Calcul de la Résistance d’un Conducteur Ohmique
Contexte : Les lois fondamentales de l'électricité.
En électricité, la résistance est une grandeur fondamentale qui caractérise la capacité d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Comprendre comment la calculer est essentiel pour concevoir tout circuit, du plus simple (une ampoule) au plus complexe (un microprocesseur). Cet exercice vous guidera à travers deux méthodes pour déterminer la résistance d'un fil de cuivre : l'une basée sur ses propriétés géométriques et matérielles (sa résistivitéLa résistivité (ρ) est une propriété intrinsèque d'un matériau qui mesure sa capacité à résister au courant électrique. Un matériau avec une faible résistivité est un bon conducteur (ex: cuivre), tandis qu'un matériau à haute résistivité est un isolant (ex: verre).), l'autre sur une mesure expérimentale en utilisant la célèbre Loi d'OhmÉnoncée par Georg Ohm, cette loi stipule que la tension (U) aux bornes d'un conducteur ohmique est proportionnelle à l'intensité du courant (I) qui le traverse. La constante de proportionnalité est la résistance (R). Formule : U = R × I..
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un principe clé en sciences physiques : la validation croisée. Nous allons calculer une même grandeur (la résistance R) de deux manières différentes : une approche théorique (avec la formule de la résistivité) et une approche expérimentale (avec la loi d'Ohm). Comparer les deux résultats nous permet de valider notre modèle et de réfléchir aux sources d'incertitudes.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'aire de la section (surface) d'un fil cylindrique.
- Appliquer la deuxième loi d'Ohm pour calculer la résistance à partir de la résistivité et des dimensions.
- Appliquer la première loi d'Ohm (\(U=RI\)) pour calculer la résistance à partir de mesures électriques.
- Comparer des résultats théoriques et expérimentaux et analyser les écarts.
- Maîtriser les unités et les conversions (mm en m, mm² en m²).
Données de l'étude
Schéma du montage et du conducteur
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur du fil | \(L\) | 2,0 | \(\text{m}\) |
| Diamètre du fil | \(d\) | 0,50 | \(\text{mm}\) |
| Résistivité du cuivre | \(\rho\) | 1,7 x 10-8 | \(\Omega \cdot \text{m}\) |
| Tension mesurée | \(U\) | 5,0 | \(\text{V}\) |
| Courant mesuré | \(I\) | 2,9 | \(\text{A}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'aire de la section \(S\) du fil de cuivre en mètres carrés (m²).
- En utilisant la résistivité, calculer la valeur théorique de la résistance \(R_{\text{théo}}\) du fil.
- En utilisant la loi d'Ohm et les mesures, calculer la valeur expérimentale de la résistance \(R_{\text{exp}}\).
- Comparer les deux valeurs de résistance et commenter l'écart éventuel.
Les bases de l'Électricité
Avant de plonger dans la correction, revoyons les deux lois fondamentales de cet exercice.
1. La Deuxième Loi d'Ohm (Loi de la Résistivité) :
Cette loi décrit comment la résistance d'un conducteur dépend de sa nature et de sa forme. La résistance \(R\) est proportionnelle à la longueur \(L\) du conducteur et inversement proportionnelle à l'aire de sa section \(S\). Le coefficient de proportionnalité est la résistivité \(\rho\), propre au matériau.
\[ R = \rho \frac{L}{S} \]
Où \(R\) est en Ohms (\(\Omega\)), \(\rho\) en Ohm-mètres (\(\Omega \cdot \text{m}\)), \(L\) en mètres (m) et \(S\) en mètres carrés (m²).
2. La Première Loi d'Ohm (Caractéristique d'un conducteur ohmique) :
Cette loi relie la tension, le courant et la résistance dans un circuit. Pour un conducteur dit "ohmique", la tension \(U\) à ses bornes est directement proportionnelle à l'intensité \(I\) du courant qui le traverse.
\[ U = R \times I \]
Où \(U\) est en Volts (V), \(R\) en Ohms (\(\Omega\)) et \(I\) en Ampères (A). C'est la relation la plus célèbre en électricité.
