Étude Dynamique d’un Système Masse-Ressort
Contexte : L'oscillateur harmonique.
Le système masse-ressort est l'un des modèles les plus fondamentaux en physique pour étudier les oscillations. Il consiste en une masse attachée à un ressort, libre de se déplacer sur une surface horizontale sans frottement. Lorsqu'on écarte la masse de sa position d'équilibre, elle se met à osciller. Ce modèle permet de comprendre de nombreux phénomènes, des vibrations dans les structures d'ingénierie aux ondes sonores. Cet exercice vous guidera dans l'analyse dynamique de ce système, de l'établissement de l'équation du mouvement à l'étude de sa conservation d'énergie.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour maîtriser l'application de la deuxième loi de Newton dans un contexte dynamique et pour comprendre la nature des solutions des équations différentielles du second ordre, un pilier des sciences physiques.
Objectifs Pédagogiques
- Établir l'équation différentielle du mouvement d'un oscillateur harmonique non amorti.
- Vérifier qu'une fonction sinusoïdale est solution de cette équation.
- Calculer la pulsation propre, la période et la fréquence du mouvement.
- Déterminer les constantes (amplitude et phase) à partir des conditions initiales.
- Analyser la conservation de l'énergie mécanique du système.
Données de l'étude
Schéma du système Masse-Ressort
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du solide | \(m\) | 0.5 | kg |
| Constante de raideur du ressort | \(k\) | 20 | N/m |
| Position initiale (à \(t=0\)) | \(x_0\) | 0.1 | m |
| Vitesse initiale (à \(t=0\)) | \(v_0\) | 0 | m/s |
Questions à traiter
- En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement de la masse \(m\).
- Vérifier que \(x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \phi)\) est une solution de cette équation et exprimer la pulsation propre \(\omega_0\) en fonction de \(k\) et \(m\).
- Calculer numériquement la pulsation propre \(\omega_0\), la période propre \(T_0\) et la fréquence propre \(f_0\) du système.
- En utilisant les conditions initiales, déterminer les valeurs de l'amplitude \(X_m\) et de la phase à l'origine \(\phi\).
- Calculer l'énergie mécanique initiale \(E_m(0)\) du système. Que peut-on dire de cette énergie au cours du temps ? Justifier.
Les bases sur les Oscillateurs Mécaniques
Pour résoudre cet exercice, il est nécessaire de maîtriser quelques concepts fondamentaux de la mécanique du point.
1. Deuxième loi de Newton
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par l'accélération de son centre d'inertie.
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]
2. Force de rappel d'un ressort (Loi de Hooke)
Un ressort exerce une force de rappel \(\vec{F}_r\) proportionnelle à son allongement \(x\) par rapport à sa position d'équilibre, et de sens opposé.
\[ \vec{F}_r = -k \cdot x \cdot \vec{i} \]
3. Énergie Mécanique
L'énergie mécanique \(E_m\) d'un système est la somme de son énergie cinétique \(E_c\) et de son énergie potentielle \(E_p\). Pour un système masse-ressort, l'énergie potentielle est de type élastique (\(E_{pe}\)).
\[ E_m = E_c + E_{pe} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 \]
En l'absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve.
Correction : Étude Dynamique d’un Système Masse-Ressort
Question 1 : Établir l'équation différentielle du mouvement
Principe
L'objectif est de traduire le problème physique en une équation mathématique qui décrit l'évolution de la position \(x\) au cours du temps. On utilise le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) qui relie les forces appliquées au mouvement de l'objet.
Mini-Cours
La deuxième loi de Newton, ou principe fondamental de la dynamique, est le pilier de la mécanique classique. Elle stipule que l'accélération d'un objet est directement proportionnelle à la somme des forces qui s'exercent sur lui et inversement proportionnelle à sa masse. C'est cette loi qui nous permet de prédire la trajectoire d'un objet si l'on connaît les forces en jeu.
