Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
Étude du mouvement d'un projectile lancé avec une vitesse initiale et un angle, en négligeant les frottements de l'air.
Le mouvement d'un projectile, comme une balle de football frappée, peut être décomposé en un mouvement horizontal à vitesse constante et un mouvement vertical uniformément varié (soumis à l'accélération de la pesanteur). On néglige ici la résistance de l'air.
Si une balle est lancée avec une vitesse initiale \(v_0\) faisant un angle \(\alpha\) avec l'horizontale, les composantes initiale de la vitesse sont :
Les équations horaires du mouvement (position \(x(t)\) et \(y(t)\) en fonction du temps \(t\)) sont :
(L'origine du repère (0,0) est prise au point de lancement, l'axe x horizontal et l'axe y vertical vers le haut).
La vitesse verticale à un instant \(t\) est \(v_y(t) = v_{0y} - g \cdot t\). Au sommet de la trajectoire, \(v_y(t_{sommet}) = 0\).
Données du Problème
Un joueur de football frappe une balle, initialement au sol.
- Vitesse initiale de la balle : \(v_0 = 20 \text{ m/s}\)
- Angle de tir par rapport à l'horizontale : \(\alpha = 30^\circ\)
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
- On donne : \(\cos(30^\circ) \approx 0.866\) et \(\sin(30^\circ) = 0.500\)
Questions
- Calculer les composantes horizontale (\(v_{0x}\)) et verticale (\(v_{0y}\)) de la vitesse initiale \(v_0\).
- Calculer le temps \(t_{sommet}\) nécessaire pour que la balle atteigne le sommet de sa trajectoire. (Au sommet, \(v_y = 0\)).
- Calculer la hauteur maximale \(H_{max}\) (ou flèche) atteinte par la balle.
- Calculer le temps total de vol \(t_{vol}\) de la balle avant qu'elle ne retouche le sol. (On admettra que \(t_{vol} = 2 \times t_{sommet}\) si le point de départ et d'arrivée sont à la même hauteur).
- Calculer la portée horizontale \(X_{max}\) du tir (distance horizontale parcourue par la balle).
Correction : Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
1. Calcul des Composantes de la Vitesse Initiale
On utilise les formules \(v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)\) et \(v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)\).
Données :
- \(v_0 = 20 \text{ m/s}\)
- \(\alpha = 30^\circ\)
- \(\cos(30^\circ) \approx 0.866\)
- \(\sin(30^\circ) = 0.500\)
Composante horizontale :
Composante verticale :
Les composantes de la vitesse initiale sont :
- \(v_{0x} \approx 17.32 \text{ m/s}\)
- \(v_{0y} = 10.0 \text{ m/s}\)
2. Calcul du Temps pour Atteindre le Sommet (\(t_{sommet}\))
Au sommet de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse \(v_y(t)\) est nulle. On utilise \(v_y(t) = v_{0y} - g \cdot t\).
Données :
- \(v_{0y} = 10.0 \text{ m/s}\)
- \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
Le temps pour atteindre le sommet est \(t_{sommet} \approx 1.02 \text{ s}\).
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3. Calcul de la Hauteur Maximale (\(H_{max}\))
On utilise l'équation de la position verticale \(y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2\) avec \(t = t_{sommet}\).
Données :
- \(v_{0y} = 10.0 \text{ m/s}\)
- \(t_{sommet} \approx 1.0204 \text{ s}\)
- \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
Alternativement, on peut utiliser \(v_y^2 - v_{0y}^2 = -2gH_{max}\). Au sommet \(v_y=0\), donc \(H_{max} = v_{0y}^2 / (2g)\).
La hauteur maximale atteinte par la balle est \(H_{max} \approx 5.10 \text{ m}\).
4. Calcul du Temps Total de Vol (\(t_{vol}\))
Si le point de départ et d'arrivée sont à la même hauteur (sol), le temps de montée est égal au temps de descente. Donc, \(t_{vol} = 2 \times t_{sommet}\).
Donnée :
- \(t_{sommet} \approx 1.0204 \text{ s}\)
Le temps total de vol de la balle est \(t_{vol} \approx 2.04 \text{ s}\).
5. Calcul de la Portée Horizontale (\(X_{max}\))
La portée est la distance horizontale parcourue pendant le temps total de vol. On utilise \(x(t) = v_{0x} \cdot t\) avec \(t = t_{vol}\).
Données :
- \(v_{0x} \approx 17.32 \text{ m/s}\)
- \(t_{vol} \approx 2.0408 \text{ s}\)
La portée horizontale du tir est \(X_{max} \approx 35.35 \text{ m}\).
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Glossaire des Termes Clés
Projectile :
Tout corps lancé dans l'espace et soumis uniquement à l'action de la pesanteur (et éventuellement aux frottements de l'air, négligés ici).
Trajectoire :
Courbe décrite par le centre d'un mobile au cours de son mouvement. Pour un projectile sans frottements, elle est parabolique.
Vitesse Initiale (\(v_0\)) :
Vitesse du projectile au moment où il est lancé (\(t=0\)).
Angle de Tir (\(\alpha\)) :
Angle que fait le vecteur vitesse initiale avec l'horizontale.
Composantes de la Vitesse (\(v_x, v_y\)) :
Projections du vecteur vitesse sur les axes horizontal (x) et vertical (y).
Accélération de la Pesanteur (\(g\)) :
Accélération subie par tout corps massique au voisinage de la Terre, dirigée verticalement vers le bas. Sa valeur est d'environ \(9.8 \text{ m/s}^2\).
Flèche (Hauteur Maximale \(H_{max}\)) :
Altitude maximale atteinte par le projectile au cours de son mouvement.
Portée (\(X_{max}\)) :
Distance horizontale maximale parcourue par le projectile avant de retomber au niveau de son point de lancement.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la résistance de l'air affecterait-elle la trajectoire réelle d'une balle de football par rapport à la trajectoire parabolique idéale ? La portée et la hauteur maximale seraient-elles plus grandes ou plus petites ?
2. Si un joueur frappe la balle depuis une hauteur (par exemple, lors d'un dégagement de gardien de but), comment cela modifierait-il le calcul du temps de vol et de la portée ?
3. Pour un angle de tir \(\alpha\) donné, comment la portée varie-t-elle si on double la vitesse initiale \(v_0\) ?
4. Deux angles de tir complémentaires (par exemple \(30^\circ\) et \(60^\circ\)) donnent-ils la même portée pour une même vitesse initiale ? Pourquoi ?
5. Recherchez l'effet Magnus. Comment cet effet, dû à la rotation de la balle, peut-il influencer la trajectoire d'un ballon de football ?
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