Chute Libre d'une Balle de Tennis

Contexte : Modéliser le mouvement, une compétence clé en physique.

La chute libre est l'un des premiers mouvements que l'on étudie en dynamique. Il décrit le mouvement d'un objet soumis uniquement à son propre poids. Bien que ce soit une simplification (dans la réalité, les frottements de l'air existent), ce modèle est très efficace pour décrire de nombreuses situations, comme la chute d'un objet sur une courte distance ou le mouvement d'une balle lancée en l'air. Comprendre ce modèle permet de prédire la trajectoire, la vitesse et la position d'un objet à n'importe quel instant. Cet exercice vous guidera dans l'analyse du lancer vertical d'une balle de tennis.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des principes fondamentaux de la cinématique. Nous allons utiliser des conditions initiales (position et vitesse de départ) et les lois du mouvement uniformément accéléré pour déterminer toutes les caractéristiques de la trajectoire de la balle. C'est une démarche essentielle en physique : partir de principes de base pour construire un modèle mathématique capable de prédire l'évolution d'un système.

Objectifs Pédagogiques

Définir un système et un référentiel d'étude.
Établir les équations horaires de la vitesse et de la position pour un mouvement de chute libre.
Calculer l'instant et la position du point le plus haut de la trajectoire (le sommet).
Déterminer la durée totale du vol de l'objet.
Calculer la vitesse d'impact au sol.

Données de l'étude

Un joueur de tennis lance verticalement une balle vers le haut pour effectuer un service. La balle quitte sa main à une hauteur \(y_0\) du sol avec une vitesse initiale \(v_0\). On étudie le mouvement de la balle dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen, et on néglige les frottements de l'air. L'axe vertical \( (Oy) \) est orienté vers le haut et son origine est au niveau du sol.

Schéma de la situation

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur initiale	\(y_0\)	2,0	\(\text{m}\)
Vitesse initiale	\(v_0\)	10	\(\text{m/s}\)
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9,81	\(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

Établir les équations horaires de la vitesse \(v_y(t)\) et de la position \(y(t)\) de la balle.
Calculer l'instant \(t_s\) où la balle atteint son altitude maximale.
Calculer cette altitude maximale \(y_{\text{max}}\) atteinte par la balle.
Déterminer l'instant \(t_f\) où la balle touche le sol.
Calculer la vitesse \(v_f\) de la balle juste avant l'impact avec le sol.

Les bases de la Cinématique

Avant de plonger dans la correction, revoyons les équations fondamentales du mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA).

1. Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré :
Un objet est en MRUA si son accélération \(a\) est constante. La chute libre (en négligeant les frottements) est un cas parfait de MRUA, où l'accélération est celle de la pesanteur, \( \vec{a} = \vec{g} \). Si on oriente l'axe vertical vers le haut, l'accélération selon cet axe est \(a_y = -g\).

2. Équation horaire de la vitesse :
La vitesse est l'intégrale de l'accélération par rapport au temps. Pour une accélération constante \(a_y\), la vitesse à un instant \(t\) est : \[ v_y(t) = a_y \cdot t + v_0 \] Dans notre cas, avec \(a_y = -g\), cela devient : \( v_y(t) = -g \cdot t + v_0 \).

3. Équation horaire de la position :
La position est l'intégrale de la vitesse par rapport au temps. Pour une vitesse variant linéairement, la position à un instant \(t\) est : \[ y(t) = \frac{1}{2} a_y \cdot t^2 + v_0 \cdot t + y_0 \] Dans notre cas, avec \(a_y = -g\), cela devient : \( y(t) = -\frac{1}{2} g \cdot t^2 + v_0 \cdot t + y_0 \).