Remarque Pédagogique
Une résolution rigoureuse en mécanique commence toujours par la même méthode : 1. Définir le système. 2. Choisir un référentiel (ici, galiléen). 3. Faire le bilan des forces extérieures. 4. Appliquer la loi fondamentale. 5. Projeter sur des axes bien choisis. Ne sautez jamais une étape !
Normes
En physique fondamentale, nous n'utilisons pas de "normes" au sens industriel du terme. Nous nous appuyons sur les lois fondamentales de la nature, ici les lois de Newton, qui constituent le socle de la mécanique classique.
Formule(s)
Les deux outils mathématiques essentiels pour cette question sont :
Loi Fondamentale de la Dynamique
Loi de Hooke
Hypothèses
Pour modéliser le problème, nous posons les hypothèses simplificatrices suivantes :
- Le référentiel terrestre est considéré galiléen.
- Les frottements (solides et fluides) sont négligés.
- La masse du ressort est nulle devant celle du solide.
- Le ressort est parfaitement élastique et suit la loi de Hooke.
Donnée(s)
Pour cette première question purement théorique, nous n'avons pas besoin de valeurs numériques. Nous utilisons les grandeurs littérales \(m\) (masse) et \(k\) (raideur du ressort).
Astuces
Choisir l'axe de projection \((O, \vec{i})\) colinéaire au mouvement est la clé. Cela annule immédiatement les projections des forces verticales (poids et réaction) et simplifie grandement le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur la masse
Calcul(s)
On applique la 2ème loi de Newton : \(\vec{P} + \vec{R} + \vec{F}_r = m \vec{a}\). On projette ensuite cette équation vectorielle sur l'axe horizontal \((O, \vec{i})\).
Projection de la 2ème loi de Newton
Comme \(\vec{P}\) et \(\vec{R}\) sont verticales, leurs projections sur l'axe horizontal sont nulles. La projection de \(\vec{F}_r\) est \(-kx\) et celle de \(\vec{a}\) est \(a_x = \ddot{x}\).
Application des projections
En réarrangeant les termes, on obtient l'équation différentielle.
Schéma (Après les calculs)
Représentation de la solution oscillatoire
Réflexions
L'équation \(\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0\) est fondamentale. Elle nous dit que l'accélération de la masse est à tout instant proportionnelle et de signe opposé à sa position. C'est la signature d'une force de rappel qui tend toujours à ramener le système vers sa position d'équilibre, créant ainsi l'oscillation.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est le signe de la force de rappel. Le signe "moins" dans \(\vec{F}_r = -kx\vec{i}\) est crucial : il indique que la force s'oppose toujours au déplacement. Si \(x>0\) (étirement), la force est vers la gauche (sens négatif). Si \(x<0\) (compression), la force est vers la droite (sens positif).
Points à retenir
Retenez la forme canonique de l'équation de l'oscillateur harmonique : \(\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0\). Savoir l'établir à partir d'un bilan de forces et la reconnaître est une compétence essentielle.
Le saviez-vous ?
La loi de Hooke, décrivant le comportement des ressorts, a été énoncée par Robert Hooke en 1678 sous la forme d'une anagramme latine "ceiiinosssttuv", qu'il a ensuite révélée comme étant "Ut tensio, sic vis" ("Telle l'extension, telle la force").
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Comment l'équation serait-elle modifiée si on ajoutait une force de frottement fluide de type \(\vec{f} = -h\vec{v}\) ? (où \(\vec{v}\) est la vitesse et \(h\) un coefficient positif).
Question 2 : Vérification de la solution et expression de \(\omega_0\)
Principe
Pour vérifier qu'une fonction est une solution d'une équation différentielle, il faut la dériver autant de fois que nécessaire, puis injecter la fonction et ses dérivées dans l'équation initiale pour s'assurer que l'égalité est respectée pour toutes les valeurs de la variable (ici, le temps \(t\)).
