Constante de Désintégration d’Isotope X

La loi de décroissance radioactive décrit comment l'activité \(A(t)\) d'un échantillon radioactif diminue de manière exponentielle avec le temps. Elle dépend de l'activité initiale \(A_0\) au temps \(t=0\), de la constante de désintégration \(\lambda\) (spécifique à l'isotope), et du temps \(t\) écoulé.

Nous avons \(A_0 = 8000 \text{ Bq}\) à \(t_0 = 0 \text{ h}\), et \(A_1 = 2000 \text{ Bq}\) à \(t_1 = 24.0 \text{ h}\). En appliquant la loi de décroissance à l'instant \(t_1\) : \(A(t_1) = A_0 e^{-\lambda t_1}\). Nous devons isoler \(\lambda\) de cette équation.

Réorganisation de l'équation :

Application numérique avec \(A_0 = 8000 \text{ Bq}\), \(A_1 = 2000 \text{ Bq}\), \(t_1 = 24.0 \text{ h}\) :

Conversion de \(\lambda\) en \(s^{-1}\) (sachant que \(1 \text{ h} = 3600 \text{ s}\)) :

La période radioactive (ou demi-vie) \(T_{1/2}\) est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent, ou, de manière équivalente, pour que l'activité de l'échantillon soit divisée par deux. Elle est liée à la constante de désintégration \(\lambda\) par la formule \(T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\). Nous utiliserons la valeur de \(\lambda\) en \(h^{-1}\) pour obtenir \(T_{1/2}\) en heures.

Observation : À \(t_1 = 24.0 \text{ h}\), l'activité \(A_1 = 2000 \text{ Bq}\) est \(\frac{A_0}{4} = \frac{8000}{4}\). Cela signifie que 24.0 heures représentent deux périodes radioactives (\(2 \times T_{1/2}\)). Donc, \(T_{1/2} = 24.0 \text{ h} / 2 = 12.0 \text{ h}\). Ce résultat est cohérent avec le calcul.

L'activité \(A(t)\) est liée au nombre de noyaux \(N(t)\) par la relation \(A(t) = \lambda N(t)\). Donc, \(N(t) = \frac{A(t)}{\lambda}\). Nous voulons calculer \(N_1 = N(t_1)\). Nous avons \(A_1 = 2000 \text{ Bq}\) et \(\lambda \approx 1.6045 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}\). Il est important d'utiliser \(\lambda\) en \(s^{-1}\) car le Becquerel (Bq) est en désintégrations par seconde.

Nous cherchons le temps \(t_2\) tel que \(A(t_2) = 0.10 \times A_0\). Nous utilisons la loi de décroissance \(A(t_2) = A_0 e^{-\lambda t_2}\).

Utilisons \(\lambda \approx 0.05776 \text{ h}^{-1}\) pour obtenir \(t_2\) en heures :

Pour un échantillon de masse \(m_0 = 1.20 \text{ µg} = 1.20 \times 10^{-6} \text{ g}\) de l'isotope X (masse molaire \(M_X = 60.0 \text{ g/mol}\)), nous devons d'abord calculer le nombre initial de noyaux \(N'_0\). Le nombre de moles \(n\) est \(m_0 / M_X\). Le nombre de noyaux \(N'_0\) est \(n \times N_A\). Ensuite, l'activité initiale \(A'_0\) est \(\lambda N'_0\). Nous utiliserons \(\lambda\) en \(s^{-1}\).

Nombre de moles \(n\) :

Nombre initial de noyaux \(N'_0\) :

Activité initiale \(A'_0\) avec \(\lambda \approx 1.6045 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}\) :

Réponses Correctes :

Question 1 : b) La probabilité qu'un noyau se désintègre par unité de temps.

Question 2 : a) \(0.07 \text{ jour}^{-1}\) (car \(\lambda = \ln 2 / T_{1/2} \approx 0.7 / 10 = 0.07\)).

Question 3 : d) Diminue exponentiellement avec le temps.

Question 4 : b) 1/4 (car \((1/2)^2 = 1/4\)).

Radioactivité :

Phénomène par lequel des noyaux atomiques instables se transforment spontanément en d'autres noyaux en émettant des particules et/ou de l'énergie.

Constante de Désintégration (\(\lambda\)) :

Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. Unité : \(s^{-1}\), \(h^{-1}\), \(an^{-1}\), etc.

Période Radioactive (\(T_{1/2}\) ou Demi-vie) :

Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent, ou pour que l'activité de l'échantillon soit divisée par deux.

Activité (\(A\)) :

Nombre de désintégrations radioactives par unité de temps dans un échantillon. Unité SI : Becquerel (Bq).

Becquerel (Bq) :

Unité d'activité radioactive, équivalant à une désintégration par seconde.

Noyau Radioactif (Radionucléide) :

Noyau atomique instable qui subit une désintégration radioactive.

Loi de Décroissance Radioactive :

Loi mathématique (exponentielle) qui décrit la diminution du nombre de noyaux radioactifs ou de l'activité d'un échantillon au cours du temps.

Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) :

Nombre d'entités élémentaires (atomes, molécules, etc.) dans une mole de substance. \(N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\).

Masse Molaire (M) :

Masse d'une mole d'une substance (atomes, molécules). Unité : g/mol.