Calcul de la vitesse d’un parachutiste
Comprendre le Calcul de la vitesse d’un parachutiste
Lors d’un saut en parachute, un parachutiste de masse constante effectue une chute libre avant d’ouvrir son parachute. Cet exercice propose de calculer la vitesse du parachutiste juste avant l’ouverture du parachute.
Données :
- Masse du parachutiste : \( m = 70 \, \text{kg} \)
- Altitude de saut : \( h = 3000 \, \text{m} \)
- Altitude d’ouverture du parachute : \( h_0 = 1500 \, \text{m} \)
- Accélération due à la gravité : \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
- Résistance de l’air négligée avant l’ouverture du parachute.
Question :
Calculez la vitesse du parachutiste au moment où il ouvre son parachute.
Correction : Calcul de la vitesse d’un parachutiste
1. Données de l’exercice
- Masse du parachutiste : \( m = 70\,\text{kg} \)
- Altitude initiale (saut) : \( h = 3000\,\text{m} \)
- Altitude d’ouverture du parachute : \( h_0 = 1500\,\text{m} \)
- Accélération due à la gravité : \( g = 9.81\,\text{m/s}^2 \)
Hauteur de la chute libre :
\[ \Delta h = h – h_0 \] \[ \Delta h = 3000\,\text{m} – 1500\,\text{m} \] \[ \Delta h = 1500\,\text{m} \]
2. Principe et Formulation
En l’absence de pertes d’énergie (résistance de l’air négligée), la variation d’énergie potentielle se convertit en énergie cinétique.
Formule de conservation de l’énergie :
\[ \text{Énergie potentielle perdue} = \text{Énergie cinétique gagnée} \]
Ce qui s’écrit :
\[ m \, g \, \Delta h = \frac{1}{2} m \, v^2 \]
Remarque : La masse \( m \) apparaît des deux côtés de l’équation et peut donc être simplifiée (supposée non nulle).
3. Développement des Calculs
1. Écriture de l’équation après simplification de \( m \) :
\[ g \, \Delta h = \frac{1}{2} v^2 \]
2. Isolation de \( v^2 \) :
\[ v^2 = 2 \, g \, \Delta h \]
3. Expression de \( v \) :
\[ v = \sqrt{2 \, g \, \Delta h} \]
4. Substitution des Valeurs et Calcul Numérique
Substituons les valeurs :
\[ v = \sqrt{2 \times 9.81\,\text{m/s}^2 \times 1500\,\text{m}} \]
1. Calcul de l’intérieur de la racine :
\[ 2 \times 9.81 = 19.62\,\text{m/s}^2\]
\[ 19.62\,\text{m/s}^2 \times 1500\,\text{m} = 29430\,\text{m}^2/\text{s}^2 \]
2. Calcul de la racine carrée :
\[ v = \sqrt{29430\,\text{m}^2/\text{s}^2} \approx 171.6\,\text{m/s} \]
Conclusion
La vitesse du parachutiste au moment de l’ouverture du parachute est donc :
\[ v \approx 171.6\,\text{m/s} \]
Ce résultat signifie qu’après une chute libre de 1500 mètres, en l’absence de résistance de l’air, le parachutiste atteint une vitesse d’environ 171.6 m/s juste avant d’ouvrir son parachute.
Calcul de la vitesse d’un parachutiste
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