Mini-Cours
Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, comme celle de l'oscillateur harmonique, a des solutions de forme sinusoïdale (cosinus ou sinus). Le fait que la dérivée seconde de la fonction soit proportionnelle à la fonction elle-même (avec un signe négatif) est la signature mathématique de ce type de comportement oscillatoire.
Remarque Pédagogique
Ici, on ne vous demande pas de "résoudre" l'équation à partir de zéro, mais de "valider" une solution proposée. C'est une démarche très fréquente en physique pour tester une intuition ou un modèle. La méthode est simple : on dérive, on remplace, et on vérifie si ça "marche".
Normes
Pas de normes réglementaires ici. La validation repose uniquement sur les règles de dérivation de l'analyse mathématique.
Formule(s)
La clé du calcul réside dans la dérivation des fonctions composées trigonométriques :
Dérivée du cosinus
Dérivée du sinus
Hypothèses
On suppose que la solution du mouvement est de la forme \(x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \phi)\), où \(X_m\), \(\omega_0\) et \(\phi\) sont des constantes.
Donnée(s)
On part de l'équation différentielle trouvée à la question 1 : \(\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0\).
Astuces
On peut directement remarquer que dériver deux fois une fonction cosinus la fait réapparaître, multipliée par le carré de la pulsation et un signe moins. Ainsi, \(\ddot{x}(t) = -\omega_0^2 x(t)\). En injectant cela dans l'équation, la solution est presque immédiate.
Schéma (Avant les calculs)
Relation Accélération - Position
Calcul(s)
On dérive la solution proposée \(x(t)\) deux fois par rapport au temps.
Calcul de la vitesse \(\dot{x}(t)\)
Calcul de l'accélération \(\ddot{x}(t)\)
On substitue \(x(t)\) et \(\ddot{x}(t)\) dans l'équation différentielle.
Substitution dans l'équation différentielle
Factorisation
Pour que l'égalité soit vraie à tout instant \(t\), il faut que le terme entre parenthèses soit nul.
Condition de validité
Schéma (Après les calculs)
Action de la dérivée seconde
Réflexions
Ce calcul est fondamental car il fait le pont entre les caractéristiques physiques du système (\(k\) et \(m\)) et une caractéristique cinématique du mouvement (la pulsation \(\omega_0\)). Il montre que la vitesse d'oscillation est une propriété intrinsèque du système, indépendante de la manière dont on le lance.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier la règle de dérivation en chaîne ! À chaque dérivation d'une fonction de type \(\cos(\omega_0 t)\), un facteur \(\omega_0\) "sort" de la fonction. Oublier ce facteur est une erreur fréquente qui invalide le reste du raisonnement.
Points à retenir
L'expression de la pulsation propre \(\omega_0 = \sqrt{k/m}\) est l'un des résultats les plus importants de la physique des oscillations. Elle montre qu'un ressort plus raide (k élevé) ou une masse plus légère (m faible) conduisent à des oscillations plus rapides.
Le saviez-vous ?
L'équation de l'oscillateur harmonique est si universelle qu'on la retrouve dans des domaines très variés : des oscillations d'un circuit électrique RLC en électricité, au comportement des liaisons atomiques dans un solide, en passant par les ondes électromagnétiques.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant la même méthode, montrez que la fonction \(x(t) = A\sin(\omega_0 t)\) est également une solution de l'équation différentielle, avec la même expression pour \(\omega_0\).
Question 3 : Calcul de \(\omega_0\), \(T_0\) et \(f_0\)
Principe
Cette question est une application numérique directe des formules établies précédemment. Elle permet de quantifier le rythme des oscillations avec les données spécifiques du problème.
Mini-Cours
Les trois grandeurs \(\omega_0\), \(T_0\), et \(f_0\) décrivent la temporalité du mouvement. La pulsation \(\omega_0\) (en rad/s) est la plus naturelle mathématiquement. La période \(T_0\) (en s) est la plus intuitive, c'est la durée d'un cycle complet. La fréquence \(f_0\) (en Hz) représente le nombre de cycles par seconde et est très utilisée en ingénierie (vibrations, acoustique).