Correction : Calcul de la Résistance d’un Conducteur Ohmique
Question 1 : Calculer l'aire de la section (S)
Principe (le concept physique)
Le fil est un cylindre. Le courant électrique circule à travers sa section, qui est un disque. L'aire de cette section (aussi appelée surface) est cruciale car, à longueur et matériau égaux, un fil plus "gros" (avec une plus grande section) laissera passer le courant plus facilement, et aura donc une résistance plus faible.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'aire d'un disque est une formule géométrique de base : \(S = \pi \cdot r^2\). Comme les données techniques fournissent souvent le diamètre (\(d\)) plutôt que le rayon (\(r\)), il est courant d'utiliser la relation \(r = d/2\). La formule devient alors \(S = \pi \cdot (d/2)^2\). Il est impératif de veiller à la cohérence des unités pour les calculs physiques.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
L'erreur la plus fréquente ici est une erreur de conversion. Le diamètre est donné en millimètres (mm) mais pour être cohérent avec la résistivité (en \(\Omega \cdot \text{m}\)), toutes les longueurs doivent être en mètres (m). Pensez à convertir le diamètre en mètres AVANT de faire le calcul de l'aire.
Normes (la référence réglementaire)
En physique et en ingénierie, le Système International (SI) est la norme. Pour l'électricité et la géométrie, cela implique d'utiliser les mètres (m) pour les longueurs, les mètres carrés (m²) pour les surfaces, les Volts (V), les Ampères (A) et les Ohms (\(\Omega\)).
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'aire \(S\) d'un disque de diamètre \(d\) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le fil a une section parfaitement circulaire et un diamètre constant sur toute sa longueur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Diamètre du fil, \(d = 0,50 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Rappelez-vous que 1 mm = 10⁻³ m. Donc, 0,50 mm = 0,50 x 10⁻³ m = 5,0 x 10⁻⁴ m. Utiliser les puissances de 10 simplifie souvent les calculs et évite les erreurs avec les zéros.
Schéma (Avant les calculs)
Section Circulaire du Fil
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Convertir le diamètre en mètres :
2. Calculer l'aire de la section en m² :
Schéma (Après les calculs)
Aire de la Section Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'aire est très petite, ce qui est normal pour un fil fin. Cette valeur sera cruciale pour la question suivante, car la résistance est inversement proportionnelle à cette surface : une petite surface implique une résistance plus élevée.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas oublier de diviser le diamètre par 2 pour obtenir le rayon, et à ne pas oublier de mettre le rayon au carré. Une autre erreur classique est de mal calculer le carré d'une puissance de dix : \((10^{-3})^2 = 10^{-6}\), pas \(10^{-9}\) ou \(10^{-5}\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La section d'un fil est un disque d'aire \(S = \pi r^2\).
- Toujours convertir les unités (mm en m) pour être cohérent avec le Système International.
- Une petite erreur sur le diamètre a un grand impact sur l'aire (à cause du carré).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les câbles à haute tension, on utilise parfois des conducteurs creux ou des faisceaux de plusieurs fils. Cela augmente la surface extérieure pour une même quantité de matériau, ce qui aide à dissiper la chaleur et à réduire les pertes d'énergie par "effet couronne", un phénomène de décharge électrique dans l'air.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le diamètre du fil était de 1,0 mm (deux fois plus grand), quelle serait la nouvelle aire en m² ?
Simulateur 3D : Diamètre et Section
Aire de la section (S) : 1.96e-7 m²
Question 2 : Calculer la résistance théorique (Rthéo)
Principe (le concept physique)
La résistance d'un fil n'est pas seulement due au matériau, mais aussi à sa forme. La deuxième loi d'Ohm modélise cela : la résistance augmente avec la longueur \(L\) (plus de chemin à parcourir pour les électrons) et diminue avec l'aire de la section \(S\) (plus de place pour passer). La résistivité \(\rho\) est la "difficulté" de base du matériau lui-même.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La résistivité \(\rho\) est une propriété microscopique qui dépend de la structure atomique du matériau et de la température. Elle quantifie la fréquence des collisions entre les électrons (le courant) et les atomes du réseau cristallin. Plus il y a de collisions, plus la résistivité est élevée. La formule \(R = \rho L/S\) est une loi macroscopique qui relie cette propriété microscopique aux dimensions physiques de l'objet.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez un couloir pour visualiser la résistance. La longueur du couloir est \(L\), sa largeur est \(S\), et l'encombrement (des obstacles, des gens) est \(\rho\). Il est plus difficile de traverser un couloir long (\(L\) grand), étroit (\(S\) petit) et encombré (\(\rho\) grand). La résistance électrique suit exactement la même logique.
