Effets de la Relativité sur le Temps et l'Espace

La théorie de la relativité restreinte, formulée par Albert Einstein en 1905, repose sur deux postulats fondamentaux :

Le principe de relativité : les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens.
La constance de la vitesse de la lumière : la vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) est la même dans tous les référentiels galiléens, indépendamment du mouvement de la source lumineuse.

Ces postulats ont des conséquences surprenantes sur notre perception du temps et de l'espace, notamment la dilatation du temps et la contraction des longueurs pour des objets se déplaçant à des vitesses proches de celle de la lumière.

Le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) est défini par :

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

Où \(v\) est la vitesse de l'objet et \(c\) la vitesse de la lumière.

La dilatation du temps : Si \(\Delta t_0\) est un intervalle de temps mesuré dans le référentiel propre de l'objet (temps propre), l'intervalle de temps \(\Delta t\) mesuré dans un référentiel où l'objet est en mouvement à la vitesse \(v\) est plus long :

\Delta t = \gamma \Delta t_0

La contraction des longueurs : Si \(L_0\) est la longueur d'un objet mesurée dans son référentiel propre (longueur propre), sa longueur \(L\) mesurée dans un référentiel où l'objet est en mouvement à la vitesse \(v\) (dans la direction de sa longueur) est plus courte :

L = \frac{L_0}{\gamma}

Données du Problème

Un vaisseau spatial effectue un voyage de la Terre vers l'étoile Proxima Centauri.

Distance Terre - Proxima Centauri (mesurée depuis la Terre, considérée comme la longueur propre \(L_0\)) : \(L_0 = 4.00 \text{ années-lumière (a.l.)}\).
Vitesse du vaisseau par rapport à la Terre : \(v = 0.800 c\) (où \(c\) est la vitesse de la lumière).

Constantes et conversions :

Vitesse de la lumière dans le vide : \(c = 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}\).
1 année-lumière (a.l.) = \(9.461 \times 10^{15} \text{ m}\).
1 an \(\approx 3.156 \times 10^7 \text{ s}\).

Questions

Calculer la valeur du facteur de Lorentz (\(\gamma\)) pour le vaisseau spatial.
Convertir la distance propre \(L_0\) entre la Terre et Proxima Centauri en mètres.
Calculer la durée du voyage \(\Delta t_{Terre}\) mesurée par un observateur sur Terre, en années puis en secondes.
Calculer la durée du voyage \(\Delta t_{vaisseau}\) mesurée par les horloges à bord du vaisseau (temps propre), en années puis en secondes.
Quelle distance \(L_{vaisseau}\) les astronautes mesurent-ils avoir parcourue entre la Terre et Proxima Centauri, en années-lumière et en mètres ?
Quelle est la vitesse du vaisseau par rapport à Proxima Centauri, telle que mesurée par les astronautes à bord (en utilisant la distance contractée et le temps propre) ? Commenter le résultat.

Correction : Effets de la Relativité sur le Temps et l’Espace

1. Calcul du Facteur de Lorentz (\(\gamma\))

On utilise la formule \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}\).

Données :
\(v = 0.800 c\)

D'abord, calculons \((v/c)^2\) :

\left(\frac{v}{c}\right)^2 = (0.800)^2 = 0.640

Ensuite, \(\gamma\) :

\begin{aligned} \gamma &= \frac{1}{\sqrt{1 - 0.640}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{0.360}} \\ &= \frac{1}{0.600} \\ &\approx 1.666... \end{aligned}

Le facteur de Lorentz est \(\gamma \approx 1.67\).

2. Conversion de la Distance \(L_0\) en Mètres

On utilise le facteur de conversion donné.

Données :
\(L_0 = 4.00 \text{ a.l.}\)
1 a.l. = \(9.461 \times 10^{15} \text{ m}\)

\begin{aligned} L_0 (\text{m}) &= 4.00 \text{ a.l.} \times (9.461 \times 10^{15} \text{ m/a.l.}) \\ &= 3.7844 \times 10^{16} \text{ m} \end{aligned}

La distance propre \(L_0\) est d'environ \(3.78 \times 10^{16} \text{ m}\).