Remarque Pédagogique
Savoir passer d'une grandeur à l'autre est une compétence de base. Retenez que le facteur \(2\pi\) apparaît toujours pour passer du "monde angulaire" (radians) au "monde des tours complets" (période, fréquence).
Normes
L'utilisation du Système International d'unités (SI) est cruciale pour que les calculs soient homogènes. La masse doit être en kilogrammes (kg) et la raideur en newtons par mètre (N/m) pour obtenir des résultats en rad/s, s, et Hz.
Formule(s)
Pulsation propre
Période propre
Fréquence propre
Hypothèses
On suppose que les valeurs numériques fournies pour \(m\) et \(k\) sont exactes et constantes pendant le mouvement.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du solide | \(m\) | 0.5 | kg |
| Constante de raideur | \(k\) | 20 | N/m |
Astuces
Pour vérifier rapidement un ordre de grandeur, on peut approximer \(\pi \approx 3.14\) et \(\sqrt{40}\) est un peu plus grand que \(\sqrt{36}=6\). Ainsi \(T_0 \approx (2 \times 3.14) / 6.3 \approx 1\) seconde. Cela permet de détecter des erreurs de calcul grossières.
Schéma (Avant les calculs)
Relations entre \(\omega_0\), \(T_0\) et \(f_0\)
Calcul(s)
Calcul de la pulsation propre \(\omega_0\)
Calcul de la période propre \(T_0\)
Calcul de la fréquence propre \(f_0\)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Période \(T_0\)
Réflexions
Une période de presque 1 seconde signifie que le système effectue un aller-retour complet en environ une seconde. De même, une fréquence de 1 Hz confirme qu'il y a environ une oscillation par seconde. Ces valeurs sont cohérentes et faciles à imaginer.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode Radian pour les calculs impliquant des fonctions trigonométriques avec \(\omega_0 t\). C'est une source d'erreur classique. De plus, gardez plusieurs décimales dans les calculs intermédiaires (\(\omega_0\)) pour ne pas perdre en précision sur le résultat final (\(T_0, f_0\)).
Points à retenir
La période \(T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}\) est la formule à maîtriser. Elle montre que pour ralentir les oscillations (augmenter \(T_0\)), il faut soit augmenter l'inertie (\(m\)), soit diminuer la raideur (\(k\)) du système.
Le saviez-vous ?
Le Hertz (Hz), unité de fréquence, est nommé d'après le physicien allemand Heinrich Hertz qui, à la fin du 19ème siècle, a été le premier à prouver expérimentalement l'existence des ondes électromagnétiques, prédites par la théorie de Maxwell.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la nouvelle période d'oscillation si l'on remplace la masse par un objet de 2 kg.
Question 4 : Détermination de l'amplitude \(X_m\) et de la phase \(\phi\)
Principe
Les constantes \(X_m\) et \(\phi\) sont déterminées par les conditions de "lancement" du mouvement, c'est-à-dire la position et la vitesse du système à l'instant initial \(t=0\). Elles adaptent la solution générale au cas particulier étudié.
Mini-Cours
La solution générale \(x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \phi)\) décrit une famille infinie d'oscillations possibles. L'amplitude \(X_m\) représente l'élongation maximale. La phase à l'origine \(\phi\) représente le décalage temporel de l'oscillation. Pour une équation du second ordre, il faut deux conditions initiales pour fixer ces deux constantes et trouver la solution unique du problème.
Remarque Pédagogique
Pensez à \(X_m\) comme "l'intensité" de l'oscillation et à \(\phi\) comme son "point de départ" sur le cycle. Lâcher la masse sans vitesse depuis une position étirée est le cas le plus simple, qui correspond logiquement à une phase nulle si on utilise un cosinus.
Normes
Pas de normes réglementaires. La méthode est issue de l'analyse des équations différentielles.
