Électron dans un champ magnétique uniforme
Analyser le mouvement d'un électron pénétrant perpendiculairement dans un champ magnétique uniforme.
Lorsqu'une particule chargée se déplace dans un champ magnétique, elle subit une force appelée force de Lorentz. Cette force est toujours perpendiculaire à la fois au vecteur vitesse \(\vec{v}\) de la particule et au vecteur champ magnétique \(\vec{B}\).
L'expression vectorielle de la force de Lorentz est :
Où \(q\) est la charge de la particule. La valeur de cette force est \(F_L = |q| v B \sin(\theta)\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{v}\) et \(\vec{B}\).
Si la vitesse initiale est perpendiculaire au champ magnétique (\(\theta = 90^\circ\), donc \(\sin(\theta) = 1\)), la force de Lorentz a une valeur \(F_L = |q|vB\). Cette force, étant toujours perpendiculaire à la vitesse, ne modifie pas la valeur de la vitesse (donc l'énergie cinétique) mais change continuellement sa direction. Le mouvement résultant est circulaire uniforme.
Le rayon \(R\) de cette trajectoire circulaire est donné par :
La période \(T\) du mouvement (temps pour un tour complet) est :
Données du Problème
Un électron pénètre avec une vitesse initiale \(\vec{v_0}\) dans une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme \(\vec{B}\). Le vecteur vitesse \(\vec{v_0}\) est perpendiculaire au vecteur champ magnétique \(\vec{B}\).
- Charge de l'électron : \(q = -e = -1.60 \times 10^{-19} \text{ C}\)
- Masse de l'électron : \(m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\)
- Valeur de la vitesse initiale : \(v_0 = 2.00 \times 10^6 \text{ m/s}\)
- Intensité du champ magnétique : \(B = 5.00 \times 10^{-3} \text{ T}\) (Tesla)
Questions
- Déterminer les caractéristiques (direction, sens et valeur) de la force de Lorentz \(\vec{F}_L\) s'exerçant sur l'électron à son entrée dans le champ magnétique. On utilisera la règle de la main droite (ou une autre méthode équivalente) pour le sens.
- Justifier pourquoi le mouvement de l'électron dans ce champ magnétique est circulaire et uniforme.
- Calculer le rayon \(R\) de la trajectoire circulaire de l'électron.
- Calculer la période \(T_{rev}\) de révolution de l'électron sur sa trajectoire.
- Calculer la fréquence \(f\) de ce mouvement circulaire.
- Calculer l'énergie cinétique \(E_c\) de l'électron. Le travail de la force magnétique est-il nul ? Que peut-on dire de la variation de l'énergie cinétique de l'électron au cours de son mouvement dans le champ ?
Correction : Électron dans un champ magnétique uniforme
1. Caractéristiques de la Force de Lorentz (\(\vec{F}_L\))
La force de Lorentz est donnée par \(\vec{F}_L = q (\vec{v} \times \vec{B})\). Sa valeur est \(F_L = |q|vB\sin(\theta)\). Ici, \(\vec{v_0} \perp \vec{B}\), donc \(\theta = 90^\circ\) et \(\sin(90^\circ) = 1\).
Données :
\(q = -e = -1.60 \times 10^{-19} \text{ C}\)
\(v_0 = 2.00 \times 10^6 \text{ m/s}\)
\(B = 5.00 \times 10^{-3} \text{ T}\)
Valeur :
Direction : La force \(\vec{F}_L\) est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs \(\vec{v_0}\) et \(\vec{B}\).
Sens : On utilise la règle de la main droite pour le produit vectoriel \(\vec{v_0} \times \vec{B}\). Si \(\vec{v_0}\) est vers la droite (axe Ox) et \(\vec{B}\) sortant du plan (axe Oz), alors \(\vec{v_0} \times \vec{B}\) est dirigé vers le haut (axe Oy). Comme la charge \(q\) de l'électron est négative, \(\vec{F}_L = q(\vec{v_0} \times \vec{B})\) est dirigée dans le sens opposé, c'est-à-dire vers le bas (selon -Oy).
La force de Lorentz a une valeur \(F_L = 1.60 \times 10^{-15} \text{ N}\), est perpendiculaire à \(\vec{v_0}\) et \(\vec{B}\), et est dirigée vers le bas (selon le schéma et la règle de la main droite pour une charge négative).
2. Nature du Mouvement
La force de Lorentz est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse. Une force constamment perpendiculaire à la vitesse ne modifie pas la valeur de la vitesse (norme), mais seulement sa direction. Cela caractérise un mouvement circulaire si la force est constante en norme et centripète. L'intensité du champ B est uniforme, et la vitesse v est constante en norme (voir question 6), donc \(F_L = |q|vB\) est constante en norme.
La force de Lorentz \(\vec{F}_L\) est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse \(\vec{v}\). Par conséquent, le travail de cette force est nul (\(W = \int \vec{F}_L \cdot d\vec{l} = \int \vec{F}_L \cdot \vec{v} dt = 0\)).
D'après le théorème de l'énergie cinétique, la variation d'énergie cinétique est égale au travail des forces appliquées : \(\Delta E_c = W\). Puisque \(W=0\), \(\Delta E_c = 0\). L'énergie cinétique \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\) est donc constante. Comme la masse \(m\) est constante, la valeur de la vitesse \(v\) est constante.
Le mouvement est donc uniforme (\(v = v_0\)).
La force \(\vec{F}_L\), étant toujours perpendiculaire à \(\vec{v}\) et de norme constante (\(F_L = |q|v_0 B\)), joue le rôle d'une force centripète. Un mouvement soumis à une force centripète constante et dont la vitesse est constante en norme est un mouvement circulaire uniforme.
