Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
Contexte : La physique derrière le coup franc parfait.
Qu'il s'agisse d'un coup franc enroulé, d'une longue passe ou d'un dégagement du gardien, la trajectoire d'un ballon de football obéit à des principes physiques précis. Le mouvement paraboliqueTrajectoire d'un objet lancé dans un champ de gravité uniforme, en l'absence de frottement. La courbe décrite est une parabole. est le modèle qui permet de décrire et de prédire où le ballon va atterrir. Cet exercice propose d'analyser un tir pour en déterminer les caractéristiques clés : sa hauteur maximale (la flèche) et la distance qu'il parcourt (la portée). En maîtrisant ces calculs, on peut comprendre comment un joueur ajuste son tir pour marquer.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application classique de la cinématique en deux dimensions. La clé est de décomposer le problème : un mouvement horizontal à vitesse constante (car rien ne pousse ou ne freine le ballon horizontalement) et un mouvement vertical uniformément accéléré (à cause du poids). En étudiant ces deux mouvements simples séparément, on peut reconstituer la trajectoire complexe.
Objectifs Pédagogiques
- Décomposer un vecteur vitesse initial en ses composantes horizontale et verticale.
- Établir les équations horaires du mouvement d'un projectile.
- Calculer le temps de vol et la hauteur maximale (flèche) d'une trajectoire.
- Déterminer la portée d'un tir.
- Comprendre l'influence de l'angle de tir et de la vitesse initiale sur la trajectoire.
Données de l'étude
Schéma de la trajectoire du ballon
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 20 | \(\text{m/s}\) |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 35 | \(\text{degrés}\) |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | \(\text{m/s}^2\) |
Questions à traiter
- Déterminer les composantes horizontale \(v_{0x}\) et verticale \(v_{0y}\) du vecteur vitesse initiale \(\vec{v_0}\).
- Établir les équations horaires de la position \(x(t)\) et \(y(t)\) du ballon.
- Calculer le temps \(t_{\text{f}}\) nécessaire pour que le ballon atteigne sa hauteur maximale (la flèche).
- En déduire la valeur de cette hauteur maximale \(H\).
- Calculer la portée \(P\) du tir.
Les bases de la Cinématique du Projectile
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.
1. Décomposition de la Vitesse :
Un vecteur vitesse initial \(\vec{v_0}\) faisant un angle \(\alpha\) avec l'horizontale se décompose en deux parties : une composante horizontale \(v_{0x}\) et une composante verticale \(v_{0y}\). Grâce à la trigonométrie, on a :
\[ v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha) \quad \text{et} \quad v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha) \]
2. Mouvement selon les Axes :
En négligeant les frottements, la seule force est le poids, qui est vertical.
- Axe horizontal (x) : Aucune force, donc accélération nulle. Le mouvement est rectiligne uniforme. \(x(t) = v_{0x} \cdot t\)
- Axe vertical (y) : Soumis au poids, donc accélération constante \(a_y = -g\). Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. \(y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y} \cdot t\)
3. Sommet de la Trajectoire (Flèche) :
Au point le plus haut de sa trajectoire, la vitesse verticale du ballon s'annule brièvement (\(v_y(t) = 0\)) avant de redevenir négative (le ballon redescend). C'est la condition qui permet de trouver le temps pour atteindre le sommet.
Correction : Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
Question 1 : Déterminer les composantes de la vitesse initiale
Principe (le concept physique)
Le mouvement du ballon se fait en deux dimensions (horizontalement et verticalement). Pour simplifier l'analyse, on décompose le vecteur vitesse initial, qui est oblique, en deux vecteurs plus simples : un purement horizontal et un purement vertical. C'est le principe de décomposition de vecteur, un outil fondamental en physique pour analyser les mouvements complexes.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Tout vecteur dans un plan peut être vu comme la somme de ses projections sur deux axes perpendiculaires. Le vecteur vitesse \(\vec{v_0}\) forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents sont les composantes \(v_{0x}\) et \(v_{0y}\). Les relations trigonométriques (cosinus = adjacent/hypoténuse, sinus = opposé/hypoténuse) nous donnent directement les formules pour calculer ces composantes.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que le soleil est exactement au-dessus du terrain. La composante horizontale \(v_{0x}\) est la vitesse de l'ombre du ballon sur le sol. Imaginez maintenant un projecteur très loin sur le côté. La composante verticale \(v_{0y}\) est la vitesse de l'ombre du ballon sur un mur vertical. Étudier ces deux ombres est plus simple que d'étudier le ballon directement.
