Calcul de la Sécurité Radioactive
Comprendre le Calcul de la Sécurité Radioactive
Dans une centrale nucléaire, des ingénieurs utilisent l’isotope radioactif Césium-137 (Cs-137) pour calibrer des instruments de mesure de la radioactivité.
Le Cs-137 est choisi pour sa demi-vie relativement longue et sa capacité à émettre des rayonnements bêta et gamma.
Vous êtes chargé de déterminer la durée pendant laquelle un échantillon de Cs-137 restera au-dessus d’un seuil de radioactivité sécuritaire pour les tests.
Données:
- Masse initiale du Cs-137 dans l’échantillon : \( m_0 = 10 \) mg
- Demi-vie du Cs-137 : \( t_{1/2} = 30.17 \) ans
- Constante de désintégration, \( \lambda \), calculée à partir de la demi-vie : \( \lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \)
- Seuil de sécurité pour les tests : 5% de la radioactivité initiale
Questions:
1. Calculer la constante de désintégration \( \lambda \) du Cs-137.
2. Déterminer le temps nécessaire pour que l’échantillon atteigne le seuil de sécurité de 5% de la radioactivité initiale.
3. Calculer la masse de Cs-137 restante après ce temps.
Correction : Calcul de la Sécurité Radioactive
1. Calcul de la constante de désintégration \( \lambda \)
La constante de désintégration \( \lambda \) se calcule à partir de la demi-vie \( t_{1/2} \) selon la relation:
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \] \[ \lambda = \frac{\ln(2)}{30.17} \] \[ \lambda \approx \frac{0.693}{30.17} \] \[ \lambda \approx 0.02296 \text{ ans}^{-1} \]
2. Temps nécessaire pour atteindre le seuil de sécurité
Pour trouver le temps \( t \) nécessaire pour que la radioactivité descende à 5% de son niveau initial, utilisez la loi de décroissance radioactive:
\[ N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t} \] \[ 0.05N_0 = N_0 \times e^{-0.02296 t} \]
Divisez chaque côté par \( N_0 \) et isolez \( t \):
\[ 0.05 = e^{-0.02296 t} \] \[ \ln(0.05) = -0.02296 t \] \[ t = \frac{\ln(0.05)}{-0.02296} \] \[ t \approx \frac{-2.9957}{-0.02296} \] \[ t \approx 130.4 \text{ ans} \]
3. Calcul de la masse de Cs-137 restante après ce temps
Utilisez la proportion de la radioactivité restante pour déterminer la masse restante de Cs-137:
\[ m(t) = m_0 \times \frac{N(t)}{N_0} \] \[ m(t) = 10 \text{ mg} \times 0.05 \] \[ m(t) = 0.5 \text{ mg} \]
Résumé des Résultats
- Constante de désintégration \( \lambda \) : \( 0.02296 \text{ ans}^{-1} \)
- Temps pour atteindre le seuil de 5% : 130.4 ans
- Masse restante de Cs-137 : 0.5 mg
Ce calcul montre comment, avec le temps, la radioactivité d’un isotope comme le Cs-137 diminue jusqu’à atteindre un niveau considéré comme sûr pour certains types d’applications ou d’environnements.
Ces concepts sont essentiels pour la gestion de la sécurité nucléaire et la planification à long terme dans les installations utilisant des matériaux radioactifs.
Calcul de la Sécurité Radioactive
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