Correction : Chute Libre d’une Balle de Tennis

Question 1 : Établir les équations horaires

Principe (le concept physique)

Les équations horaires décrivent l'évolution de la vitesse et de la position d'un objet en fonction du temps. En chute libre, l'accélération est constante et égale à \(-g\) (car l'axe est orienté vers le haut). En intégrant cette accélération une fois par rapport au temps, on obtient la vitesse. En l'intégrant une seconde fois, on obtient la position. Les constantes d'intégration sont déterminées par les conditions initiales du mouvement (\(y_0\) et \(v_0\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La démarche est issue de la deuxième loi de Newton. Le bilan des forces sur la balle (système) dans le référentiel terrestre est : \( \sum \vec{F} = \vec{P} \). D'où \( m\vec{a} = m\vec{g} \), ce qui simplifie en \( \vec{a} = \vec{g} \). En projetant sur l'axe vertical \( (Oy) \) orienté vers le haut, on obtient \( a_y = -g \). Les équations horaires sont les solutions de cette équation différentielle par intégrations successives.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le plus important est de bien définir le système d'axes au départ. Ici, l'axe est vers le haut. Par conséquent, la vitesse initiale \(v_0\) est positive, mais l'accélération \(g\), qui est toujours dirigée vers le bas, est négative. Une erreur sur le signe de \(g\) est l'erreur la plus fréquente et fausse tous les calculs.

Normes (la référence réglementaire)

Les équations de la cinématique du point sont des fondements de la mécanique classique (newtonienne). Elles sont universelles et ne dépendent pas de normes spécifiques, mais leur application correcte exige une définition rigoureuse du référentiel, comme le préconise toute démarche scientifique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formules générales du MRUA :

v_y(t) = a_y \cdot t + v_0 \quad \text{et} \quad y(t) = \frac{1}{2} a_y \cdot t^2 + v_0 \cdot t + y_0

Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place dans le cadre de la chute libre : on néglige la résistance de l'air et la poussée d'Archimède. Le champ de pesanteur \(g\) est considéré comme uniforme.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Accélération : \(a_y = -g = -9,81 \, \text{m/s}^2\)
Vitesse initiale : \(v_0 = 10 \, \text{m/s}\)
Position initiale : \(y_0 = 2,0 \, \text{m}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Une fois que vous avez identifié un mouvement de chute libre, vous pouvez directement écrire les deux équations horaires en remplaçant \(a_y\) par \(-g\) et en insérant les valeurs de \(v_0\) et \(y_0\). C'est un automatisme à acquérir.

Schéma (Avant les calculs)

Conditions Initiales

Calcul(s) (l'application numérique)

On remplace les valeurs dans les formules générales.

Pour la vitesse :

v_y(t) = -9,81 \cdot t + 10

Pour la position :

y(t) = -\frac{1}{2} \times 9,81 \cdot t^2 + 10 \cdot t + 2,0 \Rightarrow y(t) = -4,905 \cdot t^2 + 10 \cdot t + 2,0

Schéma (Après les calculs)

Représentation des Équations

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces deux équations sont le "code génétique" du mouvement. Elles contiennent toutes les informations. La première montre que la vitesse diminue linéairement, s'annule puis devient négative. La seconde, une équation du second degré, confirme que la trajectoire est une parabole. Nous pouvons maintenant utiliser ces équations pour répondre à toutes les autres questions.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser des unités cohérentes. Si les distances sont en mètres et le temps en secondes, alors la vitesse doit être en m/s et l'accélération en m/s². Toutes les données de l'énoncé sont déjà dans le Système International, il n'y a donc pas de conversion à faire ici.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

En chute libre, l'accélération est constante : \(a_y = -g\).
La vitesse est une fonction affine du temps : \(v_y(t) = -gt + v_0\).
La position est une fonction du second degré du temps : \(y(t) = -1/2 gt^2 + v_0t + y_0\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les systèmes de guidage des fusées et des missiles utilisent exactement ces principes. Ils calculent en permanence la trajectoire future (la "parabole") en fonction de la vitesse et de la position actuelles, et commandent les moteurs pour corriger la trajectoire et atteindre la cible. C'est de la cinématique appliquée à très grande vitesse !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les équations horaires sont : \( v_y(t) = -9,81 t + 10 \) et \( y(t) = -4,905 t^2 + 10 t + 2,0 \).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelles seraient les équations si on lâchait la balle sans vitesse initiale depuis la même hauteur ?

