Période d’un pendule pesant
Comprendre la Période d’un pendule pesant
Dans un musée, une grande horloge à pendule est exposée. Le pendule consiste en une tige rigide, sans masse, fixée à un point fixe et à une masse ponctuelle à son extrémité.
Pour maintenir l’exactitude de l’horloge, il est crucial de connaître la période de ce pendule.
Données :
- Longueur de la tige (L) = 2 mètres
- Masse accrochée (m) = 10 kg
- Accélération due à la gravité (g) = 9,81 m/s²
- Angle initial par rapport à la verticale (θ₀) = 5° (Notez que cet angle est suffisamment petit pour utiliser l’approximation des petits angles dans le calcul de la période)
Question :
1. Calculez la période du pendule, en utilisant l’approximation des petits angles.
2. Discutez comment la période changerait si l’angle initial était augmenté significativement (par exemple à 30°), sans effectuer de calcul.
Correction : Période d’un pendule pesant
Données fournies:
- Longueur de la tige \( L = 2 \) mètres
- Accélération due à la gravité \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
- Angle initial \( \theta_0 = 5^\circ \)
1. Calcul de la période du pendule
Pour un pendule simple, dans le cas de petits angles où \( \theta_0 \) est proche de zéro, la période \( T \) est donnée par la formule :
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]
Substituons les valeurs dans la formule :
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{2}{9.81}} \]
Calculons \( \frac{2}{9.81} \) :
\[ \frac{2}{9.81} \approx 0.20387 \, \text{m/s}^2 \]
Maintenant, calculons la racine carrée de 0.20387 :
\[ \sqrt{0.20387} \approx 0.45152 \, \text{s} \]
Enfin, multiplions ce résultat par \( 2\pi \) (environ 6.28319) pour obtenir la période :
\[ T \approx 6.28319 \times 0.45152 \] \[ T \approx 2.837 \, \text{s} \]
Résultat final:
La période du pendule, en utilisant l’approximation des petits angles, est d’environ 2.837 secondes.
2. Discussion sur l’effet d’un angle initial plus grand
Si l’angle initial \( \theta_0 \) était augmenté à 30°, l’approximation des petits angles ne serait plus valide. Pour de tels angles plus grands, la période \( T \) deviendrait plus longue que celle calculée par la formule simplifiée, car l’oscillation prend plus de temps lorsque le pendule est déplacé plus loin de sa position d’équilibre initiale.
Cela est dû au fait que la force restauratrice, qui dépend du sinus de l’angle, est moins efficace pour ramener le pendule à la verticale quand l’angle est grand.
Ainsi, pour des angles plus grands, il faudrait utiliser des formules plus complexes ou des méthodes numériques pour calculer avec précision la période.
Période d’un pendule pesant
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