Analyse du mouvement d'un projectile

Le mouvement d'un projectile, comme une balle lancée ou un objet tombant d'une table, peut être décomposé en un mouvement horizontal et un mouvement vertical. En négligeant la résistance de l'air, le mouvement horizontal est uniforme et le mouvement vertical est uniformément varié (soumis à l'accélération de la pesanteur).

Données du Problème

Une bille est lancée horizontalement depuis le bord d'une table haute.

Hauteur de la table (altitude initiale de lancement) : \(h_0 = 1,25 \, \text{m}\)
Vitesse initiale horizontale de la bille : \(v_{0x} = 2,0 \, \text{m/s}\)
La vitesse initiale verticale est nulle : \(v_{0y} = 0 \, \text{m/s}\)
Intensité de la pesanteur : \(g = 9,8 \, \text{m/s}^2\)
On choisit un repère (O, x, y) avec l'origine O au pied de la table, l'axe Ox horizontal dans le sens du lancement, et l'axe Oy vertical orienté vers le haut. La position initiale de la bille est donc \(x_A = 0 \, \text{m}\) et \(y_A = h_0\).

Lancement horizontal d'une bille depuis une table.

Simulateur de Lancement de Projectile

Temps: 0.00 s

Position X: 0.00 m

Altitude Y: 1.25 m

Vitesse X: 2.0 m/s

Vitesse Y: 0.0 m/s

Phase: Prêt

Questions

Écrire les équations horaires du mouvement de la bille selon l'axe horizontal (Ox) et selon l'axe vertical (Oy). On prendra \(t_0 = 0\) à l'instant du lancement.
Calculer le temps de chute \(t_{chute}\) de la bille (temps mis pour atteindre le sol, \(y=0\)).
Calculer la portée horizontale \(x_B\) de la bille (distance horizontale parcourue avant de toucher le sol).
Calculer les composantes horizontale (\(v_x\)) et verticale (\(v_y\)) de la vitesse de la bille juste avant qu'elle ne touche le sol.
Calculer la valeur (norme) de la vitesse finale \(v_B\) de la bille juste avant l'impact au sol.
Calculer l'énergie cinétique \(E_{c,A}\) de la bille au point de lancement A.
Calculer l'énergie potentielle de pesanteur \(E_{p,A}\) de la bille au point de lancement A (en prenant le sol comme référence, \(y=0\)).
En supposant la conservation de l'énergie mécanique (frottements de l'air négligés), quelle devrait être l'énergie cinétique \(E_{c,B}\) de la bille juste avant de toucher le sol au point B ?
Retrouver la vitesse \(v_B\) à partir de cette énergie cinétique \(E_{c,B}\) et comparer avec le résultat de la question 5.

Correction : Analyse du mouvement d’un projectile

1. Équations Horaires du Mouvement

Le mouvement du projectile est décomposé en un mouvement horizontal et un mouvement vertical.

Selon Ox (horizontal) : Le mouvement est rectiligne uniforme (pas de force horizontale si on néglige les frottements de l'air). L'accélération \(a_x = 0\). La vitesse \(v_x(t) = v_{0x}\). La position \(x(t) = x_A + v_{0x} \times t\).
Selon Oy (vertical) : Le mouvement est rectiligne uniformément varié (soumis au poids). L'accélération \(a_y = -g\) (car l'axe Oy est orienté vers le haut). La vitesse \(v_y(t) = v_{0y} - g \times t\). La position \(y(t) = y_A + v_{0y} \times t - \frac{1}{2} g t^2\).

Données pour cette étape

\(x_A = 0 \, \text{m}\), \(y_A = h_0 = 1,25 \, \text{m}\)
\(v_{0x} = 2,0 \, \text{m/s}\)
\(v_{0y} = 0 \, \text{m/s}\)
\(g = 9,8 \, \text{m/s}^2\)

Équations

\[ \begin{aligned} x(t) &= 0 + 2,0 \times t \Rightarrow x(t) = 2,0 \times t \\ y(t) &= 1,25 + 0 \times t - \frac{1}{2} \times 9,8 \times t^2 \Rightarrow y(t) = 1,25 - 4,9 \times t^2 \end{aligned} \] (avec \(x, y\) en mètres et \(t\) en secondes)

Résultat

Les équations horaires sont :

\(x(t) = 2,0 \times t\)
\(y(t) = 1,25 - 4,9 \times t^2\)

2. Calcul du Temps de Chute \(t_{chute}\)

La bille atteint le sol lorsque son altitude \(y(t_{chute})\) est nulle. On résout donc \(y(t_{chute}) = 0\).

Données pour cette étape

Équation horaire verticale : \(y(t) = 1,25 - 4,9 \times t^2\)

Calcul

\[ \begin{aligned} 0 &= 1,25 - 4,9 \times t_{chute}^2 \\ 4,9 \times t_{chute}^2 &= 1,25 \\ t_{chute}^2 &= \frac{1,25}{4,9} \\ t_{chute}^2 &\approx 0,2551 \\ t_{chute} &= \sqrt{0,2551} \\ &\approx 0,505 \, \text{s} \end{aligned} \] (On ne considère que la racine positive car le temps est positif).

