Calcul de la pseudo-période T du pendule
Comprendre le Calcul de la pseudo-période T du pendule
Un groupe de lycéens mène une expérience pour observer les effets de la résistance de l’air sur la période d’oscillation d’un pendule simple.
L’objectif est de calculer la pseudo-période, c’est-à-dire la période des oscillations en tenant compte de la résistance de l’air.
Pour comprendre la Période d’un pendule pesant, cliquez sur le lien.
Données:
- Masse du pendule, \( m \): 0.5 kg
- Longueur du fil, \( L \): 2 m
- Coefficient de frottement de l’air, \( k \): 0.05 kg/s
- Accélération due à la gravité, \( g \): 9.81 m/s\(^2\)
- Amplitude initiale de l’oscillation, \( \theta_0 \): 0.2 rad
Questions:
1. Déterminez la période théorique \( T_0 \) du pendule sans la résistance de l’air.
2. Calculez la pseudo-période \( T \) du pendule en tenant compte de la résistance de l’air.
3. Discutez l’effet de la résistance de l’air sur la période du pendule.
Correction : Calcul de la pseudo-période T du pendule
1. Calcul de la Période Théorique \( T_0 \)
Formule de base pour un pendule simple :
\[ T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]
où \( L \) est la longueur du fil (\( L = 2 \, \text{m} \)) et \( g \) est l’accélération due à la gravité (\( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)).
Substitution des valeurs sans calcul :
\[ T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{2 \, \text{m}}{9.81 \, \text{m/s}^2}} \]
Expression simplifiée :
\[ T_0 = 2\pi \sqrt{0.204 \, \text{s}^2} \]
Calcul de \( T_0 \) :
\[ T_0 = 2\pi \times 0.451 \, \text{s} \] \[ T_0 \approx 2.83 \, \text{s} \]
2. Calcul de la Pseudo-Période \( T \) avec Résistance de l’Air
Formule corrigée pour inclure la résistance de l’air :
\[ T \approx T_0 \left(1 + \left(\frac{k}{2m}\right)^2\frac{T_0^2}{4\pi^2}\right) \]
où \( k \) est le coefficient de frottement de l’air (\( k = 0.05 \, \text{kg/s} \)) et \( m \) est la masse du pendule (\( m = 0.5 \, \text{kg} \)).
Expression pour le terme correctif :
\[ \left(\frac{k}{2m}\right)^2 = \left(\frac{0.05 \, \text{kg/s}}{1 \, \text{kg}}\right)^2 = 0.0025 \, \text{s}^2 \]
Calcul de \( T \) avec la correction :
\[ T \approx 2.83 \, \text{s} \left(1 + 0.0025 \times \frac{8.0089 \, \text{s}^2}{39.478}\right) \] \[ T \approx 2.83 \, \text{s} \times 1.0005075 \] \[ T \approx 2.83 \, \text{s} \]
3. Discussion de l’Impact de la Résistance de l’Air
Analyse de l’effet :
- La pseudo-période \( T \) est légèrement plus longue que la période théorique \( T_0 \).
- L’augmentation est due à l’énergie dissipée par la résistance de l’air, bien que l’effet soit relativement petit pour les petites oscillations.
- Cette différence pourrait devenir plus significative dans des conditions de plus grandes amplitudes ou sur des périodes prolongées.
Conclusion :
La résistance de l’air, bien que minime pour de petites oscillations, affecte la période des oscillations, démontrant ainsi l’importance de prendre en compte les forces de frottement dans des calculs précis, particulièrement dans des applications scientifiques et techniques où la précision est cruciale.
Calcul de la pseudo-période T du pendule
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