Question 2 : Calculer l'instant du sommet de la trajectoire

Principe (le concept physique)

Au sommet de sa trajectoire, la balle arrête de monter et commence à redescendre. À cet instant précis, sa vitesse verticale est nulle. C'est la condition physique qui définit le sommet. Il suffit donc de prendre l'équation horaire de la vitesse \(v_y(t)\) et de chercher l'instant \(t_s\) pour lequel \(v_y(t_s) = 0\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, le sommet de la parabole \(y(t)\) correspond à son maximum. On sait qu'un extrémum d'une fonction est atteint lorsque sa dérivée s'annule. La dérivée de la position \(y(t)\) par rapport au temps est la vitesse \(v_y(t)\). La condition \(y(t)\) est maximale est donc \( \frac{dy}{dt} = v_y(t) = 0 \). La physique et les mathématiques aboutissent à la même condition.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un film que vous passez au ralenti. Vous voyez la balle monter, sa vitesse diminuer, s'arrêter un très court instant au sommet (vitesse nulle), puis repartir vers le bas (vitesse négative). Cet instant où la vitesse est nulle est la clé pour trouver le sommet.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul ne fait pas appel à une norme, mais à une définition fondamentale en cinématique : le sommet d'une trajectoire verticale est l'instant où la composante verticale de la vitesse s'annule.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On résout l'équation :

v_y(t_s) = 0 \Rightarrow -g \cdot t_s + v_0 = 0

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 (chute libre, référentiel galiléen).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Équation de la vitesse : \( v_y(t) = -9,81 t + 10 \)

Astuces(Pour aller plus vite)

De l'équation \( -g t_s + v_0 = 0 \), on tire directement la formule générale \( t_s = v_0 / g \). Vous pouvez mémoriser cette formule simple pour trouver rapidement le temps de montée.

Schéma (Avant les calculs)

Condition au Sommet

Calcul(s) (l'application numérique)

On résout l'équation pour trouver \(t_s\).

\begin{aligned} -9,81 \cdot t_s + 10 &= 0 \\ 9,81 \cdot t_s &= 10 \\ t_s &= \frac{10}{9,81} \\ t_s &\approx 1,02 \, \text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Temps de Montée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Il faut un peu plus d'une seconde à la balle pour atteindre son point le plus haut. Ce résultat est cohérent : une vitesse initiale de 10 m/s (soit 36 km/h) est un lancer assez vigoureux, il est normal que la montée dure une seconde.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne confondez pas la condition au sommet (\(v_y=0\)) avec la condition à l'arrivée au sol (\(y=0\)). Chaque point particulier de la trajectoire est défini par une condition physique spécifique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Au sommet de la trajectoire, la vitesse verticale est nulle : \(v_y(t_s) = 0\).
Le temps de montée se calcule par \(t_s = v_0 / g\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si on lançait un objet avec une vitesse initiale de 11,2 km/s (la "vitesse de libération"), la gravité terrestre ne serait plus suffisante pour l'arrêter. Il n'atteindrait jamais de sommet et s'échapperait dans l'espace ! C'est la vitesse minimale que doit atteindre une fusée pour quitter l'orbite terrestre.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La balle atteint son altitude maximale à l'instant \(t_s \approx 1,02 \, \text{s}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la vitesse initiale était doublée (\(v_0 = 20\) m/s), quel serait le nouveau temps de montée \(t_s\) ?

Question 3 : Calculer l'altitude maximale

Principe (le concept physique)

L'altitude maximale \(y_{\text{max}}\) est simplement la position de la balle à l'instant \(t_s\) où elle atteint le sommet. Puisque nous avons calculé cet instant à la question précédente et que nous disposons de l'équation horaire de la position \(y(t)\), il suffit de remplacer \(t\) par la valeur de \(t_s\) dans cette équation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Il existe une relation indépendante du temps, très utile en cinématique, qui lie la vitesse, l'accélération et la distance parcourue : \( v_f^2 - v_i^2 = 2 a \Delta y \). En appliquant cette formule entre le départ (\(v_i = v_0\), \(y_i = y_0\)) et le sommet (\(v_f = 0\), \(y_f = y_{\text{max}}\)), on a \( 0^2 - v_0^2 = 2(-g)(y_{\text{max}} - y_0) \). On peut en tirer directement \(y_{\text{max}}\) sans avoir à calculer \(t_s\) au préalable.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est une suite logique. La physique nous donne une condition (vitesse nulle), ce qui nous permet de trouver un temps. Ensuite, on injecte ce temps dans l'autre équation pour trouver la position correspondante. C'est une méthode en deux étapes très classique pour résoudre les problèmes de cinématique.