Normes (la référence réglementaire)
La décomposition vectorielle est un concept mathématique standard qui n'est pas régi par une "norme" au sens technique, mais c'est un prérequis fondamental pour appliquer les lois de la mécanique de Newton, qui sont la base de toute l'ingénierie mécanique et de la physique classique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Les formules de projection sont :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On travaille dans un repère cartésien (O, x, y) avec l'axe x horizontal et l'axe y vertical. L'angle \(\alpha\) est mesuré par rapport à l'axe x.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Vitesse initiale, \(v_0 = 20 \, \text{m/s}\)
- Angle de tir, \(\alpha = 35^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" et non en "radians" ou "grades" avant de calculer le cosinus et le sinus. C'est une erreur très fréquente qui fausse tous les résultats suivants.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du Vecteur Vitesse
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique les formules trigonométriques :
Schéma (Après les calculs)
Composantes de la Vitesse Calculées
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le ballon démarre avec une vitesse horizontale de 16.38 m/s qui restera constante tout au long du vol (en l'absence de frottements). Il démarre également avec une vitesse verticale de 11.47 m/s qui va diminuer à cause de la gravité, s'annuler au sommet, puis devenir négative.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas inverser le sinus et le cosinus. Le cosinus est toujours associé au côté adjacent à l'angle (ici, l'horizontale), et le sinus au côté opposé (la verticale).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le mouvement d'un projectile doit être décomposé sur les axes horizontal (x) et vertical (y).
- \(v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)\) (côté adjacent).
- \(v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)\) (côté opposé).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En balistique, la science qui étudie le mouvement des projectiles, les ingénieurs doivent prendre en compte des facteurs bien plus complexes comme la résistance de l'air, la rotation du projectile (l'effet Magnus, qui courbe la trajectoire d'un ballon brossé), la variation de la densité de l'air avec l'altitude et même la rotation de la Terre (la force de Coriolis) pour les tirs à très longue portée.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'angle était de 60°, quelle serait la valeur de \(v_{0x}\) (en m/s) ?
Question 2 : Établir les équations horaires de la position
Principe (le concept physique)
Les équations horaires, \(x(t)\) et \(y(t)\), sont des formules mathématiques qui décrivent la position du ballon à n'importe quel instant \(t\) après le tir. Elles sont obtenues en intégrant les équations de la vitesse, qui elles-mêmes découlent de l'accélération subie par le ballon sur chaque axe.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La position est la primitive de la vitesse, qui est la primitive de l'accélération.
- Axe x : \(a_x = 0\). En intégrant, \(v_x(t) = C_1\). À \(t=0\), \(v_x(0) = v_{0x}\), donc \(C_1 = v_{0x}\). La vitesse est constante. En intégrant à nouveau, \(x(t) = v_{0x} \cdot t + C_2\). À \(t=0\), \(x(0)=0\), donc \(C_2=0\).
- Axe y : \(a_y = -g\). En intégrant, \(v_y(t) = -gt + C_3\). À \(t=0\), \(v_y(0) = v_{0y}\), donc \(C_3 = v_{0y}\). En intégrant à nouveau, \(y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y} \cdot t + C_4\). À \(t=0\), \(y(0)=0\), donc \(C_4=0\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le principe de l'indépendance des mouvements est l'un des concepts les plus puissants de la mécanique. Le mouvement vertical du ballon (sa montée puis sa descente) se produit exactement comme si le ballon avait été lancé tout droit vers le haut, sans se soucier de son déplacement horizontal. De même, son déplacement horizontal se fait à vitesse constante, comme s'il glissait sur de la glace, sans se soucier de sa montée et de sa descente.
Normes (la référence réglementaire)
Ces équations sont une application directe des principes de la dynamique newtonienne, qui forment le socle de la mécanique classique. Elles sont universellement utilisées dans tous les manuels de physique et d'ingénierie pour l'étude des mouvements sous gravité constante.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Les équations horaires de la position sont :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le ballon part de l'origine du repère, c'est-à-dire \(x(0)=0\) et \(y(0)=0\). On néglige toute forme de frottement.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Composante horizontale, \(v_{0x} \approx 16.38 \, \text{m/s}\)
- Composante verticale, \(v_{0y} \approx 11.47 \, \text{m/s}\)
- Intensité de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Souvenez-vous que le terme \(\frac{1}{2}g\) vaut environ 4.9. C'est un nombre que vous retrouverez très souvent dans les problèmes de chute libre et de trajectoire. Voir apparaître un "-4.9t²" est un bon signe que vous êtes sur la bonne voie.