Formule(s)
Équation horaire de la position
Équation horaire de la vitesse
Hypothèses
Le mouvement démarre à \(t=0\) et les conditions initiales sont celles données dans l'énoncé.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Position initiale | \(x(0)\) | 0.1 | m |
| Vitesse initiale | \(v(0)\) | 0 | m/s |
Astuces
Quand la vitesse initiale est nulle, on sait que l'on est à un point de rebroussement, c'est-à-dire une amplitude maximale. Donc, l'amplitude \(X_m\) est simplement égale à la position initiale \(x_0\). Cela simplifie grandement la recherche des constantes.
Schéma (Avant les calculs)
État du système à \(t=0\)
Calcul(s)
On applique les conditions initiales au système d'équations.
Application de la condition initiale sur la position
Application de la condition initiale sur la vitesse
L'équation (2) implique \(\sin(\phi)=0\) (car \(X_m \ne 0\) et \(\omega_0 \ne 0\)). Les solutions sont \(\phi=0\) ou \(\phi=\pi\). Si \(\phi=\pi\), l'équation (1) donne \(X_m \cos(\pi) = -X_m = 0.1\), ce qui est impossible car \(X_m\) est une amplitude, donc positive par définition. La seule solution possible est \(\phi=0\). En reportant dans (1), on a \(X_m \cos(0) = X_m = 0.1\).
Schéma (Après les calculs)
Graphique de la solution \(x(t) = 0.1 \cos(\sqrt{40} t)\)
Réflexions
Le résultat (\(X_m=0.1 \text{ m}\), \(\phi=0 \text{ rad}\)) est parfaitement logique. L'amplitude est la distance maximale par rapport à l'équilibre, ce qui correspond à la position de lâcher si la vitesse est nulle. La phase nulle indique que le mouvement démarre au maximum de la fonction cosinus, ce qui est bien le cas.
Points de vigilance
L'amplitude \(X_m\) est toujours définie comme une valeur positive. Si un calcul mène à une amplitude négative, c'est probablement que vous devez choisir l'autre solution pour la phase (par exemple, \(\phi\) au lieu de \(\phi+\pi\)).
Points à retenir
Les conditions initiales sont la "clé de contact" du mouvement. Elles ne changent pas les propriétés intrinsèques de l'oscillateur (\(\omega_0, T_0\)), mais elles déterminent la trajectoire unique qui sera suivie.
Le saviez-vous ?
La détermination des constantes à partir des conditions initiales est un problème central dans tous les domaines de la physique basés sur des équations différentielles, de la trajectoire des planètes à l'évolution de la fonction d'onde en mécanique quantique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Déterminez \(X_m\) et \(\phi\) si le mouvement est initié depuis la position d'équilibre (\(x_0=0\)) avec une vitesse initiale de \(v_0 = 0.5\) m/s.
Question 5 : Analyse de l'énergie mécanique
Principe
On calcule l'énergie totale du système à un instant donné (ici, le plus simple est l'instant initial) et on analyse sa conservation en se basant sur la nature des forces en jeu.
Mini-Cours
L'énergie mécanique \(E_m\) d'un système est la somme de son énergie cinétique \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\) (énergie du mouvement) et de son énergie potentielle \(E_p\) (énergie de configuration). Pour un ressort, \(E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2\). Une force est dite conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi. Si seules des forces conservatives travaillent (ou des forces dont le travail est nul), alors l'énergie mécanique totale se conserve.
Remarque Pédagogique
L'approche énergétique est une alternative très puissante à l'approche dynamique (lois de Newton). Au lieu de se concentrer sur les forces à chaque instant, on regarde une quantité globale, l'énergie, qui reste constante. C'est souvent beaucoup plus simple pour trouver des grandeurs comme la vitesse maximale.
Normes
Le principe de conservation de l'énergie est une loi fondamentale de la physique, pas une norme réglementaire.