Normes (la référence réglementaire)

Pas de norme applicable ici, il s'agit de l'application directe de formules de cinématique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise l'équation horaire de la position :

y_{\text{max}} = y(t_s) = -4,905 \cdot t_s^2 + 10 \cdot t_s + 2,0

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que précédemment.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Instant du sommet, \(t_s \approx 1,02 \, \text{s}\) (du calcul Q2)
Équation de la position : \( y(t) = -4,905 t^2 + 10 t + 2,0 \)

Astuces(Pour aller plus vite)

Si vous utilisez la formule \(t_s = v_0/g\), en la remplaçant dans l'équation de \(y(t)\), vous pouvez trouver une formule générale pour la hauteur maximale : \( y_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} + y_0 \). C'est une autre formule utile à connaître pour aller plus vite.

Schéma (Avant les calculs)

Recherche de y_max

Calcul(s) (l'application numérique)

On remplace \(t\) par 1,02 s dans l'équation de \(y(t)\).

\begin{aligned} y_{\text{max}} &= -4,905 \times (1,02)^2 + 10 \times (1,02) + 2,0 \\ &= -4,905 \times 1,0404 + 10,2 + 2,0 \\ &= -5,10 + 10,2 + 2,0 \\ &= 7,1 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Altitude Maximale Atteinte

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La balle monte à une hauteur de 7,1 mètres. Sachant qu'elle est partie de 2,0 m, elle s'est élevée de 5,1 m au-dessus de la main du joueur. C'est une hauteur tout à fait réaliste pour un service au tennis.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas utiliser une valeur arrondie de \(t_s\) pour le calcul, ce qui pourrait introduire une imprécision. Il est préférable d'utiliser la valeur non arrondie (\(10/9,81\)) dans la calculatrice pour obtenir le résultat le plus précis possible.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'altitude maximale est la position \(y\) à l'instant \(t_s\).
On la calcule en injectant \(t_s\) dans l'équation horaire \(y(t)\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La hauteur d'un jet d'eau d'une fontaine suit exactement les mêmes lois ! La hauteur maximale du jet est directement liée à la vitesse d'éjection de l'eau à la sortie de la buse par la formule \(h = v_0^2 / (2g)\). Pour doubler la hauteur d'un jet, il faut multiplier sa vitesse de sortie par \(\sqrt{2}\) (environ 1,4).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'altitude maximale atteinte par la balle est \(y_{\text{max}} \approx 7,1 \, \text{m}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la vitesse initiale était doublée (\(v_0 = 20\) m/s), quelle serait la nouvelle altitude maximale \(y_{\text{max}}\) ?

Question 4 : Déterminer l'instant de l'impact au sol

Principe (le concept physique)

L'impact avec le sol se produit à l'instant \(t_f\) où l'altitude de la balle devient nulle. La condition physique est donc \(y(t_f) = 0\). Il faut résoudre cette équation du second degré pour trouver la ou les valeurs de \(t_f\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Nous devons résoudre une équation de la forme \(at^2 + bt + c = 0\), où \(a = -4,905\), \(b = 10\) et \(c = 2,0\). La solution est donnée par le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \). Les racines sont alors \( t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \). Une équation du second degré peut avoir deux solutions, une seule ou aucune solution réelle. Physiquement, cela correspond aux moments où la trajectoire coupe l'axe des abscisses (ici, l'axe du temps, qui représente le sol).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

On s'attend à trouver deux solutions mathématiques : une positive, qui correspond à l'instant futur où la balle touche le sol, et une négative, qui correspond à l'instant où la balle *aurait* été au sol si elle avait suivi la même trajectoire parabolique dans le passé. Seule la solution positive a un sens physique pour notre problème.

Normes (la référence réglementaire)

La résolution des équations du second degré est un outil mathématique standard, non soumis à une norme physique particulière.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On résout l'équation :

y(t_f) = 0 \Rightarrow -4,905 \cdot t_f^2 + 10 \cdot t_f + 2,0 = 0

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses de la chute libre sont toujours valables jusqu'à l'impact.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Équation de la position : \( y(t) = -4,905 t^2 + 10 t + 2,0 \)

Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de vous lancer dans le calcul du discriminant, vérifiez si l'équation ne peut pas être simplifiée. Ce n'est pas le cas ici, mais c'est un bon réflexe à avoir.

