Calcul de la pression de l’eau sur un batardeau
Comprendre le Calcul de la pression de l’eau sur un batardeau
Dans le cadre d’un projet de construction d’une centrale hydroélectrique, un batardeau (une structure temporaire érigée pour détourner l’eau) est installé dans une rivière.
Le batardeau a une forme rectangulaire et est soutenu par des piliers en béton ancrés au fond de la rivière.
Il est essentiel de calculer la pression exercée par l’eau sur cette structure pour garantir sa stabilité et sa sécurité.
La hauteur de l’eau derrière le batardeau varie avec les saisons, atteignant jusqu’à 8 mètres pendant la saison des pluies.
Pour comprendre le Calcul de la Différence de Pression, cliquez sur le lien.
Données:
- Hauteur du batardeau (H) = 10 m
- Largeur du batardeau (L) = 20 m
- Profondeur maximale de l’eau (h) = 8 m
- Densité de l’eau (ρ) = 1000 kg/m³
- Accélération due à la gravité (g) = 9.81 m/s²
Questions:
1. Calcul de la pression hydrostatique : Calculez la pression hydrostatique (P) à la base du batardeau
2. Détermination de la force totale exercée : Déterminez la force totale exercée par l’eau sur le batardeau.
3. Analyse de stabilité :
- Discutez des implications de ces forces pour la stabilité du batardeau. Considérez les moments de forces autour du point le plus bas du batardeau, en supposant que le point de rotation potentiel (pivot) se trouve au fond, au centre du batardeau.
- Calculez le moment dû à la force hydrostatique et comparez-le à un moment stabilisateur hypothétique dû au poids du batardeau, en supposant un poids total du batardeau de 50000 kg (réparti uniformément).
Question Bonus:
Quels seraient les effets de l’augmentation de la hauteur d’eau de 1 mètre supplémentaire sur les calculs de pression et de force? Comment cela affecterait-il la sécurité de la structure?
Correction : Calcul de la pression de l’eau sur un batardeau
1. Calcul de la pression hydrostatique à la base du batardeau
Formule de la pression hydrostatique :
\[ P = \rho g h \]
où:
- \(\rho\) (densité de l’eau) = \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
- \(g\) (accélération due à la gravité) = \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
- \(h\) (hauteur maximale de l’eau) = \(8 \, \text{m}\)
Substituons les valeurs dans la formule :
\[ P = 1000 \times 9.81 \times 8 \] \[ P = 78480 \, \text{Pascal} \] \[ P = 78.48 \, \text{kPa} \]
La pression hydrostatique à la base du batardeau est donc de \(78.48 \, \text{kPa}\).
2. Détermination de la force totale exercée par l’eau sur le batardeau
Formule de la force due à la pression hydrostatique sur une surface plane verticale :
\[ F = \frac{1}{2} \rho g h^2 L \]
où:
- \(h = 8 \, \text{m}\)
- \(L\) (largeur du batardeau) = \(20 \, \text{m}\)
Substituons les valeurs dans la formule :
\[ F = \frac{1}{2} \times 1000 \times 9.81 \times 8^2 \times 20 \] \[ F = \frac{1}{2} \times 1000 \times 9.81 \times 64 \times 20 \] \[ F = \frac{1}{2} \times 1000 \times 9.81 \times 1280 \] \[ F = 628480 \, \text{Newton} \]
La force totale exercée par l’eau sur le batardeau est donc de \(628480 \, \text{Newton}\).
3. Analyse de stabilité du batardeau
Calcul du moment dû à la force hydrostatique :
Le moment de force (ou moment de torsion) autour du point de rotation au bas du batardeau est calculé par :
\[ M = F \times \frac{h}{3} \]
- \(h\) = 8 m (le bras de levier est le tiers de la hauteur, point d’application de la force résultante hydrostatique)
Substituons les valeurs :
\[ M = 628480 \times \frac{8}{3} \] \[ M = 628480 \times 2.67 \] \[ M = 1677821.6 \, \text{N.m} \]
Comparaison avec le moment stabilisateur dû au poids du batardeau :
- Poids du batardeau = 50000 kg
- Accélération due à la gravité = 9.81 m/s²
Force due au poids:
\[ = 50000 \times 9.81 \] \[ = 490500 \, \text{Newton} \]
Si l’on suppose que le centre de gravité est au milieu de la hauteur du batardeau (5 m), le moment stabilisateur est :
\[ M_{\text{stabilisateur}} = 490500 \times 5 \] \[ M_{\text{stabilisateur}} = 2452500 \, \text{N.m} \]
Le moment stabilisateur dû au poids du batardeau est donc supérieur au moment dû à la force hydrostatique, indiquant une bonne stabilité sous ces conditions.
Question Bonus:
Effets d’une augmentation de la hauteur d’eau de 1 mètre :
- Nouvelle hauteur d’eau \(h’ = 9 \, \text{m}\)
Nouvelle pression:
La nouvelle pression \(P’\) est calculée comme suit:
\[ P’ = 1000 \times 9.81 \times 9 \] \[ P’ = 88290 \, \text{Pa} \] \[ P’ = 88.29 \, \text{kPa} \]
Nouvelle force:
La nouvelle force \(F’\) est donnée par la formule suivante:
\[ F’ = \frac{1}{2} \times 1000 \times 9.81 \times 9^2 \times 20 \] \[ F’ = 801945 \, \text{Newton} \]
Nouveau moment:
Le nouveau moment \(M’\) résultant de cette force est calculé par:
\[ M’ = 801945 \times \frac{9}{3} \] \[ M’ = 2405835 \, \text{N.m} \]
Cette augmentation accroît significativement la force et le moment exercés sur le batardeau, nécessitant une réévaluation de la conception pour garantir la sécurité et la stabilité de la structure.
Calcul de la pression de l’eau sur un batardeau
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