Résultat

Le temps de chute de la bille est \(t_{chute} \approx 0,505 \, \text{s}\).

3. Calcul de la Portée Horizontale \(x_B\)

La portée horizontale \(x_B\) est la distance horizontale parcourue pendant le temps de chute \(t_{chute}\). On utilise l'équation horaire \(x(t)\).

Données pour cette étape

Équation horaire horizontale : \(x(t) = 2,0 \times t\)
Temps de chute \(t_{chute} \approx 0,505 \, \text{s}\) (calculé à l'étape 2)

Calcul

\begin{aligned} x_B &= x(t_{chute}) \\ &= 2,0 \times 0,505 \\ &= 1,01 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

La portée horizontale de la bille est \(x_B \approx 1,01 \, \text{m}\).

4. Composantes de la Vitesse à l'Impact

La composante horizontale de la vitesse \(v_x\) reste constante pendant tout le mouvement (frottements négligés). La composante verticale de la vitesse \(v_y\) évolue selon \(v_y(t) = v_{0y} - g \times t\). On la calcule à \(t = t_{chute}\).

Données pour cette étape

\(v_{0x} = 2,0 \, \text{m/s}\)
\(v_{0y} = 0 \, \text{m/s}\)
\(g = 9,8 \, \text{m/s}^2\)
\(t_{chute} \approx 0,505 \, \text{s}\)

Calculs

Composante horizontale \(v_x(t_{chute})\) :

v_x(t_{chute}) = v_{0x} = 2,0 \, \text{m/s}

Composante verticale \(v_y(t_{chute})\) :

\[ \begin{aligned} v_y(t_{chute}) &= v_{0y} - g \times t_{chute} \\ &= 0 - 9,8 \times 0,505 \\ &\approx -4,949 \, \text{m/s} \end{aligned} \] (Le signe négatif indique que la vitesse est dirigée vers le bas).

Résultat

Juste avant l'impact :

Composante horizontale de la vitesse : \(v_x \approx 2,0 \, \text{m/s}\)
Composante verticale de la vitesse : \(v_y \approx -4,95 \, \text{m/s}\)

5. Valeur de la Vitesse Finale \(v_B\)

La valeur (norme) de la vitesse finale \(v_B\) est calculée à partir de ses composantes \(v_x\) et \(v_y\) en utilisant le théorème de Pythagore : \(v_B = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\).

Données pour cette étape

\(v_x \approx 2,0 \, \text{m/s}\)
\(v_y \approx -4,949 \, \text{m/s}\)

Calcul

\begin{aligned} v_B &= \sqrt{v_x(t_{chute})^2 + v_y(t_{chute})^2} \\ &= \sqrt{(2,0)^2 + (-4,949)^2} \\ &= \sqrt{4,0 + 24,4926} \\ &= \sqrt{28,4926} \\ &\approx 5,338 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat

La valeur de la vitesse finale de la bille juste avant l'impact est \(v_B \approx 5,34 \, \text{m/s}\).

6. Énergie Cinétique \(E_{c,A}\) au Lancement

\(E_{c,A} = \frac{1}{2} m v_A^2\). La vitesse initiale \(v_A\) est la vitesse horizontale \(v_{0x}\) car \(v_{0y}=0\).

Données pour cette étape

Masse (à convertir) : \(m = 100 \, \text{g} = 0,100 \, \text{kg}\)
Vitesse initiale \(v_A = v_{0x} = 2,0 \, \text{m/s}\)

Calcul

\begin{aligned} E_{c,A} &= \frac{1}{2} m v_{0x}^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 0,100 \, \text{kg} \times (2,0 \, \text{m/s})^2 \\ &= 0,050 \times 4,0 \\ &= 0,20 \, \text{J} \end{aligned}

Résultat

L'énergie cinétique de la bille au lancement est \(E_{c,A} = 0,20 \, \text{J}\).

7. Énergie Potentielle de Pesanteur \(E_{p,A}\) au Lancement

\(E_{p,A} = m g h_0\), avec \(h_0\) l'altitude initiale.

Données pour cette étape

Masse \(m = 0,100 \, \text{kg}\)
\(g = 9,8 \, \text{N/kg}\)
Altitude initiale \(h_0 = 1,25 \, \text{m}\)

Calcul

\begin{aligned} E_{p,A} &= m g h_0 \\ &= 0,100 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg} \times 1,25 \, \text{m} \\ &= 1,225 \, \text{J} \end{aligned}

Résultat

L'énergie potentielle de pesanteur de la bille au lancement est \(E_{p,A} = 1,225 \, \text{J}\).

