Vitesse d'un point par rapport au châssis

Étude de la composition des vitesses dans le cas d'un mobile se déplaçant par rapport à un référentiel lui-même en mouvement.

Énoncé : Vitesse d’un Point par Rapport au Châssis

La vitesse d'un objet dépend du référentiel dans lequel elle est mesurée. Lorsqu'un objet se déplace par rapport à un support (le châssis) qui est lui-même en mouvement par rapport à un autre référentiel (par exemple, le sol), les vitesses se composent.

Contexte

Comprendre la composition des vitesses est essentiel dans de nombreuses situations de la vie courante et en ingénierie. Par exemple, la vitesse d'un passager marchant dans un train en mouvement, la vitesse d'un bateau naviguant sur une rivière avec du courant, ou la vitesse d'un avion volant avec du vent. Cela permet de calculer des temps de parcours, des trajectoires ou des vitesses relatives entre objets.

Personne marchant dans un train en mouvement. Les vitesses sont représentées par des vecteurs.

Données du Problème

Un train (T) se déplace en ligne droite sur des rails par rapport au sol (S). Une personne (P) marche à l'intérieur du train.

Vitesse du train par rapport au sol : \(V_{T/S} = 72 \, \text{km/h}\) (vers la droite)
Vitesse de la personne par rapport au train : \(V_{P/T} = 3,6 \, \text{km/h}\)

Questions

Convertir la vitesse du train \(V_{T/S}\) et la vitesse de la personne \(V_{P/T}\) en mètres par seconde (m/s). (Rappel : \(1 \, \text{km/h} = \frac{1}{3,6} \, \text{m/s}\)).
La personne marche vers l'avant du train (dans le même sens que le mouvement du train).
1. Faire un schéma simple représentant les vecteurs vitesse \(\vec{V}_{T/S}\) et \(\vec{V}_{P/T}\).
2. Calculer la vitesse de la personne par rapport au sol (\(V_{P/S}\)) en m/s.
La personne marche maintenant vers l'arrière du train (en sens inverse du mouvement du train).
1. Faire un schéma simple représentant les vecteurs vitesse \(\vec{V}_{T/S}\) et \(\vec{V}_{P/T}\) dans ce cas.
2. Calculer la vitesse de la personne par rapport au sol (\(V_{P/S}\)) en m/s.
Si la personne est immobile dans le train (\(V_{P/T} = 0 \, \text{m/s}\)), quelle est sa vitesse par rapport au sol ?
Le train a une longueur de 150 m. Dans le cas de la question 2 (personne marchant vers l'avant), combien de temps mettra la personne pour traverser le train de l'arrière vers l'avant, mesuré par un observateur dans le train ?

Correction : Vitesse d’un Point par Rapport au Châssis

1. Conversion des Vitesses en m/s

Pour effectuer les calculs de manière cohérente, il est nécessaire de convertir toutes les vitesses dans la même unité, ici le mètre par seconde (m/s).

Données pour cette étape

\(V_{T/S} = 72 \, \text{km/h}\)
\(V_{P/T} = 3,6 \, \text{km/h}\)

Calculs

Vitesse du train par rapport au sol (\(V_{T/S}\)) :

\begin{aligned} V_{T/S} &= 72 \, \text{km/h} \\ &= \frac{72}{3,6} \, \text{m/s} \\ &= 20 \, \text{m/s} \end{aligned}

Vitesse de la personne par rapport au train (\(V_{P/T}\)) :

\begin{aligned} V_{P/T} &= 3,6 \, \text{km/h} \\ &= \frac{3,6}{3,6} \, \text{m/s} \\ &= 1,0 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultats

\(V_{T/S} = 20 \, \text{m/s}\)
\(V_{P/T} = 1,0 \, \text{m/s}\)

2. Personne Marchant vers l'Avant du Train

Lorsque la personne marche dans le même sens que le train, sa vitesse par rapport au sol est la somme de sa vitesse par rapport au train et de la vitesse du train par rapport au sol. La relation vectorielle est \(\vec{V}_{P/S} = \vec{V}_{P/T} + \vec{V}_{T/S}\). Comme les mouvements sont colinéaires et de même sens, les normes s'ajoutent.