Normes (la référence réglementaire)
La résistivité \(\rho\) est généralement donnée à une température de référence, souvent 20°C. Il est important de savoir que pour la plupart des conducteurs, la résistivité augmente avec la température, ce qui signifie que leur résistance augmente également lorsqu'ils chauffent.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La deuxième loi d'Ohm :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la résistivité du cuivre est constante à 1,7 x 10⁻⁸ Ω·m, ce qui implique que le fil est à la température de référence (environ 20°C).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Résistivité, \(\rho = 1,7 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}\)
- Longueur, \(L = 2,0 \, \text{m}\)
- Aire de la section, \(S \approx 1,96 \times 10^{-7} \, \text{m}^2\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Faites un calcul d'ordre de grandeur avant de taper sur la calculatrice. \(\rho\) est de l'ordre de \(10^{-8}\), \(L\) est de l'ordre de 1, et \(S\) est de l'ordre de \(10^{-7}\). Le résultat devrait donc être de l'ordre de \(10^{-8} / 10^{-7} = 10^{-1}\), soit environ 0,1 \(\Omega\). Cela vous protège contre les grosses erreurs de saisie.
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres Géométriques du Fil
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule avec les valeurs en unités SI.
Schéma (Après les calculs)
Résistance Théorique Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La résistance théorique du fil est très faible (0,173 Ω). C'est normal pour un court fil de cuivre, qui est un excellent conducteur. Cette faible valeur signifie qu'il faudra une tension très faible pour y faire passer un courant important.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur principale serait d'utiliser des unités incohérentes, par exemple L en cm ou S en mm². Assurez-vous que tout est en mètres, mètres carrés, etc., comme l'unité de \(\rho\) (\(\Omega \cdot \text{m}\)) l'exige.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La résistance dépend de la longueur (\(L\)), de la section (\(S\)) et du matériau (\(\rho\)).
- Formule clé : \(R = \rho L/S\).
- Un bon conducteur (cuivre, argent) a une faible résistivité \(\rho\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les supraconducteurs sont des matériaux extraordinaires dont la résistivité tombe brusquement à zéro en dessous d'une certaine température critique. Un courant lancé dans une boucle supraconductrice pourrait y circuler éternellement sans perte d'énergie !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si on utilisait un fil de nichrome (\(\rho \approx 1,1 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{m}\)) de mêmes dimensions, quelle serait sa résistance en \(\Omega\) ?
Simulateur 3D : Géométrie et Résistance
Résistance (R) : 0.173 Ω
Question 3 : Calculer la résistance expérimentale (Rexp)
Principe (le concept physique)
La loi d'Ohm (\(U=RI\)) est la relation fondamentale qui lie la tension, le courant et la résistance. Si on mesure deux de ces grandeurs, on peut en déduire la troisième. Dans une expérience, on impose généralement une tension \(U\) avec un générateur et on mesure le courant \(I\) qui en résulte avec un ampèremètre. Le rapport des deux nous donne directement la résistance du composant.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La représentation graphique de la tension \(U\) en fonction du courant \(I\) pour un conducteur ohmique est une droite qui passe par l'origine. C'est la "caractéristique" du dipôle. La pente de cette droite est égale à la résistance \(R\) (car \(U/I = R\)). Réaliser plusieurs mesures pour différents points (U,I) et calculer la pente moyenne est une méthode expérimentale robuste pour déterminer R.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette méthode est purement "boîte noire". On ne se soucie pas de savoir si le composant est un fil, une résistance de carbone, etc. On applique une tension, on mesure un courant, et le rapport des deux nous donne sa résistance. C'est la façon la plus directe de mesurer une résistance en pratique.