Quiz Intermédiaire

3. Durée du Voyage \(\Delta t_{Terre}\) Mesurée depuis la Terre

Pour un observateur sur Terre, le vaisseau parcourt la distance \(L_0\) à la vitesse \(v\). \(\Delta t = L_0 / v\).

Données :
\(L_0 = 4.00 \text{ a.l.}\)
\(v = 0.800 c\)

En années :

\begin{aligned} \Delta t_{Terre} &= \frac{L_0}{v} = \frac{4.00 \text{ a.l.}}{0.800 c} \end{aligned}

Sachant qu'une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en 1 an (\(1 \text{ a.l.} = c \times 1 \text{ an}\)) :

\begin{aligned} \Delta t_{Terre} &= \frac{4.00 \times (c \times 1 \text{ an})}{0.800 c} \\ &= \frac{4.00}{0.800} \text{ ans} \\ &= 5.00 \text{ ans} \end{aligned}

En secondes :

\begin{aligned} \Delta t_{Terre, s} &= 5.00 \text{ ans} \times (3.156 \times 10^7 \text{ s/an}) \\ &= 1.578 \times 10^8 \text{ s} \end{aligned}

Alternativement avec \(L_0\) en mètres :

\begin{aligned} \Delta t_{Terre, s} &= \frac{L_0 (\text{m})}{v (\text{m/s})} = \frac{3.7844 \times 10^{16} \text{ m}}{0.800 \times 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}} \\ &= \frac{3.7844 \times 10^{16}}{2.40 \times 10^8} \text{ s} \\ &\approx 1.5768 \times 10^8 \text{ s} \end{aligned}

(La petite différence est due aux arrondis des conversions).

La durée du voyage mesurée depuis la Terre est \(\Delta t_{Terre} = 5.00 \text{ ans}\) (soit environ \(1.58 \times 10^8 \text{ s}\)).

4. Durée du Voyage \(\Delta t_{vaisseau}\) Mesurée par les Astronautes

C'est le temps propre, \(\Delta t_0\). On utilise \(\Delta t = \gamma \Delta t_0 \Rightarrow \Delta t_0 = \Delta t / \gamma\).

Données :
\(\Delta t_{Terre} = 5.00 \text{ ans}\)
\(\gamma \approx 1.6667\)

En années :

\begin{aligned} \Delta t_{vaisseau} &= \frac{\Delta t_{Terre}}{\gamma} \\ &\approx \frac{5.00 \text{ ans}}{1.6667} \\ &\approx 3.00 \text{ ans} \end{aligned}

En secondes :

\begin{aligned} \Delta t_{vaisseau, s} &\approx 3.00 \text{ ans} \times (3.156 \times 10^7 \text{ s/an}) \\ &\approx 9.468 \times 10^7 \text{ s} \end{aligned}

La durée du voyage mesurée par les astronautes est \(\Delta t_{vaisseau} \approx 3.00 \text{ ans}\) (soit environ \(9.47 \times 10^7 \text{ s}\)).

Quiz Intermédiaire

5. Distance \(L_{vaisseau}\) Mesurée par les Astronautes

C'est la contraction des longueurs : \(L = L_0 / \gamma\).

Données :
\(L_0 = 4.00 \text{ a.l.}\) (ou \(3.7844 \times 10^{16} \text{ m}\))
\(\gamma \approx 1.6667\)

En années-lumière :

\begin{aligned} L_{vaisseau} &= \frac{L_0}{\gamma} \\ &\approx \frac{4.00 \text{ a.l.}}{1.6667} \\ &\approx 2.40 \text{ a.l.} \end{aligned}

En mètres :

\begin{aligned} L_{vaisseau, m} &\approx \frac{3.7844 \times 10^{16} \text{ m}}{1.6667} \\ &\approx 2.2706 \times 10^{16} \text{ m} \end{aligned}

Ou : \(2.40 \text{ a.l.} \times 9.461 \times 10^{15} \text{ m/a.l.} \approx 2.27064 \times 10^{16} \text{ m}\).

