Calcul de la vitesse finale d’un skateur
Comprendre le Calcul de la vitesse finale d’un skateur
Alex est un skateur amateur qui s’entraîne pour une compétition. Il souhaite évaluer sa vitesse lorsqu’il descend une rampe de skate. La rampe a une pente inclinée de 30 degrés par rapport à l’horizontale et une hauteur de 5 mètres.
Données :
- Hauteur de la rampe (h) = 5 mètres
- Angle de la pente = 30 degrés
- Gravité (g) = 9.81 m/s²
- Masse d’Alex (m) = 50 kg
Questions :
1. Quelle est l’énergie potentielle d’Alex au sommet de la rampe ?
2. En supposant qu’il n’y a pas de frottement, quelle serait sa vitesse à la base de la rampe ?
3. Si le coefficient de frottement entre la planche de skate et la rampe est de 0.1, quelle serait sa vitesse à la base de la rampe en tenant compte du frottement ?
Correction : Calcul de la vitesse finale d’un skateur
1. Calcul de l’énergie potentielle d’Alex au sommet de la rampe
L’énergie potentielle gravitationnelle \(E_p\) est l’énergie qu’un objet possède en raison de sa position élevée par rapport à un point de référence. Elle est calculée en utilisant la formule \(E_p = mgh\), où \(m\) est la masse, \(g\) est l’accélération due à la gravité, et \(h\) est la hauteur au-dessus du point de référence.
Formule :
\[ E_p = m \times g \times h \]
Données :
- Masse d’Alex, \(m = 50\) kg
- Gravité, \(g = 9.81\) m/s\(^2\)
- Hauteur de la rampe, \(h = 5\) m
Calcul :
\[ E_p = 50 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 5 \, \text{m} \] \[ E_p = 2452.5 \, \text{joules} \]
2. Vitesse d’Alex à la base de la rampe sans frottement
En l’absence de frottement, toute l’énergie potentielle au sommet de la rampe se convertit en énergie cinétique (\(E_c\)) à la base. L’énergie cinétique est donnée par la formule \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\), où \(v\) est la vitesse.
Formule :
\[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 \]
Calcul :
\[ v = \sqrt{\frac{2 \times mgh}{m}} \] \[ v = \sqrt{\frac{2 \times 2452.5 \, \text{joules}}{50 \, \text{kg}}} \] \[ v = \sqrt{98.1 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \] \[ v \approx 9.9 \, \text{m/s} \]
3. Vitesse d’Alex à la base de la rampe avec frottement
Avec le frottement, une partie de l’énergie potentielle est convertie en travail contre le frottement, ce qui réduit l’énergie cinétique finale. Si le coefficient de frottement est \(\mu\), et la force de frottement \(F_f = \mu mg \cos(\theta)\), l’énergie dissipée par frottement sur la distance \(d\) (la longueur de la rampe) est calculée.
Formule :
\[ W_f = F_f \times d = \mu mg \cos(\theta) \times d \]
Calcul de \(d\) :
\[ d = \frac{h}{\sin(\theta)} \] \[ d = \frac{5 \, \text{m}}{\sin(30^\circ)} \] \[ d = 10 \, \text{m} \]
Calcul de l’énergie dissipée :
\[ W_f = 0.1 \times 50 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times \cos(30^\circ) \times 10 \, \text{m} \] \[ W_f = 423.9 \, \text{joules} \]
Nouvelle énergie cinétique :
\[ E_c = E_p – W_f \] \[ E_c = 2452.5 \, \text{joules} – 423.9 \, \text{joules} \] \[ E_c = 2028.6 \, \text{joules} \]
Nouvelle vitesse avec frottement :
\[ E_c = \frac{1}{2}mv^2 \] \[ 2028.6 \, \text{joules} = \frac{1}{2} \times 50 \, \text{kg} \times v^2 \] \[ v^2 = \frac{4057.2 \, \text{joules}}{50 \, \text{kg}} \] \[ v^2 = 81.14 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \] \[ v \approx 9.0 \, \text{m/s} \]
Calcul de la vitesse finale d’un skateur
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