Schéma (Avant les calculs)

Condition d'Impact

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du discriminant \( \Delta \):

\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= (10)^2 - 4 \times (-4,905) \times (2,0) \\ &= 100 + 39,24 \\ &= 139,24 \end{aligned}

2. Calcul des deux racines \(t_1\) et \(t_2\):

\begin{aligned} t_f &= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ t_1 &= \frac{-10 + \sqrt{139,24}}{2 \times (-4,905)} = \frac{-10 + 11,8}{ -9,81} \approx -0,18 \, \text{s} \\ t_2 &= \frac{-10 - \sqrt{139,24}}{2 \times (-4,905)} = \frac{-10 - 11,8}{ -9,81} \approx 2,22 \, \text{s} \end{aligned}

3. Choix de la solution physique : on ne retient que la solution positive.

Schéma (Après les calculs)

Temps de Vol Total

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La balle met 2,22 secondes pour toucher le sol. Ce temps est supérieur au double du temps de montée (2 x 1,02 = 2,04 s). C'est logique, car la balle doit non seulement redescendre jusqu'à son point de départ (ce qui prendrait 1,02 s), mais elle doit en plus parcourir les 2,0 m supplémentaires jusqu'au sol.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes dans la formule du discriminant, surtout avec un coefficient 'a' négatif. Une erreur ici est vite arrivée. De plus, n'oubliez pas de rejeter les solutions qui n'ont pas de sens physique (comme un temps négatif).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'impact au sol correspond à la condition \(y(t_f) = 0\).
Cela mène à une équation du second degré en \(t\).
Seule la solution temporelle positive et supérieure au temps initial est physiquement acceptable.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La trajectoire parabolique est aussi celle des obus de canon ou des tirs de mortier (en négligeant l'air). Les artilleurs utilisaient des tables de tir complexes, qui sont en fait des solutions pré-calculées de ces équations de trajectoire, pour savoir quel angle de tir utiliser pour atteindre une cible à une distance donnée.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La balle touche le sol à l'instant \(t_f \approx 2,22 \, \text{s}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la balle était lancée depuis le sol (\(y_0 = 0\)), quel serait le temps de vol \(t_f\) ?

Question 5 : Calculer la vitesse d'impact

Principe (le concept physique)

La vitesse d'impact \(v_f\) est simplement la vitesse de la balle à l'instant \(t_f\) où elle touche le sol. Puisque nous avons calculé cet instant à la question précédente et que nous disposons de l'équation horaire de la vitesse \(v_y(t)\), il suffit de remplacer \(t\) par la valeur de \(t_f\) dans cette équation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En raison de la conservation de l'énergie mécanique (en l'absence de frottements), la balle repasse à son altitude de départ (\(y=2,0\) m) avec une vitesse de même valeur mais de sens opposé (\(-v_0 = -10\) m/s). Ensuite, elle continue d'accélérer sur les 2 derniers mètres. La vitesse finale sera donc forcément plus grande (en valeur absolue) que la vitesse initiale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

On s'attend à trouver une vitesse négative. C'est très important car cela indique le sens du mouvement. L'axe \(Oy\) étant orienté vers le haut, une vitesse négative signifie que la balle se déplace vers le bas, ce qui est bien le cas juste avant l'impact.

Normes (la référence réglementaire)

Pas de norme applicable, il s'agit de l'application de la définition de la vitesse instantanée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise l'équation horaire de la vitesse :

v_f = v_y(t_f) = -9,81 \cdot t_f + 10

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses de la chute libre sont toujours valables.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Instant d'impact, \(t_f \approx 2,22 \, \text{s}\) (du calcul Q4)
Équation de la vitesse : \( v_y(t) = -9,81 t + 10 \)

Astuces(Pour aller plus vite)

En utilisant la relation indépendante du temps \( v_f^2 - v_i^2 = 2 a \Delta y \) entre le départ et l'arrivée, on a \( v_f^2 - v_0^2 = 2(-g)(y_f - y_i) \). Avec \(y_f = 0\) et \(y_i = y_0\), on obtient \( v_f^2 = v_0^2 + 2gy_0 \). Cela permet de trouver la vitesse finale sans connaître le temps de vol.

