Analyse Dynamique d’une Météorite
Appliquer les principes de l'énergie mécanique et du travail des forces pour analyser le mouvement d'une météorite entrant dans l'atmosphère terrestre.
Lorsqu'une météorite pénètre dans l'atmosphère terrestre, elle est soumise à la force de pesanteur et à d'importantes forces de frottement avec l'air. Ces frottements provoquent un échauffement intense et une perte d'énergie mécanique.
L'énergie cinétique (\(E_c\)) est \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\).
L'énergie potentielle de pesanteur (\(E_p\)) est \(E_p = m \cdot g \cdot h\), où \(h\) est l'altitude.
L'énergie mécanique (\(E_m\)) est \(E_m = E_c + E_p\).
Le théorème de l'énergie mécanique stipule que la variation d'énergie mécanique \(\Delta E_m\) d'un système est égale au travail \(W_{fnc}\) des forces non conservatives (comme les frottements) :
Si une force de frottement moyenne \(F_f\) s'exerce sur une distance \(d\), son travail est \(W_f = -F_f \cdot d\) (négatif car la force s'oppose au déplacement).
Données du Problème
Une petite météorite pénètre dans l'atmosphère terrestre.
- Masse de la météorite : \(m = 2.0 \text{ kg}\)
- Altitude initiale (point A) où l'on commence l'étude : \(h_A = 80 \text{ km}\)
- Vitesse initiale de la météorite au point A : \(v_A = 500 \text{ m/s}\)
- Altitude finale (point B) avant un éventuel impact ou désintégration : \(h_B = 20 \text{ km}\)
- Accélération de la pesanteur (supposée constante sur cette plage d'altitude) : \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
- Force de frottement moyenne exercée par l'atmosphère entre A et B : \(F_f = 10 \text{ N}\) (valeur ajustée pour la cohérence de l'exercice)
Attention aux conversions d'unités (km en m).
Questions
- Convertir les altitudes \(h_A\) et \(h_B\) en mètres. Calculer la distance \(d\) parcourue par la météorite entre A et B (on supposera une trajectoire quasi-verticale pour simplifier le calcul de cette distance, donc \(d = h_A - h_B\)).
- Calculer l'énergie potentielle de pesanteur \(E_{pA}\) de la météorite au point A.
- Calculer l'énergie cinétique \(E_{cA}\) de la météorite au point A.
- En déduire l'énergie mécanique initiale \(E_{mA}\) de la météorite au point A.
- Calculer le travail \(W_f\) de la force de frottement moyenne \(F_f\) lorsque la météorite se déplace du point A au point B. (Utiliser la valeur ajustée de \(F_f = 10 \text{ N}\) pour la suite).
- En utilisant le théorème de l'énergie mécanique, calculer l'énergie mécanique finale \(E_{mB}\) de la météorite au point B.
- Calculer l'énergie potentielle de pesanteur \(E_{pB}\) de la météorite au point B.
- En déduire l'énergie cinétique \(E_{cB}\) de la météorite au point B.
- Calculer la vitesse \(v_B\) de la météorite au point B.
Correction : Analyse Dynamique d’une Météorite
1. Conversion des Altitudes et Calcul de la Distance \(d\)
\(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\).
Données :
- \(h_A = 80 \text{ km}\)
- \(h_B = 20 \text{ km}\)
Altitudes en mètres :
Distance parcourue \(d\) (supposée verticale) :
\(h_A = 80000 \text{ m}\), \(h_B = 20000 \text{ m}\).
La distance parcourue entre A et B est \(d = 60000 \text{ m}\) (ou 60 km).
2. Calcul de l'Énergie Potentielle Initiale (\(E_{pA}\))
\(E_p = m \cdot g \cdot h\).
Données :
- \(m = 2.0 \text{ kg}\)
- \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
- \(h_A = 80000 \text{ m}\)
L'énergie potentielle initiale est \(E_{pA} = 1568000 \text{ J}\).
3. Calcul de l'Énergie Cinétique Initiale (\(E_{cA}\))
\(E_c = \frac{1}{2} m v^2\).
Données :
- \(m = 2.0 \text{ kg}\)
- \(v_A = 500 \text{ m/s}\)
L'énergie cinétique initiale est \(E_{cA} = 250000 \text{ J}\).
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4. Énergie Mécanique Initiale (\(E_{mA}\))
\(E_m = E_p + E_c\).