8. Énergie Cinétique \(E_{c,B}\) Juste Avant l'Impact (par Conservation)

L'énergie mécanique \(E_m = E_c + E_p\) se conserve. \(E_{m,A} = E_{c,A} + E_{p,A}\). Au point B (sol), \(h_B = 0\), donc \(E_{p,B} = 0\). Donc \(E_{m,B} = E_{c,B} + 0 = E_{c,B}\). Par conservation, \(E_{m,A} = E_{m,B}\), donc \(E_{c,A} + E_{p,A} = E_{c,B}\).

Données pour cette étape

\(E_{c,A} = 0,20 \, \text{J}\) (calculée à l'étape 6)
\(E_{p,A} = 1,225 \, \text{J}\) (calculée à l'étape 7)

Calcul

\begin{aligned} E_{c,B} &= E_{c,A} + E_{p,A} \\ &= 0,20 \, \text{J} + 1,225 \, \text{J} \\ &= 1,425 \, \text{J} \end{aligned}

Résultat

L'énergie cinétique de la bille juste avant de toucher le sol est \(E_{c,B} = 1,425 \, \text{J}\).

9. Vitesse \(v_B\) à partir de \(E_{c,B}\)

On utilise \(E_{c,B} = \frac{1}{2} m v_B^2\) pour trouver \(v_B\). \[ v_B = \sqrt{\frac{2 \times E_{c,B}}{m}} \]

Données pour cette étape

\(E_{c,B} = 1,425 \, \text{J}\)
Masse \(m = 0,100 \, \text{kg}\)

Calcul

\begin{aligned} v_B &= \sqrt{\frac{2 \times E_{c,B}}{m}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \times 1,425 \, \text{J}}{0,100 \, \text{kg}}} \\ &= \sqrt{\frac{2,85}{0,100}} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{28,5} \, \text{m/s} \\ &\approx 5,3385... \, \text{m/s} \end{aligned}

Comparaison : Cette valeur (\(\approx 5,34 \, \text{m/s}\)) est la même que celle trouvée à la question 5 (\(\approx 5,34 \, \text{m/s}\)), ce qui est cohérent.

Résultat

La vitesse \(v_B\) calculée à partir de l'énergie cinétique est \(v_B \approx 5,34 \, \text{m/s}\), ce qui correspond au résultat précédent.

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Lors d'un lancement horizontal, la composante horizontale de la vitesse du projectile (en l'absence de frottements) :

Augmente
Diminue
Reste constante

Question 2 : La composante verticale de la vitesse d'un projectile lancé horizontalement :

Est initialement nulle et augmente vers le bas
Est constante et non nulle
Est initialement nulle et reste nulle

Question 3 : La portée horizontale d'un projectile lancé horizontalement dépend de :

Uniquement sa vitesse initiale horizontale
Uniquement sa hauteur de lancement
Sa vitesse initiale horizontale et sa hauteur de lancement

Question 4 : Si on double la hauteur de lancement d'un projectile lancé horizontalement (vitesse initiale inchangée), le temps de chute sera multiplié par :

2
\(\sqrt{2}\)
4

Question 5 : L'énergie mécanique d'un projectile en vol libre (sans frottements) :

Augmente toujours
Diminue toujours
Reste constante

Réponses du Quiz

Réponse 1 : c) Reste constante

Réponse 2 : a) Est initialement nulle et augmente vers le bas

Réponse 3 : c) Sa vitesse initiale horizontale et sa hauteur de lancement

Réponse 4 : b) \(\sqrt{2}\) (car \(t = \sqrt{2h/g}\))

Réponse 5 : c) Reste constante

Glossaire des Termes Clés

Projectile :

Objet lancé dans l'espace et soumis uniquement à la force de pesanteur (et éventuellement aux frottements de l'air).

Trajectoire :

Chemin suivi par le projectile au cours de son mouvement.

Portée Horizontale :

Distance horizontale maximale parcourue par le projectile avant de toucher le sol (ou un niveau de référence).

Temps de Chute :

Durée pendant laquelle le projectile est en l'air avant d'atteindre le sol.

Équations Horaires :

Équations mathématiques qui décrivent la position (\(x(t), y(t)\)) et la vitesse (\(v_x(t), v_y(t)\)) d'un mobile en fonction du temps.

Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) :

Mouvement dont la trajectoire est une droite et la vitesse est constante.

Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV) :

Mouvement dont la trajectoire est une droite et l'accélération est constante (et non nulle).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment la résistance de l'air affecterait-elle la portée et le temps de chute de la bille ?

2. Si la bille était lancée avec le même angle initial mais avec une vitesse initiale plus grande, comment cela affecterait-il sa portée et son altitude maximale ?

3. Pour un lancement avec un angle par rapport à l'horizontale, quel angle de lancement (pour une vitesse initiale donnée) permet d'obtenir la portée horizontale maximale (en l'absence de frottements) ?

4. Comment le mouvement d'un projectile est-il utilisé dans des sports comme le basketball, le javelot ou le saut en longueur ?

Analyse du mouvement d’un projectile