
- \( h = 15 \, \text{m} \)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du travail de la force de traction :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le moteur doit fournir une énergie de 117 600 Joules pour monter l'ascenseur de 15 mètres. Pour donner un ordre de grandeur, c'est à peu près l'énergie nécessaire pour faire bouillir un demi-litre d'eau.
Point à retenir : Le travail d'une force motrice est l'énergie qu'elle fournit au système. Il se calcule par \(W = F \times d\).
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul du travail est l'étape intermédiaire entre la force et la puissance. La puissance étant une énergie par unité de temps, il faut d'abord calculer cette énergie (le travail).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Unités : Assurez-vous que la force est en Newtons (N) et la distance en mètres (m) pour obtenir un travail en Joules (J). Ne mélangez pas les kilomètres, les grammes, etc.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quel serait le travail de la force de traction si la hauteur était de 30 m ?
Question 4 : En déduire la puissance moyenne \(P_m\)
Principe (le concept physique)
La puissanceLa puissance d'une force est l'énergie qu'elle transfère (le travail) par unité de temps. Elle se mesure en Watts (W). est une mesure de la rapidité à laquelle un travail est effectué. C'est le "débit" d'énergie. Pour calculer la puissance moyenne, il suffit de diviser le travail total effectué par la durée nécessaire pour le réaliser.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La puissance moyenne est \(P_m = W / \Delta t\). Il existe aussi une puissance instantanée, \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\), qui est le produit scalaire de la force et de la vitesse. Dans notre cas de mouvement rectiligne uniforme, la vitesse est constante et la puissance instantanée est égale à la puissance moyenne. \(P = F \times v\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Une grande puissance ne signifie pas forcément une grande force. On peut avoir une grande puissance avec une petite force appliquée très rapidement (un TGV), ou avec une grande force appliquée lentement (un tracteur qui laboure un champ).
Normes (la référence réglementaire)
Le Watt (W) est l'unité de puissance du Système International d'unités (SI). Il a été nommé en l'honneur de l'ingénieur écossais James Watt pour ses contributions à l'amélioration de la machine à vapeur.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On calcule une puissance moyenne sur la durée du trajet. On ne tient pas compte des pics de puissance qui peuvent survenir au démarrage.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Puissance moyenne :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \( W(\vec{F}) = 117600 \, \text{J} \) (résultat de la Q3)
- \( \Delta t = 12 \, \text{s} \)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la puissance moyenne :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une puissance de 9.8 kilowatts (kW) est une puissance significative, équivalente à celle d'environ 5 bouilloires électriques fonctionnant en même temps. C'est l'énergie que le moteur doit fournir chaque seconde pour maintenir le mouvement de l'ascenseur.
Point à retenir : La puissance est le travail divisé par le temps. Elle mesure la rapidité d'un transfert d'énergie.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul de la puissance est l'objectif final de l'exercice. C'est la caractéristique la plus importante pour un ingénieur qui doit choisir un moteur. Un moteur est défini par la puissance maximale qu'il peut fournir.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Confondre Travail et Puissance : Le travail est une quantité d'énergie (en Joules), tandis que la puissance est un débit d'énergie (en Watts, ou Joules par seconde). Ne pas diviser par le temps est une erreur fréquente.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quelle serait la puissance nécessaire si le trajet de 15 m se faisait en seulement 6 secondes ?
Mini Fiche Mémo : Calcul de la puissance d’un ascenseur
| Étape | Formule Clé & Objectif |
|---|---|
| 1. Calcul du Poids | \( P = m \times g \) Déterminer la force que la gravité exerce sur l'objet. |
| 2. Force du Moteur | Si v=cste, \( F = P \) Utiliser le principe d'inertie pour trouver la force à appliquer. |
| 3. Travail de la Force | \( W = F \times h \) Calculer l'énergie nécessaire pour effectuer le déplacement. |
| 4. Puissance Moyenne | \( P_m = W / \Delta t \) Calculer le débit d'énergie, c'est-à-dire la puissance. |
Outil Interactif : Calcul de la puissance d’un ascenseur
Modifiez la masse de l'ascenseur et le temps de montée pour voir comment la puissance requise change.
Paramètres
Résultats Calculés
Pour aller plus loin
Et le démarrage ? Notre calcul suppose une vitesse constante. En réalité, l'ascenseur doit accélérer au départ. Pendant cette phase, la force de traction du moteur doit être supérieure au poids. La puissance instantanée au démarrage est donc plus élevée que la puissance moyenne que nous avons calculée.
Le rôle du contrepoids : La plupart des ascenseurs utilisent un contrepoids, une masse lourde qui descend quand la cabine monte. Ce système ingénieux permet de réduire considérablement la force (et donc la puissance) que le moteur doit fournir, car il n'a plus qu'à soulever la différence de masse entre la cabine et le contrepoids. Cela permet d'économiser énormément d'énergie.
Le Saviez-Vous ?
La puissance des moteurs est souvent exprimée en "cheval-vapeur" (ch). Cette unité a été inventée par James Watt pour comparer la puissance de ses machines à vapeur à celle des chevaux de trait. Un cheval-vapeur équivaut à environ 735.5 Watts. Le moteur de notre ascenseur (9800 W) a donc une puissance d'environ 13.3 chevaux !
Foire Aux Questions (FAQ)
Le travail du poids est-il toujours négatif quand un objet monte ?
Oui. Le travail d'une force est dit "résistant" (et est donc négatif) lorsque la force s'oppose au déplacement. Comme le poids est toujours dirigé vers le bas, son travail est résistant lors d'une montée, et moteur (positif) lors d'une descente.
Que se passe-t-il si l'ascenseur accélère ?
Si l'ascenseur accélère vers le haut, le principe d'inertie ne s'applique plus. La somme des forces n'est plus nulle. La force de traction \(\vec{F}\) doit être supérieure au poids \(\vec{P}\) pour provoquer l'accélération. Le calcul de la force se fait alors avec la deuxième loi de Newton (\(\Sigma \vec{F} = m\vec{a}\)), étudiée dans les classes supérieures.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on monte la même charge deux fois plus vite, la puissance nécessaire est :
2. Le travail du poids d'un objet qui monte de 10 mètres puis redescend à son point de départ est :
- Travail d'une force (W)
- Énergie transférée par une force lors d'un déplacement. Il se mesure en Joules (J). Un travail est moteur (positif) s'il favorise le mouvement, et résistant (négatif) s'il s'y oppose.
- Puissance (P)
- Le travail effectué par unité de temps. C'est un débit d'énergie. L'unité est le Watt (W), où 1 W = 1 J/s.
- Principe d'inertie
- Aussi appelé première loi de Newton. Si un objet est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle (\(\Sigma \vec{F} = \vec{0}\)).
- Poids (P)
- Force de gravitation exercée par la Terre sur un objet. C'est une force verticale dirigée vers le bas, de valeur \(P = m \times g\).
D’autres exercices de physique seconde:
0 commentaires