Schéma (Avant les calculs)
Construction des Équations Horaires
Calcul(s) (l'application numérique)
On remplace les valeurs numériques dans les formules générales :
Schéma (Après les calculs)
Équations Horaires Finales
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ces deux équations simples sont extrêmement puissantes. Elles agissent comme une "machine à remonter le temps" : donnez-leur n'importe quel instant \(t\) pendant le vol, et elles vous diront exactement où se trouve le ballon en termes de coordonnées (x, y).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier le signe négatif devant le terme en \(g\), car la gravité agit dans le sens opposé à l'axe y positif. Une autre erreur est d'oublier le facteur \(\frac{1}{2}\) dans l'équation de la position verticale.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Mouvement horizontal : \(x(t) = v_{0x} \cdot t\) (vitesse constante).
- Mouvement vertical : \(y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y} \cdot t\) (accélération constante -g).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les premiers ordinateurs, comme l'ENIAC dans les années 1940, ont été en grande partie financés par l'armée américaine pour calculer rapidement les tables de tir d'artillerie. Ces calculs consistaient essentiellement à résoudre numériquement ces équations de trajectoire, en y ajoutant des corrections complexes pour le frottement de l'air.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la hauteur \(y\) du ballon à l'instant \(t=1\) seconde (en m) ?
Question 3 : Calculer le temps pour atteindre la flèche
Principe (le concept physique)
Au sommet de sa trajectoire, le ballon arrête de monter et commence à descendre. À cet instant précis, sa vitesse verticale est nulle. En utilisant l'équation horaire de la vitesse verticale, \(v_y(t) = -gt + v_{0y}\), on peut trouver le temps \(t_{\text{f}}\) pour lequel \(v_y(t_{\text{f}}) = 0\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'équation de la vitesse verticale \(v_y(t)\) est la dérivée de la position \(y(t)\). Trouver le moment où la vitesse s'annule revient à chercher l'extremum (le maximum, dans ce cas) de la fonction de position. C'est un concept fondamental en analyse mathématique : la dérivée d'une fonction s'annule à ses extrema.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à un objet que vous lancez en l'air. Il monte de plus en plus lentement, s'arrête un court instant au sommet, puis redescend de plus en plus vite. Ce "court instant" où la vitesse verticale est nulle est la clé pour résoudre de nombreux problèmes de trajectoire.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul est une application directe des principes de la cinématique et ne fait pas référence à une norme spécifique, mais il est une étape standard dans l'analyse de tout système balistique ou de chute libre.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On résout l'équation :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment : gravité constante et absence de frottements.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Composante verticale, \(v_{0y} \approx 11.47 \, \text{m/s}\)
- Intensité de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le calcul est simple : il s'agit de diviser la vitesse verticale initiale par l'accélération de la pesanteur. Intuitivement, cela a du sens : si la gravité "enlève" 9.81 m/s de vitesse chaque seconde, il faudra \(11.47 / 9.81\) secondes pour annuler une vitesse initiale de 11.47 m/s.
Schéma (Avant les calculs)
Condition au Sommet de la Trajectoire
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Temps de Flèche Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Il faut un peu plus d'une seconde pour que le ballon atteigne le point culminant de sa trajectoire. C'est une durée très courte, qui montre la rapidité des actions au football.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas utiliser la vitesse totale \(v_0\) dans cette formule. Seule la composante verticale de la vitesse est affectée par la gravité et détermine le temps de montée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Au sommet de la trajectoire, la vitesse verticale est nulle : \(v_y = 0\).
- Le temps pour atteindre le sommet est \(t_{\text{f}} = v_{0y} / g\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La sensation d'impesanteur que l'on ressent au sommet d'un saut sur un trampoline ou dans un avion "zéro-G" est due à ce même principe. Pendant un court instant, votre vitesse verticale est nulle et vous êtes en chute libre, tout comme le ballon au sommet de sa trajectoire. Vous ne ressentez plus la réaction normale du support.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la vitesse verticale initiale avait été de 20 m/s, quel aurait été le temps de flèche (en s) ?