Normes (la référence réglementaire)
Pour mesurer correctement, l'ampèremètre (qui mesure I) doit être branché en série dans le circuit, tandis que le voltmètre (qui mesure U) doit être branché en dérivation (en parallèle) aux bornes du composant à mesurer. Une inversion des branchements conduirait à des mesures erronées ou pourrait endommager les appareils.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On part de la loi d'Ohm et on isole R :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les appareils de mesure (voltmètre, ampèremètre) sont idéaux et n'influencent pas le circuit. On suppose également que le composant a bien un comportement ohmique (sa résistance ne dépend pas du courant qui le traverse).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Tension mesurée, \(U = 5,0 \, \text{V}\)
- Courant mesuré, \(I = 2,9 \, \text{A}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Assurez-vous que les unités sont bien des Volts et des Ampères. Si le courant était donné en milliampères (mA), il faudrait le convertir en Ampères (1 mA = 10⁻³ A) avant de faire le calcul pour obtenir un résultat en Ohms.
Schéma (Avant les calculs)
Mesures Expérimentales
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule.
Schéma (Après les calculs)
Résistance Expérimentale Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur expérimentale de la résistance est de 1,72 Ω. Cette valeur est très différente de la valeur théorique (0,173 Ω) calculée précédemment. Un tel écart (un facteur 10 !) est significatif et sera analysé dans la prochaine question.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas inverser U et I dans la formule. Une erreur commune est de calculer I/U au lieu de U/I. Rappelez-vous du "triangle de la loi d'Ohm" ou de la phrase "L'Union Fait la Résistance et l'Intensité" (U=RI) pour retrouver la bonne relation.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La loi d'Ohm est \(U = R \times I\).
- On peut en déduire la résistance par \(R = U / I\).
- C'est une méthode de mesure expérimentale directe.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Certains composants électroniques, comme les diodes ou les thermistances, ne suivent pas la loi d'Ohm. Leur résistance varie en fonction de la tension ou de la température. On les appelle des dipôles "non-linéaires" ou "non-ohmiques".
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si pour une tension de 12 V, on mesurait un courant de 4 A, quelle serait la résistance en \(\Omega\) ?
Simulateur 3D : Loi d'Ohm
Courant calculé (I) : 2.91 A
Question 4 : Comparer les résistances et commenter
Principe (le concept physique)
La comparaison entre une valeur prédite par un modèle théorique (\(R_{\text{théo}}\)) et une valeur obtenue par une mesure expérimentale (\(R_{\text{exp}}\)) est au cœur de la démarche scientifique. Si les valeurs sont proches, le modèle est validé. Si elles sont très différentes, cela signifie qu'une de nos hypothèses est fausse ou qu'un phénomène non pris en compte est prépondérant.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'écart relatif, calculé en pourcentage, est un bon outil pour quantifier la différence : \( \text{Ecart} (\%) = \frac{|R_{\text{exp}} - R_{\text{théo}}|}{R_{\text{théo}}} \times 100 \). Un faible écart (quelques %) peut être attribué aux incertitudes de mesure. Un écart très important, comme ici, signale une erreur systématique ou un problème dans les données de départ.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Face à un tel écart, un scientifique ou un ingénieur doit se poser les bonnes questions. Est-ce que je me suis trompé dans mes calculs ? (Vérifier Q1 et Q2). Mes appareils de mesure sont-ils fiables ? Les données de l'énoncé sont-elles correctes ? Y a-t-il un phénomène physique que j'ai négligé ? C'est un excellent exercice de réflexion critique.
