Calcul de la Pression dans un Réservoir
Comprendre le Calcul de la Pression dans un Réservoir
Un groupe de lycéens en classe de seconde s’engage dans un projet de science pour étudier les variations de pression dans un réservoir cylindrique fermé.
Le réservoir contient un gaz idéal qui est chauffé par une source externe, modifiant ainsi la pression à l’intérieur du réservoir en fonction de la température.
Données:
- Volume initial du réservoir (\(V\)) : \(0.075\,m^3\) (75 litres)
- Température initiale du gaz (\(T_1\)) : \(293\,K\) (20°C)
- Pression initiale (\(P_1\)) : \(1.00 \times 10^5\,Pa\) (pression atmosphérique)
- Masse molaire du gaz (\(M\)) : \(28\,g/mol\) (azote)
- Quantité de chaleur ajoutée (\(Q\)) : \(5000\,J\)
- Capacité thermique molaire à volume constant du gaz (\(C_v\)) : \(20.8\,J/(mol\cdot K)\)
Questions:
1. Calcul de la température finale du gaz (\(T_2\)) :
Utiliser l’équation de l’énergie interne pour un gaz idéal \(Q = nC_v\Delta T\) où \(n\) est le nombre de moles de gaz.
2. Calcul du nombre de moles de gaz (\(n\)) :
Utiliser l’équation des gaz parfaits \(PV = nRT\), où \(R\) est la constante des gaz parfaits (\(R = 8.314\,J/(mol\cdot K)\)).
3. Détermination de la température finale (\(T_2\)) :
Avec la quantité de chaleur ajoutée et la capacité thermique, calculer la variation de température \(\Delta T\) et par suite la température finale \(T_2\).
4. Calcul de la pression finale (\(P_2\)) :
En supposant que le volume reste constant, utiliser l’équation \(P_1/T_1 = P_2/T_2\) pour trouver la pression finale.
Correction : Calcul de la Pression dans un Réservoir
1. Calcul du nombre de moles de gaz (n)
Données :
- Pression initiale \(P_1 = 1.00 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
- Volume du réservoir \(V = 0.075 \, m^3\)
- Température initiale \(T_1 = 293 \, K\)
- Constante des gaz parfaits \(R = 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
Formule :
L’équation des gaz parfaits est utilisée pour déterminer le nombre de moles.
\[ PV = nRT \] \[ n = \frac{PV}{RT} \]
Calcul :
\[ n = \frac{(1.00 \times 10^5 \, \text{Pa})(0.075 \, m^3)}{(8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)})(293 \, K)} \] \[ n \approx 3.08 \, \text{mol} \]
2. Calcul de la variation de température (\(\Delta T\))
Données :
- Quantité de chaleur ajoutée \(Q = 5000 \, J\)
- Nombre de moles \(n = 3.08 \, \text{mol}\)
- Capacité thermique molaire à volume constant \(C_v = 20.8 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
Formule :
La relation entre la chaleur ajoutée et la variation de température est donnée par
\[ Q = nC_v\Delta T \] \[ \Delta T = \frac{Q}{nC_v} \]
Calcul :
\[ \Delta T = \frac{5000 \, J}{(3.08 \, \text{mol})(20.8 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)})} \] \[ \Delta T \approx 78.06 \, K \]
3. Détermination de la température finale (\(T_2\))
Données :
- Température initiale \(T_1 = 293 \, K\)
- Variation de température \(\Delta T = 78.06 \, K\)
Formule :
\[ T_2 = T_1 + \Delta T \]
Calcul :
\[ T_2 = 293 \, K + 78.06 \, K \] \[ T_2 = 371.06 \, K \]
4. Calcul de la pression finale (\(P_2\))
Données :
- Pression initiale \(P_1 = 1.00 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
- Température initiale \(T_1 = 293 \, K\)
- Température finale \(T_2 = 371.06 \, K\)
Formule :
Sous volume constant, la relation entre les pressions et les températures est
\[ \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2} \] \[ P_2 = \frac{P_1 T_2}{T_1} \]
Calcul :
\[ P_2 = \frac{(1.00 \times 10^5 \, \text{Pa})(371.06 \, K)}{293 \, K} \] \[ P_2 \approx 1.266 \times 10^5 \, \text{Pa} \]
Conclusion
Cet exercice met en lumière la relation entre la température et la pression dans un système fermé contenant un gaz idéal, illustrant les principes fondamentaux de la thermodynamique appliquée.
Les calculs montrent l’augmentation significative de la pression due à l’apport de chaleur, tout en tenant compte des lois des gaz parfaits.
Calcul de la Pression dans un Réservoir
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