Application de la Loi de Gay-Lussac
Analyser la variation de pression d'un gaz parfait à volume constant en fonction de la température.
La loi de Gay-Lussac (parfois appelée deuxième loi de Gay-Lussac ou loi d'Amontons) décrit la relation entre la pression et la température d'un gaz parfait lorsque son volume et sa quantité de matière sont maintenus constants. Cette loi stipule que la pression d'une quantité fixe de gaz, maintenue à volume constant, est directement proportionnelle à sa température absolue.
Mathématiquement, cela s'exprime par :
Pour deux états (1 et 2) d'un même gaz sous ces conditions, on a :
Où \(P\) est la pression absolue et \(T\) est la température absolue (en Kelvins).
Données du Problème
Un pneu de voiture contient de l'air, que l'on assimilera à un gaz parfait. Le volume du pneu est considéré comme constant.
- État initial (1) :
- Pression : \(P_1 = 2.20 \text{ bar}\)
- Température : \(T_1 = 20.0^\circ\text{C}\)
- Après avoir roulé, la température de l'air dans le pneu atteint \(T_2 = 55.0^\circ\text{C}\).
Conversions utiles :
- 1 bar = \(10^5\) Pascals (Pa)
- Température en Kelvin (K) = Température en °C + 273.15
- Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Questions
- Convertir la température initiale \(T_1\) en Kelvins (K).
- Convertir la pression initiale \(P_1\) en Pascals (Pa).
- Convertir la température finale \(T_2\) en Kelvins (K).
- Calculer la pression finale \(P_2\) de l'air dans le pneu. Exprimer le résultat en Pascals puis en bars.
- Si le volume d'air dans le pneu est de \(V = 30.0 \text{ L}\), calculer la quantité de matière \(n\) d'air (en moles) initialement présente dans le pneu.
Correction : Application de la Loi de Gay-Lussac
1. Conversion de la Température Initiale \(T_1\)
Pour convertir les degrés Celsius en Kelvins, on ajoute 273.15.
Données :
\(T_1 = 20.0^\circ\text{C}\)
La température initiale est \(T_1 = 293.15 \text{ K}\).
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2. Conversion de la Pression Initiale \(P_1\)
On convertit les bars en Pascals (Pa).
Données :
\(P_1 = 2.20 \text{ bar}\)
1 bar = \(10^5\) Pa
La pression initiale est \(P_1 = 2.20 \times 10^5 \text{ Pa}\).
3. Conversion de la Température Finale \(T_2\)
On convertit les degrés Celsius en Kelvins.
Données :
\(T_2 = 55.0^\circ\text{C}\)
La température finale est \(T_2 = 328.15 \text{ K}\).
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4. Calcul de la Pression Finale \(P_2\)
La transformation se fait à volume constant (isochore) et quantité de matière constante. On applique la loi de Gay-Lussac : \(\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}\).
Données :
\(P_1 = 2.20 \times 10^5 \text{ Pa}\)
\(T_1 = 293.15 \text{ K}\)
\(T_2 = 328.15 \text{ K}\)
On isole \(P_2\) :
Conversion en bars :
La pression finale est \(P_2 \approx 2.46 \times 10^5 \text{ Pa}\), soit environ \(2.46 \text{ bar}\).
5. Calcul de la Quantité de Matière \(n\) d'Air
On utilise l'équation des gaz parfaits pour l'état initial : \(P_1 V_1 = n R T_1\). Le volume doit être en m\(^3\).
Données :
\(P_1 = 2.20 \times 10^5 \text{ Pa}\)
\(V = 30.0 \text{ L} = 30.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)
\(T_1 = 293.15 \text{ K}\)
\(R = 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
La quantité de matière d'air dans le pneu est \(n \approx 2.71 \text{ mol}\).
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Glossaire des Termes Clés
Loi de Gay-Lussac :
Loi stipulant que, pour une quantité de gaz donnée et à volume constant, la pression est directement proportionnelle à la température absolue (\(P/T = \text{constante}\)).
Gaz Parfait :
Modèle théorique d'un gaz dont les particules sont considérées comme ponctuelles et n'interagissant pas entre elles, sauf lors de collisions élastiques. Il obéit à l'équation d'état \(PV=nRT\).
Pression Absolue (P) :
Pression mesurée par rapport au vide absolu. Unité SI : Pascal (Pa).
Température Absolue (T) :
Température mesurée sur l'échelle Kelvin, où le zéro absolu (0 K) est la température la plus basse possible. \(T(K) = T(°C) + 273.15\).
Transformation Isochore :
Transformation thermodynamique qui se produit à volume constant.
Quantité de Matière (n) :
Nombre de moles d'une substance. Unité : mole (mol).
Constante des Gaz Parfaits (R) :
Constante de proportionnalité dans l'équation des gaz parfaits. \(R \approx 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Pourquoi est-il dangereux de jeter une bombe aérosol (même vide) dans un feu ? Expliquez en utilisant la loi de Gay-Lussac.
2. Si le volume du pneu n'était pas constant (par exemple, si le pneu pouvait légèrement se dilater avec la pression), comment cela affecterait-il la pression finale \(P_2\) par rapport au calcul effectué ?
3. La pression indiquée par les manomètres des stations de gonflage est souvent une pression relative (par rapport à la pression atmosphérique). Comment convertirait-on cette pression relative en pression absolue nécessaire pour les calculs de la loi de Gay-Lussac ?
4. Expliquez, au niveau microscopique (en termes de mouvement des molécules de gaz), pourquoi la pression d'un gaz augmente lorsque sa température augmente à volume constant.
5. Comment pourrait-on vérifier expérimentalement la loi de Gay-Lussac en laboratoire ? Décrivez brièvement un protocole.
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