Étude Dynamique d’un Système Masse-Ressort
Comprendre l’Étude Dynamique d’un Système Masse-Ressort
Un système solide-ressort est utilisé pour étudier les propriétés dynamiques d’un ressort. Un bloc de masse \(m\) est attaché à un ressort de constante \(k\) et est initialement étiré d’une distance \(x_0\) par rapport à sa position d’équilibre.
Le système est ensuite lâché sans vitesse initiale dans un environnement sans frottement. On souhaite étudier le mouvement du bloc après le lâchage.
Données:
- Masse du bloc, \(m = 2 \, \text{kg}\)
- Constante du ressort, \(k = 100 \, \text{N/m}\)
- Extension initiale du ressort, \(x_0 = 0.1 \, \text{m}\)
Questions:
Calculer :
1. La période du mouvement oscillatoire du bloc.
2. La position du bloc à un temps \(t = 5 \, \text{s}\) après le lâchage.
3. L’énergie totale du système.
Correction : Étude Dynamique d’un Système Masse-Ressort
1. Calcul de la période \(T\) du mouvement oscillatoire
Pour calculer la période \(T\), nous utilisons la formule suivante :
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
Substituons les valeurs données :
- \(m = 2 \, \text{kg}\)
- \(k = 100 \, \text{N/m}\)
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{2 \, \text{kg}}{100 \, \text{N/m}}} \] \[ T = 2\pi \sqrt{0.02} \] \[ T \approx 2\pi \times 0.1414 \] \[ T \approx 0.887 \, \text{s} \]
La période du mouvement oscillatoire est d’environ 0.887 secondes.
2. Position du bloc à \(t = 5 \, \text{s}\)
Pour trouver la position \(x(t)\), nous utilisons la formule :
\[ x(t) = x_0 \cos(\omega t) \]
où \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\).
Calculons d’abord \(\omega\) :
\[ \omega = \sqrt{\frac{100 \, \text{N/m}}{2 \, \text{kg}}} \] \[ \omega = \sqrt{50} \] \[ \omega \approx 7.07 \, \text{rad/s} \]
Substituons \(t = 5 \, \text{s}\) et \(x_0 = 0.1 \, \text{m}\) :
\[ x(5) = 0.1 \, \text{m} \cos(7.07 \times 5) \] \[ x(5) = 0.1 \, \text{m} \cos(35.35) \]
La valeur de \(\cos(35.35 \, \text{rad})\) est cyclique et peut être approximée par calculatrice ou table trigonométrique:
\[ cos(35.35 \, \text{rad}) \approx \cos(35.35 – 6\pi) \] \[ \approx \cos(-0.432) \] \[ \approx 0.903 \]
Ainsi, nous avons :
\[ x(5) = 0.1 \, \text{m} \times 0.903 \] \[ x(5) = 0.0903 \, \text{m} \]
À \(t = 5 \, \text{s}\), le bloc se trouve à une position d’environ 0.0903 m de la position d’équilibre.
3. Calcul de l’énergie totale \(E\) du système
L’énergie totale \(E\) du système, représentée uniquement par l’énergie potentielle du ressort au moment du lâchage, est donnée par :
\[ E = \frac{1}{2} k x_0^2 \]
Substituons \(k = 100 \, \text{N/m}\) et \(x_0 = 0.1 \, \text{m}\) :
\[ E = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.1)^2 \] \[ E = \frac{1}{2} \times 100 \times 0.01 \] \[ E = 0.5 \, \text{J} \]
L’énergie totale du système au moment du lâchage est de 0.5 joules.
Étude Dynamique d’un Système Masse-Ressort
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