Lancement d’une fusée artisanale

Comprendre le Lancement d’une fusée artisanale

Dans le cadre d’un projet de science, un groupe d’élèves a construit une fusée artisanale. Ils veulent calculer l’angle de lancement optimal pour que la fusée atteigne la plus grande distance horizontale possible par rapport au point de lancement.

L’angle de lancement de la fusée sera mesuré par rapport à l’horizontale.

Données :

• Vitesse initiale de la fusée au lancement : \( v_0 = 20 \, \text{m/s} \)
• Accélération due à la gravité : \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
• Masse de la fusée : \( m = 0.5 \, \text{kg} \) (Cette donnée est superflue pour le problème mais est fournie pour ajouter du contexte réel)

Question :

Déterminez l’angle de lancement \(\theta\) par rapport à l’horizontale qui permettra à la fusée d’atteindre la plus grande distance horizontale. Utilisez la formule de la portée maximale dans le mouvement projectile sans résistance de l’air.

Correction : Lancement d’une fusée artisanale

Étape 1 : Expression de la portée du projectile

La portée \( R \) d’un projectile lancé à une vitesse initiale \( v_0 \) sous un angle \(\theta\) par rapport à l’horizontale est donnée par la formule suivante :

\[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \]

où,

• \( v_0 = 20 \, \text{m/s} \) est la vitesse initiale de la fusée,
• \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) est l’accélération due à la gravité,
• \( \theta \) est l’angle de lancement.

Étape 2 : Maximisation de la portée

Pour maximiser la portée \( R \), nous devons maximiser \( \sin(2\theta) \). La fonction sinus atteint son maximum lorsque son argument est \( 90^\circ \).

Ainsi, pour que \( \sin(2\theta) = 1 \),

\[ 2\theta = 90^\circ \] \[ \theta = 45^\circ \]

Cela signifie que l’angle de lancement optimal \(\theta\) qui maximise la portée est de \( 45^\circ \).

Étape 3 : Calcul de la portée maximale avec \(\theta = 45^\circ\)

Substituons les valeurs dans la formule de \( R \) :

\[ R = \frac{(20)^2 \sin(90^\circ)}{9.81} \] \[ R = \frac{400 \times 1}{9.81} \] \[ R = \frac{400}{9.81} \] \[ R \approx 40.78 \, \text{m} \]

Conclusion :

La fusée doit être lancée à un angle de \( 45^\circ \) par rapport à l’horizontale pour atteindre la plus grande distance horizontale possible, qui est d’environ 40.78 mètres.

Cette configuration utilise efficacement la vitesse initiale pour optimiser la portée horizontale dans un environnement idéal sans résistance de l’air.

Lancement d’une fusée artisanale

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