Schéma (Avant les calculs)

Vitesse Finale

Calcul(s) (l'application numérique)

On remplace \(t\) par 2,22 s dans l'équation de \(v_y(t)\).

\begin{aligned} v_f &= -9,81 \times 2,22 + 10 \\ &= -21,78 + 10 \\ &= -11,78 \, \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vitesse d'Impact Calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vitesse finale est d'environ -11,8 m/s. Le signe négatif confirme que la balle va vers le bas. La valeur absolue de la vitesse (11,8 m/s) est supérieure à celle de la vitesse initiale (10 m/s), ce qui est normal car la balle a chuté d'une hauteur supérieure à celle de son point de départ.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne soyez pas surpris par le signe négatif, il est essentiel et plein de sens physique. Donner une réponse positive serait une erreur d'interprétation. La question demande la vitesse (un vecteur, donc signé) et non la norme de la vitesse.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La vitesse finale est la vitesse à l'instant de l'impact \(t_f\).
On la calcule en injectant \(t_f\) dans l'équation horaire \(v_y(t)\).
Le signe de la vitesse indique la direction du mouvement.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les radars de contrôle de vitesse pour les voitures utilisent l'effet Doppler. Ils émettent une onde radio qui est réfléchie par la voiture. La fréquence de l'onde retournée est légèrement différente de celle de l'onde émise, et ce décalage est directement proportionnel à la vitesse du véhicule. C'est une application de la cinématique ondulatoire !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse de la balle juste avant l'impact est \(v_f \approx -11,8 \, \text{m/s}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la balle était simplement lâchée de 2,0 m de haut (\(v_0=0\)), quelle serait sa vitesse d'impact ?

Outil Interactif : Simulateur de Chute Libre

Modifiez les conditions initiales pour voir leur influence sur la trajectoire.

Paramètres d'Entrée

Vitesse Initiale v₀ (m/s) 10.0 m/s

Hauteur Initiale y₀ (m) 2.0 m

Résultats Clés

Altitude Maximale (m) -

Temps de Vol Total (s) -

Vitesse d'Impact (m/s) -

Le Saviez-Vous ?

Sur la Lune, où il n'y a pas d'atmosphère (donc pas de frottements d'air) et où la gravité est environ 6 fois plus faible que sur Terre (\(g \approx 1,6 \, \text{m/s}^2\)), une plume et un marteau lâchés de la même hauteur arrivent au sol exactement en même temps ! L'astronaute David Scott l'a démontré lors de la mission Apollo 15 en 1971, confirmant ainsi l'expérience de pensée de Galilée.

Foire Aux Questions (FAQ)

Est-ce que la masse de la balle a une importance ?

Dans le modèle de la chute libre (sans frottements), la masse n'intervient pas. Comme on l'a vu avec la deuxième loi de Newton (\(m\vec{a} = m\vec{g}\)), la masse se simplifie. Une boule de pétanque et une balle de tennis lâchées de la même hauteur arriveraient au sol en même temps dans le vide. Dans la réalité, l'objet le plus dense et aérodynamique est moins affecté par les frottements de l'air.

Que se passe-t-il si on lance la balle vers le bas ?

Les équations restent exactement les mêmes ! La seule chose qui change est la valeur de la vitesse initiale \(v_0\), qui serait négative. Par exemple, si on lançait la balle vers le bas à 10 m/s, on utiliserait \(v_0 = -10 \, \text{m/s}\) dans les calculs.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on réalise la même expérience sur la Lune (où g est plus faible), l'altitude maximale atteinte par la balle sera...

Inférieure
Identique
Supérieure

2. Si on double la vitesse initiale de lancement \(v_0\), l'altitude maximale atteinte (par rapport au point de lancer) sera...

Multipliée par 4
Multipliée par 2
Inchangée

Chute Libre: Mouvement d'un corps soumis uniquement à son propre poids. Son accélération est constante et égale à l'accélération de la pesanteur \(\vec{g}\).
Référentiel Galiléen: Référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié. Le référentiel terrestre est considéré comme une bonne approximation d'un référentiel galiléen pour les expériences de courte durée.
Équations Horaires: Fonctions mathématiques qui décrivent la position, la vitesse et l'accélération d'un point mobile en fonction du temps.