Travail et Puissance d'un Cycliste

Un cycliste monte une colline à vélo. La montée est longue de 500 mètres avec un dénivelé de 50 mètres. Le cycliste et son vélo ont une masse totale de 80 kg. Il réalise cette montée en 10 minutes. On néglige les frottements et on prend \(g=9.81 \, \text{m/s}^2\) pour l’accélération de la gravité.

Données

Longueur de la montée : \(L = 500 \, \text{m}\) (non pertinent pour le travail contre la gravité)
Dénivelé (hauteur verticale) : \(h = 50 \, \text{m}\)
Masse totale (cycliste + vélo) : \(m = 80 \, \text{kg}\)
Temps de montée : \(t = 10 \, \text{minutes}\)
Accélération de la gravité : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Questions

Travail réalisé par le cycliste : Calculer le travail (\(W\)) réalisé par le cycliste pour monter la colline (contre la gravité).
Puissance développée : Déterminer la puissance moyenne (\(P\)) développée par le cycliste durant cette montée.

Correction : Travail et Puissance d’un Cycliste

1. Travail réalisé par le cycliste (\(W\))

Le travail réalisé par le cycliste pour monter la colline, en négligeant les frottements, correspond principalement au travail effectué contre la force de gravité pour élever la masse totale (\(m\)) sur le dénivelé (\(h\)). La force à vaincre est le poids (\(Poids = m \times g\)). Le travail (\(W\)) est le produit de cette force par le déplacement vertical (\(h\)). La formule est : \(W = Poids \times h = m \times g \times h\). Le travail est exprimé en Joules (J). La longueur de la pente (500 m) n'intervient pas dans ce calcul spécifique du travail contre la gravité.

Données pour cette étape

Masse totale : \(m = 80 \, \text{kg}\)
Accélération de la gravité : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Dénivelé (hauteur) : \(h = 50 \, \text{m}\)

Calcul

\begin{aligned} W &= m \times g \times h \\ W &= (80 \, \text{kg}) \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times (50 \, \text{m}) \\ W &= 784.8 \, \text{N} \times 50 \, \text{m} \\ W &= 39240 \, \text{J} \end{aligned}

Note : \(1 \, \text{kg} \times \text{m/s}^2 = 1 \, \text{Newton (N)}\) et \(1 \, \text{N} \times \text{m} = 1 \, \text{Joule (J)}\).

Résultat

Le travail réalisé par le cycliste contre la gravité est \(W = 39240 \, \text{J}\) (ou 39.24 kJ).

2. Puissance moyenne développée (\(P\))

La puissance moyenne (\(P\)) est le travail total (\(W\)) effectué divisé par le temps (\(t\)) mis pour l'accomplir. La formule est \(P = \frac{W}{t}\). Il faut s'assurer que le temps est exprimé en secondes pour obtenir une puissance en Watts (W), où \(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\).

Données pour cette étape

Travail : \(W = 39240 \, \text{J}\) (calculé à l'étape 1)
Temps : \(t = 10 \, \text{minutes}\)

Calcul

Convertissons d'abord le temps en secondes :

t = 10 \, \text{min} \times \frac{60 \, \text{s}}{1 \, \text{min}} = 600 \, \text{s}

Calculons maintenant la puissance moyenne :

\begin{aligned} P &= \frac{W}{t} \\ P &= \frac{39240 \, \text{J}}{600 \, \text{s}} \\ P &= 65.4 \, \text{J/s} \\ P &= 65.4 \, \text{W} \end{aligned}

Résultat

La puissance moyenne développée par le cycliste durant cette montée est \(P = 65.4 \, \text{W}\).

Cette puissance représente uniquement la puissance nécessaire pour vaincre la gravité. En réalité, le cycliste développe une puissance supérieure pour compenser les frottements (air, roulements, etc.) et maintenir sa vitesse.