Calcul de la Taille d’Image à l’Aide des Lentilles
Comprendre comment les lentilles minces forment des images, calculer la position et la taille de ces images.
Les lentilles minces sont des composants optiques qui réfractent la lumière pour former des images d'objets. Selon le type de lentille (convergente ou divergente) et la position de l'objet, l'image formée peut être réelle ou virtuelle, droite ou renversée, agrandie ou réduite.
La relation de conjugaison des lentilles minces relie la position de l'objet (\(p\)), la position de l'image (\(q\)) et la distance focale (\(f\)) de la lentille :
Le grandissement transversal (\(\gamma\), gamma) est le rapport de la taille de l'image (\(h'\)) à la taille de l'objet (\(h\)). Il est aussi lié aux positions de l'image et de l'objet :
Où (conventions de signe importantes) :
- \(p\) est la distance objet-lentille (positive si l'objet est réel, devant la lentille).
- \(q\) est la distance image-lentille (positive si l'image est réelle, derrière la lentille ; négative si virtuelle, devant la lentille).
- \(f\) est la distance focale (positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente).
- \(h\) est la taille de l'objet (positive si l'objet est droit).
- \(h'\) est la taille de l'image (positive si l'image est droite, négative si renversée).
- Si \(\gamma > 0\), l'image est droite. Si \(\gamma < 0\), l'image est renversée.
- Si \(|\gamma| > 1\), l'image est agrandie. Si \(|\gamma| < 1\), l'image est réduite.
Données du Problème
On utilise une lentille mince convergente pour former l'image d'un objet lumineux.
- Distance focale de la lentille convergente : \(f = +10.0 \text{ cm}\)
- Taille de l'objet (hauteur) : \(h = 2.0 \text{ cm}\)
- L'objet est placé à une distance \(p = 30.0 \text{ cm}\) devant la lentille.
Questions
- Calculer la position \(q\) de l'image formée par la lentille.
- L'image est-elle réelle ou virtuelle ? Justifier.
- Calculer le grandissement transversal \(\gamma\).
- Calculer la taille de l'image \(h'\).
- L'image est-elle droite ou renversée ? Agrandie, réduite ou de même taille que l'objet ? Justifier.
Correction : Calcul de la Taille d’Image à l’Aide des Lentilles
1. Calcul de la Position de l'Image (\(q\))
On utilise la relation de conjugaison : \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\). On cherche \(q\), donc on réarrange la formule : \(\frac{1}{q} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p}\).
Données : \(f = +10.0 \text{ cm}\), \(p = +30.0 \text{ cm}\).
La position de l'image est \(q = +15.0 \text{ cm}\).
2. Nature de l'Image (Réelle ou Virtuelle)
La nature de l'image dépend du signe de \(q\).
Nous avons calculé \(q = +15.0 \text{ cm}\).
Comme \(q\) est positif, l'image est formée derrière la lentille (du côté opposé à l'objet par rapport à la lumière incidente). Une image formée derrière une lentille convergente et pour laquelle \(q > 0\) est une image réelle. Elle peut être recueillie sur un écran.
L'image est réelle car \(q > 0\).
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3. Calcul du Grandissement Transversal (\(\gamma\))
On utilise la formule \(\gamma = -q/p\).
Données : \(q = +15.0 \text{ cm}\), \(p = +30.0 \text{ cm}\).
Le grandissement transversal est \(\gamma = -0.5\).
4. Calcul de la Taille de l'Image (\(h'\))
On utilise la formule \(\gamma = h'/h\), donc \(h' = \gamma \cdot h\).
Données : \(\gamma = -0.5\), \(h = 2.0 \text{ cm}\).
La taille de l'image est \(h' = -1.0 \text{ cm}\).
Quiz Intermédiaire
5. Caractéristiques de l'Image (Orientation et Taille Relative)
On interprète les signes et les valeurs de \(\gamma\) et \(h'\).
Nous avons \(\gamma = -0.5\) et \(h' = -1.0 \text{ cm}\).
- Orientation : Comme \(\gamma < 0\) (et \(h'\) est négatif alors que \(h\) est positif), l'image est renversée par rapport à l'objet.
- Taille relative : La valeur absolue du grandissement est \(|\gamma| = |-0.5| = 0.5\). Comme \(|\gamma| < 1\), l'image est réduite (deux fois plus petite que l'objet).
L'image est renversée et réduite (deux fois plus petite que l'objet).
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Glossaire des Termes Clés
Lentille Mince :
Lentille dont l'épaisseur au centre est négligeable par rapport à ses rayons de courbure et à la distance focale.
Lentille Convergente :
Lentille qui fait converger les rayons lumineux parallèles incidents vers un point appelé foyer image. Elle est plus épaisse au centre qu'aux bords.
Lentille Divergente :
Lentille qui fait diverger les rayons lumineux parallèles incidents comme s'ils provenaient d'un point appelé foyer image (virtuel). Elle est plus mince au centre qu'aux bords.
Distance Focale (\(f\)) :
Distance entre le centre optique de la lentille et son foyer principal. Positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente.
Objet (en optique) :
Source de rayons lumineux (réelle ou virtuelle) dont on cherche à former l'image.
Image (en optique) :
Figure formée par les rayons lumineux issus d'un objet après avoir traversé un système optique (comme une lentille). Peut être réelle (formée sur un écran) ou virtuelle (observée à travers la lentille).
Grandissement Transversal (\(\gamma\)) :
Rapport entre la taille de l'image et la taille de l'objet. Indique si l'image est agrandie/réduite et droite/renversée.
Image Réelle :
Image formée par la convergence effective des rayons lumineux. Elle peut être recueillie sur un écran.
Image Virtuelle :
Image formée par le prolongement des rayons lumineux divergents. Elle ne peut pas être recueillie sur un écran mais peut être vue à travers la lentille.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la position et la nature de l'image changent-elles si l'objet se rapproche d'une lentille convergente, depuis l'infini jusqu'à une position entre le foyer et la lentille ?
2. Quel est le principe de fonctionnement d'une loupe ? Quel type de lentille est utilisé et où doit-on placer l'objet ?
3. Comment fonctionne l'œil humain pour former des images ? Quel est le rôle du cristallin ?
4. Qu'est-ce que la vergence d'une lentille et quelle est son unité ? Quel est le lien avec la distance focale ?
5. Recherchez des applications des lentilles minces dans des instruments d'optique courants (appareil photo, télescope, microscope).
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