La distance mesurée par les astronautes est \(L_{vaisseau} \approx 2.40 \text{ a.l.}\) (soit environ \(2.27 \times 10^{16} \text{ m}\)).

6. Vitesse du Vaisseau Mesurée par les Astronautes (par rapport à Proxima Centauri)

Les astronautes mesurent la distance contractée \(L_{vaisseau}\) et leur temps de voyage propre \(\Delta t_{vaisseau}\). Leur vitesse relative par rapport à la destination est \(v' = L_{vaisseau} / \Delta t_{vaisseau}\).

Données :
\(L_{vaisseau} \approx 2.40 \text{ a.l.}\)
\(\Delta t_{vaisseau} \approx 3.00 \text{ ans}\)

\begin{aligned} v' &= \frac{L_{vaisseau}}{\Delta t_{vaisseau}} \\ &\approx \frac{2.40 \text{ a.l.}}{3.00 \text{ ans}} \\ &= 0.800 \text{ c} \end{aligned}

En effet, \(L_{vaisseau} = L_0/\gamma\) et \(\Delta t_{vaisseau} = \Delta t_{Terre}/\gamma\). Donc \(v' = \frac{L_0/\gamma}{\Delta t_{Terre}/\gamma} = \frac{L_0}{\Delta t_{Terre}} = v\).

Commentaire : Les astronautes mesurent la même vitesse relative par rapport à la destination que celle mesurée par un observateur sur Terre. Bien que le temps et la distance soient perçus différemment, leur rapport (la vitesse) reste le même. C'est une conséquence du principe de relativité.

La vitesse du vaisseau mesurée par les astronautes par rapport à Proxima Centauri est \(v' = 0.800 c\), la même que celle mesurée depuis la Terre.

Glossaire des Termes Clés

Relativité Restreinte :

Théorie physique proposée par Albert Einstein qui décrit le mouvement des objets dans des référentiels galiléens, en particulier à des vitesses proches de celle de la lumière.

Postulats d'Einstein :

Les deux principes fondamentaux de la relativité restreinte : le principe de relativité et la constance de la vitesse de la lumière dans le vide.

Référentiel Galiléen (ou Inertiel) :

Référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié.

Temps Propre (\(\Delta t_0\)) :

Intervalle de temps mesuré par une horloge située au repos par rapport à l'événement mesuré.

Dilatation du Temps :

Phénomène où un intervalle de temps mesuré entre deux événements est plus long pour un observateur en mouvement par rapport à ces événements que pour un observateur au repos par rapport à eux.

Longueur Propre (\(L_0\)) :

Longueur d'un objet mesurée dans le référentiel où l'objet est au repos.

Contraction des Longueurs :

Phénomène où la longueur d'un objet en mouvement est mesurée comme étant plus courte dans la direction de son mouvement que sa longueur propre.

Facteur de Lorentz (\(\gamma\)) :

Facteur qui apparaît dans les équations de la relativité restreinte, dépendant de la vitesse de l'objet par rapport à la vitesse de la lumière.

Année-lumière (a.l.) :

Unité de distance correspondant à la distance parcourue par la lumière dans le vide en une année julienne.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Expliquez le "paradoxe des jumeaux" en termes de relativité restreinte. Lequel des jumeaux vieillit réellement moins ? Pourquoi ?

2. Pourquoi ne percevons-nous pas les effets de la dilatation du temps et de la contraction des longueurs dans notre vie quotidienne ?

3. Que se passerait-il si un objet pouvait atteindre ou dépasser la vitesse de la lumière, selon les équations de la relativité restreinte ?

4. Comment l'énergie cinétique d'un objet est-elle modifiée par la relativité restreinte par rapport à la formule classique \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\) ? (Indice : \(E_c = (\gamma - 1)mc^2\)).

5. Les GPS doivent tenir compte des effets relativistes (restreinte et générale) pour fonctionner correctement. Expliquez brièvement pourquoi.

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