Effets de la Relativité sur le Temps et l’Espace

On utilise la formule \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}\).

Données :
\(v = 0.800 c\)

D'abord, calculons \((v/c)^2\) :

Ensuite, \(\gamma\) :

On utilise le facteur de conversion donné.

Données :
\(L_0 = 4.00 \text{ a.l.}\)
1 a.l. = \(9.461 \times 10^{15} \text{ m}\)

Pour un observateur sur Terre, le vaisseau parcourt la distance \(L_0\) à la vitesse \(v\). \(\Delta t = L_0 / v\).

Données :
\(L_0 = 4.00 \text{ a.l.}\)
\(v = 0.800 c\)

En années :

Sachant qu'une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en 1 an (\(1 \text{ a.l.} = c \times 1 \text{ an}\)) :

En secondes :

Alternativement avec \(L_0\) en mètres :

(La petite différence est due aux arrondis des conversions).

C'est le temps propre, \(\Delta t_0\). On utilise \(\Delta t = \gamma \Delta t_0 \Rightarrow \Delta t_0 = \Delta t / \gamma\).

Données :
\(\Delta t_{Terre} = 5.00 \text{ ans}\)
\(\gamma \approx 1.6667\)

En années :

En secondes :

C'est la contraction des longueurs : \(L = L_0 / \gamma\).

Données :
\(L_0 = 4.00 \text{ a.l.}\) (ou \(3.7844 \times 10^{16} \text{ m}\))
\(\gamma \approx 1.6667\)

En années-lumière :

En mètres :

Ou : \(2.40 \text{ a.l.} \times 9.461 \times 10^{15} \text{ m/a.l.} \approx 2.27064 \times 10^{16} \text{ m}\).

Les astronautes mesurent la distance contractée \(L_{vaisseau}\) et leur temps de voyage propre \(\Delta t_{vaisseau}\). Leur vitesse relative par rapport à la destination est \(v' = L_{vaisseau} / \Delta t_{vaisseau}\).

Données :
\(L_{vaisseau} \approx 2.40 \text{ a.l.}\)
\(\Delta t_{vaisseau} \approx 3.00 \text{ ans}\)

En effet, \(L_{vaisseau} = L_0/\gamma\) et \(\Delta t_{vaisseau} = \Delta t_{Terre}/\gamma\). Donc \(v' = \frac{L_0/\gamma}{\Delta t_{Terre}/\gamma} = \frac{L_0}{\Delta t_{Terre}} = v\).

Commentaire : Les astronautes mesurent la même vitesse relative par rapport à la destination que celle mesurée par un observateur sur Terre. Bien que le temps et la distance soient perçus différemment, leur rapport (la vitesse) reste le même. C'est une conséquence du principe de relativité.

Réponses Correctes :

Question 1 : c) Supérieur ou égal à 1.

Question 2 : b) S'écoule plus rapidement pour cette horloge que pour sa propre horloge (le temps de l'autre s'écoule plus lentement, donc sa propre mesure de cet intervalle est plus longue).

Question 3 : b) Uniquement dans la direction du mouvement.

Question 4 : c) Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens.

Relativité Restreinte :

Théorie physique proposée par Albert Einstein qui décrit le mouvement des objets dans des référentiels galiléens, en particulier à des vitesses proches de celle de la lumière.

Postulats d'Einstein :

Les deux principes fondamentaux de la relativité restreinte : le principe de relativité et la constance de la vitesse de la lumière dans le vide.

Référentiel Galiléen (ou Inertiel) :

Référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié.

Temps Propre (\(\Delta t_0\)) :

Intervalle de temps mesuré par une horloge située au repos par rapport à l'événement mesuré.

Dilatation du Temps :

Phénomène où un intervalle de temps mesuré entre deux événements est plus long pour un observateur en mouvement par rapport à ces événements que pour un observateur au repos par rapport à eux.

Longueur Propre (\(L_0\)) :

Longueur d'un objet mesurée dans le référentiel où l'objet est au repos.

Contraction des Longueurs :

Phénomène où la longueur d'un objet en mouvement est mesurée comme étant plus courte dans la direction de son mouvement que sa longueur propre.

Facteur de Lorentz (\(\gamma\)) :

Facteur qui apparaît dans les équations de la relativité restreinte, dépendant de la vitesse de l'objet par rapport à la vitesse de la lumière.

Année-lumière (a.l.) :

Unité de distance correspondant à la distance parcourue par la lumière dans le vide en une année julienne.