Calcul de la Différence de Pression
Comprendre le Calcul de la Différence de Pression
Dans une installation industrielle, un fluide doit être transporté entre deux réservoirs de grande taille à travers un système de tuyauterie complexe.
Les deux réservoirs, situés à différents niveaux d’altitude, sont reliés par une série de tuyaux de diamètres variables et de matériaux différents, intégrant plusieurs coudes et une vanne.
L’objectif est de calculer la différence de pression entre ces deux réservoirs pour s’assurer que la pompe utilisée peut maintenir un débit constant et suffisant pour les besoins de l’installation.
Données fournies :
- Altitude du réservoir A : 250 mètres au-dessus du niveau de référence.
- Altitude du réservoir B : 210 mètres au-dessus du niveau de référence.
- Longueur totale des tuyaux : 800 mètres.
- Diamètre intérieur des tuyaux : 10 cm.
- Type de fluide : eau (masse volumique = 1000 kg/m³, viscosité = 0.001 Pa.s).
- Gravité (g) : 9.81 m/s².
- Coefficient de rugosité des tuyaux : 0.00015 m.
- Vitesse moyenne du fluide dans les tuyaux : 2 m/s.
- La vanne introduit une perte de charge localisée équivalente à 5 fois la vitesse du fluide au carré divisée par deux fois l’accélération de la gravité (pertes dues à la vanne).
- Coefficient total des pertes dues à la vanne et aux coudes, \(K = 10\)
Question :
Calculer la différence de pression entre le réservoir A et le réservoir B en tenant compte de la perte de charge due à la friction dans les tuyaux, aux coudes, à la vanne, et à la différence d’altitude. Utilisez l’approximation de Blasius pour le facteur de friction dans un régime turbulent pour les tuyaux lisses.
Correction : Calcul de la Différence de Pression
1. Calcul de la perte de charge due à la friction (pertes linéaires)
Données :
- Longueur des tuyaux, \( L = 800 \, \text{m} \)
- Diamètre intérieur des tuyaux, \( D = 0.1 \, \text{m} \)
- Densité de l’eau, \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)
- Vitesse moyenne de l’eau, \( v = 2 \, \text{m/s} \)
Calcul du nombre de Reynolds (Re) pour vérifier le régime d’écoulement :
Le nombre de Reynolds est calculé pour vérifier le régime d’écoulement :
\[ Re = \frac{\rho \cdot v \cdot D}{\mu} \] \[ Re = \frac{1000 \cdot 2 \cdot 0.1}{0.001} \] \[ Re = 200,000 \]
Ce résultat indique un écoulement turbulent.
Utilisation de l’équation de Colebrook-White:
Nous utilisons l’approximation de Blasius pour le facteur de friction dans un régime turbulent pour les tuyaux lisses :
\[ f = \frac{0.3164}{Re^{0.25}} \] \[ f = \frac{0.3164}{(200,000)^{0.25}} \] \[ f \approx 0.018 \]
Calcul de la perte de charge due à la friction:
La perte de charge due à la friction est calculée comme suit :
\[ \Delta P_{\text{friction}} = f \cdot \left(\frac{L}{D}\right) \cdot \left(\frac{\rho \cdot v^2}{2}\right) \] \[ \Delta P_{\text{friction}} = 0.018 \cdot \left(\frac{800}{0.1}\right) \cdot \left(\frac{1000 \cdot 2^2}{2}\right) \] \[ \Delta P_{\text{friction}} = 0.018 \cdot 8000 \cdot 2000 \] \[ \Delta P_{\text{friction}} = 288,000 \, \text{Pa} \]
2. Calcul des Pertes de Charges Localisées (Pertes Mineures)
Données :
- Coefficient total des pertes dues à la vanne et aux coudes, \(K = 10\) (incluant la vanne et plusieurs coudes).
Calcul des pertes mineures :
\[ \Delta P_{\text{mineures}} = K \cdot \left( \frac{\rho \cdot v^2}{2} \right) \] \[ \Delta P_{\text{mineures}} = 10 \cdot \left( \frac{1000 \cdot 2^2}{2} \right) \] \[ \Delta P_{\text{mineures}} = 10 \cdot 2000 \] \[ \Delta P_{\text{mineures}} = 20,000 \, \text{Pa} \]
3. Calcul de la Différence de Pression due à la Différence d’Altitude
Données :
- Altitude du réservoir A, \(h_A = 250\) m
- Altitude du réservoir B, \(h_B = 210\) m
Calcul de la différence de pression due à la différence d’altitude :
\[ \Delta P_{\text{altitude}} = \rho \cdot g \cdot (h_A – h_B) \] \[ \Delta P_{\text{altitude}} = 1000 \cdot 9.81 \cdot (250 – 210) = 1000 \cdot 9.81 \cdot 40 \] \[ \Delta P_{\text{altitude}} = 392,400 \, \text{Pa} \]
4. Calcul de la Différence de Pression Totale
Somme de toutes les pertes de pression :
\[ \Delta P_{\text{totale}} = \Delta P_{\text{friction}} + \Delta P_{\text{mineures}} + \Delta P_{\text{altitude}} \] \[ \Delta P_{\text{totale}} = 288,000 + 20,000 + 392,400 \] \[ \Delta P_{\text{totale}} = 700,400 \, \text{Pa} \]
5. Interprétation des Résultats
La différence de pression totale nécessaire pour que le fluide se déplace du réservoir A au réservoir B, en surmontant les pertes de charge et la différence d’altitude, est de 700,400 Pa (environ 7 bars).
Cette valeur est cruciale pour déterminer si la pompe en place peut générer suffisamment de pression pour maintenir un débit constant requis par l’installation.
Si la pompe ne peut pas fournir cette pression, une pompe plus puissante sera nécessaire ou des modifications dans le système de tuyauterie pourraient être envisagées pour réduire les pertes de charge.
Calcul de la Différence de Pression
D’autres exercices de physique terminale:
0 commentaires