Données pour cette étape

\(V_{T/S} = 20 \, \text{m/s}\)
\(V_{P/T} = 1,0 \, \text{m/s}\) (même sens)

a) Schéma des Vecteurs Vitesse

Vecteurs vitesse lorsque la personne marche vers l'avant.

b) Calcul de \(V_{P/S}\)

\begin{aligned} V_{P/S} &= V_{P/T} + V_{T/S} \\ &= 1,0 \, \text{m/s} + 20 \, \text{m/s} \\ &= 21 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat (Cas 2)

Lorsque la personne marche vers l'avant du train, sa vitesse par rapport au sol est \(V_{P/S} = 21 \, \text{m/s}\).

3. Personne Marchant vers l'Arrière du Train

Lorsque la personne marche en sens inverse du train, sa vitesse par rapport au sol est la différence entre la vitesse du train par rapport au sol et sa vitesse par rapport au train (si l'on considère la vitesse du train comme positive). La relation vectorielle est toujours \(\vec{V}_{P/S} = \vec{V}_{P/T} + \vec{V}_{T/S}\), mais \(\vec{V}_{P/T}\) est maintenant de sens opposé à \(\vec{V}_{T/S}\).

Données pour cette étape

\(V_{T/S} = 20 \, \text{m/s}\) (vers la droite)
\(V_{P/T} = 1,0 \, \text{m/s}\) (vers la gauche par rapport au train)

a) Schéma des Vecteurs Vitesse

Vecteurs vitesse lorsque la personne marche vers l'arrière.

b) Calcul de \(V_{P/S}\)

En considérant l'axe Ox orienté vers la droite (sens du train) : \(V_{T/S} = +20 \, \text{m/s}\) et \(V_{P/T} = -1,0 \, \text{m/s}\) (car sens opposé).

\begin{aligned} V_{P/S} &= V_{T/S} + V_{P/T} \quad \text{(en valeurs algébriques sur l'axe Ox)}\\ &= (+20 \, \text{m/s}) + (-1,0 \, \text{m/s}) \\ &= 20 \, \text{m/s} - 1,0 \, \text{m/s} \\ &= 19 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat (Cas 3)

Lorsque la personne marche vers l'arrière du train, sa vitesse par rapport au sol est \(V_{P/S} = 19 \, \text{m/s}\) (toujours dans le sens de déplacement du train).

4. Personne Immobile dans le Train

Si la personne est immobile par rapport au train, sa vitesse par rapport au train est nulle (\(V_{P/T} = 0 \, \text{m/s}\)).

Données pour cette étape

\(V_{T/S} = 20 \, \text{m/s}\)
\(V_{P/T} = 0 \, \text{m/s}\)

Calcul

\begin{aligned} V_{P/S} &= V_{P/T} + V_{T/S} \\ &= 0 \, \text{m/s} + 20 \, \text{m/s} \\ &= 20 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat

Si la personne est immobile dans le train, sa vitesse par rapport au sol est égale à celle du train : \(V_{P/S} = 20 \, \text{m/s}\).

5. Temps pour Traverser le Train (vu de l'intérieur)

Un observateur dans le train mesure la vitesse de la personne par rapport au train (\(V_{P/T}\)). Pour calculer le temps mis pour parcourir la longueur du train (\(L_{train}\)), on utilise la formule \( \Delta t = \frac{\text{distance}}{\text{vitesse}}\).

Données pour cette étape

Longueur du train \(L_{train} = 150 \, \text{m}\)
Vitesse de la personne par rapport au train \(V_{P/T} = 1,0 \, \text{m/s}\) (cas de la question 2)

Calcul

\begin{aligned} \Delta t_{traversée} &= \frac{L_{train}}{V_{P/T}} \\ &= \frac{150 \, \text{m}}{1,0 \, \text{m/s}} \\ &= 150 \, \text{s} \end{aligned}

Résultat

La personne mettra \(150 \, \text{s}\) (soit 2 minutes et 30 secondes) pour traverser le train de l'arrière vers l'avant, mesuré par un observateur dans le train.