Le mouvement de l'électron est circulaire et uniforme car la force de Lorentz, constante en norme, est toujours perpendiculaire à la vitesse, jouant le rôle de force centripète, et son travail est nul, conservant ainsi l'énergie cinétique et la norme de la vitesse.
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3. Calcul du Rayon \(R\) de la Trajectoire
Pour un mouvement circulaire uniforme, la force centripète est \(F_c = \frac{mv^2}{R}\). Ici, \(F_L\) est la force centripète.
Données :
\(m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\)
\(v_0 = 2.00 \times 10^6 \text{ m/s}\)
\(|q| = e = 1.60 \times 10^{-19} \text{ C}\)
\(B = 5.00 \times 10^{-3} \text{ T}\)
\(F_L = |q|v_0 B = m_e \frac{v_0^2}{R}\)
Le rayon de la trajectoire circulaire est \(R \approx 2.28 \times 10^{-3} \text{ m}\) (soit 2.28 mm).
4. Calcul de la Période de Révolution \(T_{rev}\)
La période est \(T_{rev} = \frac{2\pi R}{v_0}\) ou \(T_{rev} = \frac{2\pi m_e}{|q|B}\).
Données :
\(m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\)
\(|q| = 1.60 \times 10^{-19} \text{ C}\)
\(B = 5.00 \times 10^{-3} \text{ T}\)
La période de révolution de l'électron est \(T_{rev} \approx 7.15 \times 10^{-9} \text{ s}\) (soit 7.15 ns).
5. Calcul de la Fréquence \(f\) du Mouvement
La fréquence \(f\) est l'inverse de la période \(T_{rev}\).
Données :
\(T_{rev} \approx 7.15375 \times 10^{-9} \text{ s}\)
La fréquence du mouvement circulaire est \(f \approx 1.40 \times 10^8 \text{ Hz}\) (soit 140 MHz).
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6. Énergie Cinétique \(E_c\) et Travail de \(\vec{F}_L\)
L'énergie cinétique est \(E_c = \frac{1}{2}m_e v_0^2\). Le travail d'une force est nul si elle est toujours perpendiculaire au déplacement (ou à la vitesse).
Données :
\(m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\)
\(v_0 = 2.00 \times 10^6 \text{ m/s}\)
Énergie cinétique :
Travail de la force magnétique : La force de Lorentz \(\vec{F}_L\) est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse \(\vec{v}\). Le travail élémentaire \(dW = \vec{F}_L \cdot d\vec{l} = \vec{F}_L \cdot \vec{v} dt\). Puisque \(\vec{F}_L \perp \vec{v}\), le produit scalaire \(\vec{F}_L \cdot \vec{v} = 0\). Donc, le travail de la force magnétique est nul.
Variation de l'énergie cinétique : D'après le théorème de l'énergie cinétique, \(\Delta E_c = W_{total}\). Si la force de Lorentz est la seule force qui travaille (ou la seule force appliquée en plus du poids si le mouvement est horizontal et la réaction normale compense le poids), alors \(W_{total} = W(\vec{F}_L) = 0\). Donc, \(\Delta E_c = 0\). L'énergie cinétique de l'électron (et donc la norme de sa vitesse) reste constante.
L'énergie cinétique de l'électron est \(E_c \approx 1.82 \times 10^{-18} \text{ J}\).
Le travail de la force magnétique est nul. Par conséquent, l'énergie cinétique de l'électron reste constante.
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Glossaire des Termes Clés
Force de Lorentz (\(\vec{F}_L\)) :
Force subie par une particule chargée \(q\) se déplaçant à une vitesse \(\vec{v}\) dans un champ magnétique \(\vec{B}\) (et/ou un champ électrique \(\vec{E}\)). Dans un champ magnétique seul : \(\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})\).
Champ Magnétique (\(\vec{B}\)) :
Champ de force créé par des charges électriques en mouvement (courants) ou des aimants. Unité : Tesla (T).
Mouvement Circulaire Uniforme :
Mouvement d'un point décrivant une trajectoire circulaire à vitesse constante en norme.
Force Centripète :
Force qui maintient un objet sur une trajectoire circulaire, toujours dirigée vers le centre de la courbure.
Période de Révolution (\(T_{rev}\)) :
Temps nécessaire pour effectuer un tour complet sur une trajectoire circulaire.
Énergie Cinétique (\(E_c\)) :
Énergie associée au mouvement d'un objet, \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).
Travail d'une Force (W) :
Transfert d'énergie dû à une force agissant sur un déplacement.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Que se passerait-il si la vitesse initiale de l'électron n'était pas perpendiculaire au champ magnétique, mais formait un angle \(\alpha\) quelconque avec \(\vec{B}\) ? Quelle serait la forme de la trajectoire ?
2. Citez des applications technologiques où le mouvement de particules chargées dans des champs magnétiques est utilisé (par exemple, spectromètre de masse, cyclotron, tube cathodique).
3. Si un champ électrique uniforme \(\vec{E}\) était superposé au champ magnétique \(\vec{B}\), quelle serait l'expression complète de la force de Lorentz ? Comment cela affecterait-il le mouvement de l'électron ?
4. La force de Lorentz peut-elle modifier l'énergie cinétique d'une particule chargée ? Expliquez pourquoi ou pourquoi pas.
5. Comment le rayon de la trajectoire changerait-il si l'on utilisait un proton (masse \(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}\), charge \(+e\)) à la place d'un électron, avec la même vitesse initiale et le même champ magnétique ?
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