Calcul de la puissance d'un ascenseur

Un ascenseur est utilisé pour transporter des personnes entre différents étages d’un bâtiment. L’ascenseur a une masse totale \(m\) de 500 kg (incluant le poids de la cabine et une charge standard). L’ascenseur doit monter du rez-de-chaussée au cinquième étage, une distance verticale \(h\) de 15 mètres, en 10 secondes.

Objectif

Calculer la puissance moyenne développée par le moteur de l’ascenseur pour réaliser cette montée.

Données

Masse de l’ascenseur : \(m = 500 \, \text{kg}\)
Hauteur à atteindre : \(h = 15 \, \text{m}\)
Temps de montée : \(t = 10 \, \text{s}\)
Accélération due à la gravité : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Questions

Calculez le travail (\(W\)) effectué par le moteur de l’ascenseur pour monter au cinquième étage.
Déterminez la puissance moyenne (\(P\)) développée par le moteur de l’ascenseur pendant cette montée.

Correction : Calcul de la puissance d’un ascenseur

1. Calcul du travail effectué (\(W\))

Le travail réalisé par le moteur de l'ascenseur pour monter correspond au travail nécessaire pour vaincre la force de gravité sur la hauteur \(h\). Ce travail est égal à l'augmentation de l'énergie potentielle de pesanteur de l'ascenseur. La force à vaincre est le poids de l'ascenseur (\(Poids = m \times g\)). Le travail (\(W\)) est le produit de cette force par le déplacement vertical (\(h\)). La formule est : \(W = Poids \times h = m \times g \times h\). Le travail est exprimé en Joules (J). On néglige ici les frottements et le travail nécessaire pour accélérer l'ascenseur au départ (on calcule le travail minimal).

Schéma illustrant les forces agissant sur l'ascenseur et le déplacement vertical.

Données pour cette étape

Masse : \(m = 500 \, \text{kg}\)
Accélération de la gravité : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Hauteur : \(h = 15 \, \text{m}\)

Calcul

\begin{aligned} W &= m \times g \times h \\ W &= (500 \, \text{kg}) \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times (15 \, \text{m}) \\ W &= 4905 \, \text{N} \times 15 \, \text{m} \\ W &= 73575 \, \text{J} \end{aligned}

Note : \(1 \, \text{kg} \times \text{m/s}^2 = 1 \, \text{Newton (N)}\) et \(1 \, \text{N} \times \text{m} = 1 \, \text{Joule (J)}\).

Résultat

Le travail effectué par le moteur de l'ascenseur contre la gravité est \(W = 73575 \, \text{J}\) (ou 73.575 kJ).

2. Calcul de la puissance moyenne développée (\(P\))

La puissance moyenne (\(P\)) est le travail total (\(W\)) effectué divisé par le temps (\(t\)) mis pour l'accomplir. La formule est \(P = \frac{W}{t}\). La puissance est exprimée en Watts (W), où \(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\).

Données pour cette étape

Travail : \(W = 73575 \, \text{J}\) (calculé à l'étape 1)
Temps : \(t = 10 \, \text{s}\)

Calcul

\begin{aligned} P &= \frac{W}{t} \\ P &= \frac{73575 \, \text{J}}{10 \, \text{s}} \\ P &= 7357.5 \, \text{J/s} \\ P &= 7357.5 \, \text{W} \end{aligned}

On peut aussi exprimer cette puissance en kilowatts (kW) : \(1 \, \text{kW} = 1000 \, \text{W}\).

P = \frac{7357.5}{1000} \, \text{kW} = 7.3575 \, \text{kW}

Résultat Final

La puissance moyenne développée par le moteur de l’ascenseur pendant cette montée est \(P \approx 7358 \, \text{W}\) (ou 7.36 kW).

Ceci représente la puissance minimale requise pour vaincre la gravité. La puissance réelle du moteur devra être supérieure pour compenser les frottements, l'accélération initiale et le rendement du système mécanique et électrique.