Données calculées :
- \(E_{pA} = 1568000 \text{ J}\)
- \(E_{cA} = 250000 \text{ J}\)
L'énergie mécanique initiale est \(E_{mA} = 1818000 \text{ J}\).
5. Travail de la Force de Frottement (\(W_f\))
Le travail d'une force de frottement constante \(F_f\) s'opposant au mouvement sur une distance \(d\) est \(W_f = -F_f \cdot d\). On utilise la valeur ajustée de \(F_f = 10 \text{ N}\).
Données :
- \(F_f = 10 \text{ N}\)
- \(d = 60000 \text{ m}\)
Le travail de la force de frottement est \(W_f = -600000 \text{ J}\).
6. Énergie Mécanique Finale (\(E_{mB}\))
D'après le théorème de l'énergie mécanique : \(\Delta E_m = E_{mB} - E_{mA} = W_f\). Donc, \(E_{mB} = E_{mA} + W_f\).
Données calculées :
- \(E_{mA} = 1818000 \text{ J}\)
- \(W_f = -600000 \text{ J}\) (avec \(F_f = 10 \text{ N}\))
L'énergie mécanique finale est \(E_{mB} = 1218000 \text{ J}\) (en supposant \(F_f = 10 \text{ N}\)).
7. Énergie Potentielle de Pesanteur au Point B (\(E_{pB}\))
\(E_p = m \cdot g \cdot h\).
Données :
- \(m = 2.0 \text{ kg}\)
- \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
- \(h_B = 20000 \text{ m}\)
L'énergie potentielle de pesanteur au point B est \(E_{pB} = 392000 \text{ J}\).
8. Énergie Cinétique au Point B (\(E_{cB}\)) (avec \(F_f = 10 \text{ N}\))
On utilise \(E_{mB} = E_{cB} + E_{pB}\), donc \(E_{cB} = E_{mB} - E_{pB}\).
Données calculées :
- \(E_{mB} = 1218000 \text{ J}\)
- \(E_{pB} = 392000 \text{ J}\)
L'énergie cinétique au point B est \(E_{cB} = 826000 \text{ J}\).
9. Vitesse (\(v_B\)) de la Météorite au Point B (avec \(F_f = 10 \text{ N}\))
On utilise \(E_{cB} = \frac{1}{2} m v_B^2\), donc \(v_B = \sqrt{\frac{2 E_{cB}}{m}}\).
Données :
- \(E_{cB} = 826000 \text{ J}\)
- \(m = 2.0 \text{ kg}\)
La vitesse de la météorite au point B est \(v_B \approx 908.8 \text{ m/s}\).
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Glossaire des Termes Clés
Météorite :
Fragment d'un corps céleste (astéroïde, comète) qui atteint la surface de la Terre après avoir traversé l'atmosphère.
Énergie Cinétique (\(E_c\)) :
Énergie possédée par un corps en raison de son mouvement.
Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_p\)) :
Énergie stockée par un corps en raison de sa position dans un champ de pesanteur.
Énergie Mécanique (\(E_m\)) :
Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système.
Force de Frottement (Résistance de l'air) :
Force qui s'oppose au mouvement d'un objet se déplaçant dans un fluide (comme l'air).
Travail d'une Force (\(W\)) :
Transfert d'énergie effectué par une force lorsque son point d'application se déplace. Un travail résistant (négatif) enlève de l'énergie mécanique au système.
Théorème de l'Énergie Mécanique :
La variation de l'énergie mécanique d'un système est égale à la somme des travaux des forces non conservatives appliquées au système.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. La force de frottement de l'air sur une météorite dépend-elle de sa vitesse ? Si oui, comment cela compliquerait-il les calculs ?
2. Pourquoi les météorites s'échauffent-elles et deviennent-elles lumineuses (étoiles filantes) en entrant dans l'atmosphère ?
3. Si la météorite se fragmentait en plusieurs morceaux pendant sa descente, comment cela affecterait-il l'énergie totale des fragments par rapport à l'énergie de la météorite initiale (en négligeant la perte de masse par vaporisation) ?
4. Comment l'angle d'entrée de la météorite dans l'atmosphère influencerait-il sa trajectoire et la distance parcourue dans l'atmosphère ?
5. Recherchez ce qu'est la "vitesse de libération" pour la Terre. Quel est le lien avec l'énergie des objets qui s'approchent de la Terre depuis l'espace lointain ?
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