Formule(s)
Expression de l'énergie mécanique
Hypothèses
L'hypothèse cruciale pour la conservation de l'énergie est l'absence de forces non-conservatives qui travaillent. Ici, cela signifie qu'on néglige les frottements.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | 0.5 | kg |
| Raideur | \(k\) | 20 | N/m |
| Position initiale | \(x_0\) | 0.1 | m |
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 0 | m/s |
Astuces
Le calcul de l'énergie est plus simple aux points extrêmes : à l'amplitude maximale (\(x=X_m, v=0\)), toute l'énergie est potentielle : \(E_m = \frac{1}{2}kX_m^2\). À la position d'équilibre (\(x=0, v=v_{\text{max}}\)), toute l'énergie est cinétique : \(E_m = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2\). Comme l'énergie est conservée, ces deux valeurs sont égales !
Schéma (Avant les calculs)
Répartition de l'énergie à \(t=0\)
Calcul(s)
Calcul de l'énergie à \(t=0\)
Application numérique
Le travail des forces non-conservatives (ici les frottements, qui sont nuls) est égal à la variation d'énergie mécanique. Comme ce travail est nul, l'énergie mécanique est constante.
Conservation de l'énergie
Schéma (Après les calculs)
Évolution des Énergies au cours du temps
Réflexions
Le résultat de 0.1 Joule représente la quantité totale d'énergie fournie au système au départ. Cette énergie se transfère perpétuellement entre la masse (énergie cinétique) et le ressort (énergie potentielle), sans jamais se perdre. C'est l'essence même d'un oscillateur idéal.
Points de vigilance
Ne pas oublier les carrés (\(^2\)) dans les formules d'énergie. Une autre erreur est de croire que l'énergie est nulle à la position d'équilibre ; c'est seulement l'énergie potentielle qui est nulle, l'énergie cinétique y est maximale !
Points à retenir
Pour un oscillateur harmonique non amorti, l'énergie mécanique est constante et proportionnelle au carré de l'amplitude : \(E_m = \frac{1}{2}kX_m^2 = \frac{1}{2}m v_{\text{max}}^2\). C'est une relation extrêmement utile.
Le saviez-vous ?
Le théorème de Noether, un des plus beaux résultats de la physique théorique, établit un lien profond entre les lois de conservation et les symétries de la nature. La conservation de l'énergie, par exemple, est une conséquence directe du fait que les lois de la physique ne changent pas avec le temps.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant la conservation de l'énergie (\(E_{m} = E_{c, \text{max}}\)), calculez la vitesse maximale de la masse au cours de son mouvement.
Outil Interactif : Simulateur d'Oscillateur
Utilisez les curseurs pour modifier la masse et la raideur du ressort. Observez comment la période d'oscillation et la forme de la courbe de position sont affectées.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la masse \(m\) du solide, comment la période propre \(T_0\) évolue-t-elle ?
2. À quel endroit l'énergie cinétique de la masse est-elle maximale ?
3. L'équation \(\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0\) est caractéristique d'un...
4. Si on utilise un ressort plus raide (constante \(k\) plus grande), la fréquence des oscillations...
5. La phase à l'origine \(\phi\) dépend...
- Pulsation propre (\(\omega_0\))
- Vitesse angulaire fictive du mouvement oscillatoire, exprimée en radians par seconde (rad/s). Elle caractérise la rapidité de l'oscillation.
- Période propre (\(T_0\))
- Durée d'une oscillation complète, exprimée en secondes (s). C'est le temps nécessaire pour que le système revienne à son état initial de position et de vitesse.
- Fréquence propre (\(f_0\))
- Nombre d'oscillations par seconde, exprimée en Hertz (Hz). C'est l'inverse de la période.
- Énergie cinétique (\(E_c\))
- Énergie associée au mouvement d'un corps. Elle dépend de sa masse et de sa vitesse.
- Énergie potentielle élastique (\(E_{pe}\))
- Énergie emmagasinée dans un ressort lorsqu'il est déformé (étiré ou comprimé).
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