Application de la Troisième Loi de Kepler

La troisième loi de Kepler peut être formulée mathématiquement comme suit :

\frac{T^2}{a^3} = k

où \(k\) est une constante qui reste la même pour toutes les planètes orbitant autour du même astre (ici, la même étoile).

Données

On vous donne les données suivantes pour deux planètes fictives orbitant autour de la même étoile :

Planète X :
- Demi-grand axe de l’orbite : \(a_X = 1.5 \, \text{UA}\)
- Période orbitale : \(T_X = 1.75 \, \text{années terrestres}\)
Planète Y :
- Demi-grand axe de l’orbite : \(a_Y = 4.2 \, \text{UA}\)
- Période orbitale : \(T_Y = \text{inconnue}\)

Questions

Calculez la constante \(k\) en utilisant les données de la planète X.
Utilisez la valeur de \(k\) trouvée dans la question 1 pour déterminer la période orbitale \(T_Y\) de la planète Y.

Correction : Application de la Troisième Loi de Kepler

1. Calcul de la Constante \(k\)

La constante de Kepler \(k\) peut être calculée en utilisant les données de n'importe quelle planète orbitant autour de l'étoile en question. Nous utiliserons les données de la Planète X. \[ k = \frac{T_X^2}{a_X^3} \] Il est important d'être cohérent avec les unités. Ici, nous utiliserons les années terrestres pour la période et les unités astronomiques (UA) pour le demi-grand axe. La constante \(k\) aura donc pour unité \(\text{années}^2 / \text{UA}^3\).

Données pour cette étape

\(a_X = 1.5 \, \text{UA}\)
\(T_X = 1.75 \, \text{années}\)

Calcul

\begin{aligned} k &= \frac{T_X^2}{a_X^3} \\ k &= \frac{(1.75 \, \text{années})^2}{(1.5 \, \text{UA})^3} \\ k &= \frac{3.0625 \, \text{années}^2}{3.375 \, \text{UA}^3} \\ k &\approx 0.9074 \, \frac{\text{années}^2}{\text{UA}^3} \end{aligned}

Résultat

La constante de Kepler pour ce système stellaire est \(k \approx 0.907 \, \frac{\text{années}^2}{\text{UA}^3}\).

Note : Si l'on utilisait les données du système solaire avec la Terre (\(a \approx 1\) UA, \(T \approx 1\) année), on trouverait \(k \approx 1 \, \frac{\text{année}^2}{\text{UA}^3}\). La valeur différente ici indique que l'étoile centrale n'a pas la même masse que le Soleil.

2. Calcul de la Période Orbitale \(T_Y\)

Puisque la planète Y orbite autour de la même étoile, elle obéit à la même loi de Kepler avec la même constante \(k\). Nous avons donc : \[ \frac{T_Y^2}{a_Y^3} = k \] Nous pouvons réarranger cette équation pour trouver \(T_Y\) : \[ T_Y^2 = k \times a_Y^3 \] \[ T_Y = \sqrt{k \times a_Y^3} \]

Données pour cette étape

Constante de Kepler : \(k \approx 0.9074 \, \frac{\text{années}^2}{\text{UA}^3}\) (calculée à l'étape 1)
Demi-grand axe de la Planète Y : \(a_Y = 4.2 \, \text{UA}\)

Calcul

\begin{aligned} T_Y^2 &= k \times a_Y^3 \\ T_Y^2 &\approx (0.9074 \, \frac{\text{années}^2}{\text{UA}^3}) \times (4.2 \, \text{UA})^3 \\ T_Y^2 &\approx 0.9074 \times (4.2^3) \, \text{années}^2 \\ T_Y^2 &\approx 0.9074 \times 74.088 \, \text{années}^2 \\ T_Y^2 &\approx 67.23 \, \text{années}^2 \\ \\ T_Y &= \sqrt{67.23} \, \text{années} \\ T_Y &\approx 8.20 \, \text{années} \end{aligned}

Résultat Final

La période orbitale de la planète Y est \(T_Y \approx 8.20\) années terrestres.

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