Question 4 : Calculer la hauteur maximale (H)
Principe (le concept physique)
La hauteur maximale, ou flèche, est simplement la position verticale \(y\) du ballon à l'instant \(t_{\text{f}}\) où il atteint le sommet. Il suffit de remplacer la valeur du temps trouvée à la question précédente dans l'équation horaire \(y(t)\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
On peut aussi trouver une formule directe pour la flèche en éliminant le temps. Puisque \(t_{\text{f}} = v_{0y}/g\), on peut remplacer cette expression dans \(y(t)\) : \(H = y(t_{\text{f}}) = -\frac{1}{2}g(\frac{v_{0y}}{g})^2 + v_{0y}(\frac{v_{0y}}{g}) = -\frac{v_{0y}^2}{2g} + \frac{v_{0y}^2}{g} = \frac{v_{0y}^2}{2g}\). Cette formule est très utile pour trouver la hauteur maximale directement à partir de la vitesse verticale initiale.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Calculer en deux étapes (d'abord le temps, puis la hauteur) est une méthode sûre qui vous aide à vérifier la cohérence de vos résultats. Si vous utilisez la formule directe, vous gagnez du temps mais vous risquez de ne pas voir une erreur précédente. Les deux approches sont valides.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul est une application directe des principes de la cinématique, sans norme spécifique associée.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On calcule \(H = y(t_{\text{f}})\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise les équations horaires établies précédemment, qui supposent un départ de \(y(0)=0\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Temps de flèche, \(t_{\text{f}} \approx 1.17 \, \text{s}\)
- Équation de position verticale : \(y(t) = -4.905 t^2 + 11.47 t\)
Astuces(Pour aller plus vite)
En utilisant la formule directe \(H = \frac{v_{0y}^2}{2g}\), le calcul est plus rapide : \(H = \frac{11.47^2}{2 \times 9.81} = \frac{131.56}{19.62} \approx 6.71 \, \text{m}\). C'est un excellent moyen de vérifier votre résultat obtenu en deux étapes.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la Hauteur au Temps t𝒻
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Hauteur Maximale Atteinte
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le ballon monte à une hauteur de 6.71 mètres, soit bien au-dessus d'un mur de joueurs lors d'un coup franc (qui mesure environ 2 mètres). Cela montre que l'angle et la vitesse étaient suffisants pour passer par-dessus.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur principale est d'oublier d'élever le temps au carré dans le premier terme de l'équation. Faites également attention aux arrondis : si vous utilisez une valeur de \(t_{\text{f}}\) trop arrondie, votre résultat final pour H peut être légèrement différent.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La flèche est la hauteur maximale \(H\).
- On la calcule en utilisant le temps de flèche \(t_{\text{f}}\) dans l'équation de position \(y(t)\).
- Formule directe : \(H = v_{0y}^2 / (2g)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les fontaines et les jets d'eau sont conçus en utilisant exactement ces équations. Les ingénieurs hydrauliciens calculent la vitesse et l'angle de sortie de l'eau des buses pour créer des formes paraboliques précises et esthétiques, en contrôlant la portée et la flèche de chaque jet.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec une vitesse verticale initiale de 20 m/s, quelle serait la flèche (en m) ?
