Le Paradoxe des Jumeaux de Langevin
Comprendre Le Paradoxe des Jumeaux de Langevin
Le Paradoxe des Jumeaux, souvent attribué à Paul Langevin, est une expérience de pensée qui illustre les effets de la dilatation du temps prédite par la théorie de la relativité restreinte d’Einstein. Imaginez deux jumeaux, Alice et Bob. Alice entreprend un voyage dans l’espace à une vitesse proche de celle de la lumière, tandis que Bob reste sur Terre. Lorsqu’Alice revient, elle constate qu’elle est plus jeune que Bob.
Données:
- Alice voyage dans un vaisseau spatial à une vitesse \(v = 0.8c\), où \(c = 3.00 \times 10^8\) m/s est la vitesse de la lumière dans le vide.
- La durée du voyage d’Alice, telle que mesurée dans son propre référentiel (son « temps propre »), est de 5 ans.
Questions:
1. Calcul de la Dilatation du Temps:
Utilisez la formule de la dilatation du temps pour calculer combien de temps s’est écoulé sur Terre pendant le voyage d’Alice.
2. Comparaison des Âges:
Si Alice et Bob avaient tous les deux 20 ans au début du voyage, quel âge aurait Bob quand Alice revient sur Terre? Assumez que Bob a vieilli normalement pendant la durée du voyage mesurée sur Terre.
3. Réflexion:
Que pouvez-vous dire sur les effets de la vitesse relativiste sur le temps? Cet exercice illustre-t-il les prédictions non intuitives de la relativité restreinte?
Correction: Le Paradoxe des Jumeaux de Langevin
1. Calcul de la Dilatation du Temps
La dilatation du temps en relativité restreinte signifie que le temps mesuré dans un référentiel en mouvement (temps propre) est plus lent que le temps mesuré dans un référentiel au repos. Pour un observateur sur Terre, le temps s’écoule plus rapidement que dans le vaisseau spatial d’Alice.
Formule
\[ t = \frac{\tau}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} \]
- \( t \) : durée mesurée par l’observateur au repos (sur Terre).
- \( \tau \) : temps propre, c’est-à-dire la durée mesurée dans le référentiel en mouvement (vaisseau d’Alice).
- \( v \) : vitesse du vaisseau spatial.
- \( c \) : vitesse de la lumière dans le vide (\(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)).
Données
- \( v = 0.8c \)
- \( \tau = 5 \) ans
Calcul
1. Calcul de la fraction \( \frac{v^2}{c^2} \) :
\[ \frac{v^2}{c^2} = (0.8)^2 = 0.64 \]
2. Calcul du dénominateur :
\[ \sqrt{1 – 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6 \]
3. Calcul du temps mesuré sur Terre :
\[ t = \frac{5 \, \text{ans}}{0.6} \approx 8.33 \, \text{ans} \]
2. Comparaison des Âges
Situation :
Au début du voyage, Alice et Bob ont tous les deux 20 ans.
- Temps pour Alice (temps propre) : 5 ans
\[ \text{Âge d’Alice à son retour} = 20 + 5 \] \[ \text{Âge d’Alice à son retour} = 25 \, \text{ans} \]
- Temps pour Bob (temps sur Terre) : 8.33 ans
\[ \text{Âge de Bob à son retour} = 20 + 8.33 \] \[ \text{Âge de Bob à son retour} \approx 28.33 \, \text{ans} \]
3. Réflexion sur les Effets de la Vitesse Relativiste
Observation :
Cet exercice illustre le fait que, lorsqu’un objet se déplace à une vitesse proche de celle de la lumière, le temps s’écoule différemment dans les référentiels en mouvement par rapport à ceux au repos. Ainsi, même si Alice et Bob commencent par avoir le même âge, Alice vieillit moins vite (5 ans) comparé à Bob (8.33 ans) pendant la durée du voyage.
Conclusion :
Ce résultat non intuitif est une des prédictions majeures de la relativité restreinte d’Einstein, démontrant que le temps est relatif et dépend de la vitesse de l’observateur. C’est précisément ce que met en évidence le Paradoxe des Jumeaux de Langevin.
Le Paradoxe des Jumeaux de Langevin
Exercices de physique terminale:
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