Analyse d’un Concert en Plein Air
Comprendre l’Analyse d’un Concert en Plein Air
Un groupe de musique joue dans un parc. Le son voyage depuis la scène jusqu’à un spectateur situé à 170 mètres. On considère que la vitesse du son dans l’air est de 340 m/s. Pendant un moment fort du concert, le guitariste joue un solo à une fréquence de 440 Hz (la note « La » standard).
Questions
- Calcul de la Durée du Voyage du Son
- Combien de temps le son met-il pour parvenir du guitariste au spectateur ?
- Détermination de la Longueur d’Onde du Son
- Quelle est la longueur d’onde de la note jouée par le guitariste ?
- Intensité Sonore
- Si l’intensité sonore \(I\) à 1 mètre de la source est de \(1 \times 10^{-5}\, \text{W/m}^2\), calculez l’intensité sonore au niveau du spectateur, en supposant une propagation sphérique du son sans absorption par l’air. Utilisez la formule: \( I = \frac{P}{4\pi r^2} \) où \(P\) est la puissance de la source sonore et \(r\) est la distance du spectateur à la source. On néglige l’absorption du son par l’air sur cette distance.
Correction : Analyse d’un Concert en Plein Air
1. Calcul de la Durée du Voyage du Son
La durée \( t \) que met le son pour parcourir une distance \( d \) est donnée par la formule :
\[t = \frac{d}{v}\]
En substituant les valeurs :
\[t = \frac{170 \, \text{m}}{340 \, \text{m/s}}\]
\[t = 0,5 \, \text{s}\]
Interprétation :
Le son met 0,5 seconde pour parvenir du guitariste au spectateur.
2. Détermination de la longueur d’onde
La longueur d’onde \( \lambda \) se calcule à partir de la vitesse du son \( v \) et de la fréquence \( f \) :
\[\lambda = \frac{v}{f}\]
En substituant les valeurs :
\[\lambda = \frac{340 \, \text{m/s}}{440 \, \text{Hz}}\]
\[\lambda\approx 0,7727 \, \text{m}\]
Interprétation :
La longueur d’onde de la note jouée est d’environ 0,773 m.
3. Calcul de l’intensité sonore au niveau du spectateur
On suppose une propagation sphérique du son sans absorption dans l’air.
- Calcul de la puissance de la source sonore \( P \)
À 1 mètre, l’intensité sonore \( I_1 \) est reliée à la puissance \( P \) par la relation :
\[I_1 = \frac{P}{4 \pi r^2} \quad \text{avec} \quad r = 1\,\text{m}\]
Donc :
\[P = I_1 \times 4\pi \times (1\,\text{m})^2\]
En substituant les valeurs :
\[P = 1 \times 10^{-5} \, \text{W/m}^2 \times 4\pi\]
\[P \approx 1 \times 10^{-5} \times 12,5664 \, \text{W}\]
\[P \approx 1,25664 \times 10^{-4} \, \text{W}\]
Ainsi, on peut noter :
\[P \approx 1,26 \times 10^{-4} \, \text{W}\]
- Intensité sonore à 170 mètres
La formule de l’intensité sonore à une distance \( r \) est :
\[I(r) = \frac{P}{4\pi r^2}\]
Pour \( r = 170 \, \text{m} \) :
\[I(170) = \frac{1,25664 \times 10^{-4} \, \text{W}}{4\pi (170)^2}\]
Calculons d’abord \( (170)^2 \) :
\[170^2 = 28900 \, \text{m}^2\]
Puis calculons \( 4\pi \) :
\[4\pi \approx 12,5664\]
- Substitution complète :
\[I(170) = \frac{1,25664 \times 10^{-4}}{12,5664 \times 28900}\]
On remarque que :
\[12,5664 \times 28900 \approx 363911,76\]
Ainsi :
\[I(170) \approx \frac{1,25664 \times 10^{-4}}{363911,76} \, \text{W/m}^2\]
- Simplification alternative :
Remarquons que la relation se simplifie puisque la puissance \( P \) s’exprime en fonction de \( I_1 \) :
\[I(170) = \frac{I_1 \times 4\pi}{4\pi (170)^2} = \frac{I_1}{170^2}\]
D’où :
\[I(170) = \frac{1 \times 10^{-5}}{28900}\]
\[I(170) \approx 3,46 \times 10^{-10} \, \text{W/m}^2\]
Interprétation :
L’intensité sonore au niveau du spectateur, situé à 170 mètres, est d’environ \( 3,46 \times 10^{-10} \, \text{W/m}^2 \).
Analyse d’un Concert en Plein Air
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