Normes (la référence réglementaire)
En métrologie (la science de la mesure), on associe toujours à un résultat une incertitude de mesure (ex: \(R = 1,72 \pm 0,05 \, \Omega\)). La comparaison de deux valeurs doit alors tenir compte de ces incertitudes pour déterminer si l'écart est statistiquement significatif ou non.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Calcul de l'écart relatif :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On va analyser les hypothèses faites précédemment pour trouver la source de l'écart. L'hypothèse la plus probable à remettre en cause est celle sur la longueur du fil.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Résistance théorique, \(R_{\text{théo}} \approx 0,173 \, \Omega\) (du calcul Q2)
- Résistance expérimentale, \(R_{\text{exp}} \approx 1,72 \, \Omega\) (du calcul Q3)
Astuces(Pour aller plus vite)
Puisque \(R\) est proportionnelle à \(L\), si la résistance expérimentale est environ 10 fois plus grande que la théorique, il est très probable que la longueur réelle du fil soit 10 fois plus grande que la valeur de 2,0 m indiquée. Une bobine contient souvent une grande longueur de fil enroulé.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des deux valeurs
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de l'écart :
2. Analyse de l'écart : Un écart de près de 900% ne peut pas s'expliquer par de simples incertitudes de mesure. L'hypothèse la plus probable est une erreur dans les données. Le composant est une "bobine de fil", sa longueur est donc bien supérieure à 2,0 m. On peut estimer la longueur réelle :
Schéma (Après les calculs)
Conclusion de l'Analyse
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'analyse de l'écart nous a permis de déduire que la longueur de fil dans la bobine est en réalité d'environ 20 mètres, et non 2 mètres. L'énoncé était volontairement piégé pour encourager la réflexion critique face à des résultats incohérents. C'est une compétence essentielle : les données ne sont pas toujours parfaites, et il faut savoir les questionner.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais conclure hâtivement qu'une expérience est "fausse" ou qu'une théorie "ne marche pas". Un grand écart est une information précieuse qui pointe vers une hypothèse incorrecte ou un facteur négligé. Toujours chercher une explication physique logique à l'écart observé.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Comparer les valeurs théoriques et expérimentales est fondamental.
- Un grand écart signale souvent une erreur dans les hypothèses ou les données de départ.
- L'analyse des écarts permet d'affiner la compréhension d'un phénomène.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'effet Joule (l'échauffement d'une résistance) est parfois un effet indésirable (pertes dans les lignes électriques), mais il est aussi la base de nombreuses applications : radiateurs électriques, grille-pains, sèche-cheveux, ampoules à incandescence...
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'écart n'avait été que de 5%, quelle aurait été la valeur de Rexp en \(\Omega\) ?
Simulateur 3D : Effet Joule
Puissance dissipée (P) : 14.5 W
Outil Interactif : Lois de l'Électricité
Modifiez les caractéristiques du fil de cuivre et la tension pour voir leur influence sur le circuit.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Georg Ohm (1789-1854), le physicien allemand qui a établi la fameuse loi U=RI, a eu beaucoup de mal à faire accepter ses travaux. Son approche mathématique de la physique était inhabituelle pour l'époque et ses collègues ont d'abord rejeté ses résultats. Il a fallu des années pour que l'importance de sa découverte soit reconnue et que l'unité de résistance, l'Ohm (\(\Omega\)), soit nommée en son honneur.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un "conducteur ohmique" exactement ?
C'est un composant électrique dont la résistance est constante, quelle que soit la tension appliquée ou le courant qui le traverse (tant qu'il ne chauffe pas trop). Sa caractéristique U en fonction de I est une droite passant par l'origine. La plupart des fils et des résistances standards se comportent comme des conducteurs ohmiques dans leur plage d'utilisation normale.
Pourquoi le cuivre est-il si utilisé dans les fils électriques ?
Le cuivre offre un excellent compromis. Sa résistivité est très faible (seul l'argent est un meilleur conducteur à température ambiante, mais il est beaucoup plus cher). De plus, le cuivre est ductile (on peut facilement l'étirer en fils fins), résistant à la corrosion et relativement abondant, ce qui en fait le matériau de choix pour le câblage électrique.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on remplace un fil de cuivre par un fil de fer (plus résistif) de mêmes dimensions, pour une même tension appliquée, le courant sera...
2. Pour diminuer de moitié la résistance d'un long fil, on peut...
- Résistance (R)
- Grandeur physique qui caractérise l'opposition d'un matériau au passage d'un courant électrique. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
- Loi d'Ohm
- Relation fondamentale pour un conducteur ohmique : \(U = R \times I\), où U est la tension (en Volts) et I l'intensité du courant (en Ampères).
- Résistivité (\(\rho\))
- Propriété intrinsèque d'un matériau qui mesure sa capacité à s'opposer au courant. Unité : Ohm-mètre (\(\Omega \cdot \text{m}\)).
- Section (S)
- Surface de la coupe transversale d'un conducteur. Pour un fil, c'est l'aire du disque. Unité : mètre carré (\(\text{m}^2\)).
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