Question 5 : Calculer la portée (P) du tir
Principe (le concept physique)
En l'absence de frottements, la trajectoire parabolique est symétrique. Le temps total de vol \(t_{\text{vol}}\) est donc le double du temps nécessaire pour atteindre le sommet. La portée \(P\) est la distance horizontale parcourue pendant ce temps total de vol. On l'obtient en utilisant l'équation horaire \(x(t)\) avec le temps total de vol.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La condition pour que le ballon retombe au sol est \(y(t_{\text{vol}}) = 0\). L'équation devient \(-\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t = 0\), soit \(t(-\frac{1}{2}gt + v_{0y}) = 0\). Cette équation a deux solutions : \(t=0\) (le départ) et \(t = \frac{2v_{0y}}{g}\), qui est bien le double du temps de flèche. Cela confirme la symétrie du mouvement.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La portée est le résultat de la combinaison des deux mouvements. Le ballon avance horizontalement à une vitesse constante (\(v_{0x}\)), et le temps dont il dispose pour le faire est déterminé par son mouvement vertical (le temps qu'il passe en l'air, \(t_{\text{vol}}\)). La portée est donc simplement le produit de ces deux grandeurs.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de la portée est un problème classique en balistique et en ingénierie (par exemple, pour déterminer la zone d'impact d'un objet en chute ou la distance de projection de l'eau par une lance à incendie).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Les formules sont :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le point d'arrivée est à la même hauteur que le point de départ (\(y=0\)), ce qui justifie la symétrie du temps de vol.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Temps de flèche, \(t_{\text{f}} \approx 1.17 \, \text{s}\)
- Composante horizontale, \(v_{0x} \approx 16.38 \, \text{m/s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Il existe une formule directe pour la portée : \(P = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}\). Elle s'obtient en combinant les formules précédentes. Pour notre cas : \(P = \frac{20^2 \sin(2 \times 35^\circ)}{9.81} = \frac{400 \sin(70^\circ)}{9.81} \approx \frac{400 \times 0.94}{9.81} \approx 38.33 \, \text{m}\). C'est un excellent moyen de vérifier votre calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la Distance Horizontale Totale
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul du temps de vol :
2. Calcul de la portée :
Schéma (Après les calculs)
Portée du Tir Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le tir a une portée d'environ 38 mètres. C'est une distance considérable sur un terrain de football, typique d'un long dégagement ou d'un coup franc lointain. Le ballon reste en l'air pendant 2.34 secondes.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne confondez pas le temps de flèche (\(t_{\text{f}}\)) et le temps de vol total (\(t_{\text{vol}}\)). La portée se calcule avec le temps de vol total. Utiliser le temps de flèche ne donnerait que la moitié de la distance.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le temps de vol est le double du temps de flèche : \(t_{\text{vol}} = 2 t_{\text{f}}\).
- La portée est la distance horizontale parcourue pendant le temps de vol : \(P = v_{0x} \cdot t_{\text{vol}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les systèmes de guidage de missiles balistiques doivent résoudre ces équations en temps réel, mais à l'envers ! Ils connaissent la position de la cible (la portée) et doivent calculer l'angle et la vitesse initiale à donner au missile pour qu'il atteigne précisément ce point, tout en tenant compte de la rotation de la Terre et des frottements atmosphériques.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec un temps de vol de 3 secondes et une vitesse horizontale de 15 m/s, quelle serait la portée (en m) ?
Outil Interactif : Paramètres de Trajectoire
Modifiez la vitesse initiale et l'angle de tir pour observer leur influence sur la trajectoire.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
En l'absence de frottements, la portée maximale pour une vitesse initiale donnée est toujours obtenue avec un angle de tir de 45°. C'est pourquoi les lanceurs de javelot ou les sauteurs en longueur essaient de s'approcher de cet angle optimal. Au football, à cause de la résistance de l'air, l'angle optimal est en réalité légèrement inférieur, autour de 35-40°.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi néglige-t-on la masse du ballon dans les calculs ?
Dans le modèle du mouvement dans le vide, la seule force agissant sur le ballon est son poids (\(\vec{P} = m\vec{g}\)). D'après la deuxième loi de Newton, \(\Sigma \vec{F} = m\vec{a}\), ce qui donne \(m\vec{g} = m\vec{a}\). La masse \(m\) se simplifie de chaque côté, et on obtient \(\vec{a} = \vec{g}\). L'accélération, et donc la trajectoire, est indépendante de la masse. Une boule de pétanque et un ballon de football lancés avec la même vitesse initiale auraient la même trajectoire dans le vide !
Comment la résistance de l'air changerait-elle la trajectoire ?
La résistance de l'air est une force de frottement qui s'oppose toujours au vecteur vitesse. Elle freinerait le ballon sur ses composantes horizontale et verticale. La trajectoire ne serait plus une parabole parfaite : la portée et la flèche seraient plus faibles, et la forme serait asymétrique (la descente serait plus abrupte que la montée).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour une même vitesse initiale, quel angle de tir donne la plus grande portée (en l'absence de frottements) ?
2. Si on double la vitesse initiale \(v_0\) en gardant le même angle, la hauteur maximale (flèche) sera...
- Trajectoire
- Ensemble des positions successives occupées par un point matériel au cours du temps. Pour un projectile dans le vide, c'est une parabole.
- Portée
- Distance horizontale maximale parcourue par un projectile entre son point de lancement et son point de chute, lorsque ces deux points sont à la même altitude.
- Flèche
- Hauteur maximale atteinte par un projectile au-dessus de son point de lancement.
D’autres exercices de physique seconde:
0 commentaires