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Exercices Physique Chimie

Constante de Désintégration d’Isotope X

Constante de Désintégration d’Isotope X

Constante de Désintégration d’Isotope X

Calculer la constante de désintégration et la période d'un isotope radioactif inconnu à partir de mesures d'activité.

La désintégration radioactive est un processus aléatoire au niveau d'un noyau individuel, mais pour un grand nombre de noyaux, elle suit une loi statistique bien définie. La vitesse à laquelle un échantillon radioactif se désintègre est caractérisée par sa constante de désintégration \(\lambda\) et sa période radioactive (ou demi-vie) \(T_{1/2}\).

L'activité \(A(t)\) d'un échantillon radioactif à un instant \(t\) est le nombre de désintégrations par seconde. Elle est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs \(N(t)\) présents à cet instant : \(A(t) = \lambda N(t)\).

La loi de décroissance radioactive pour l'activité est :

\[ A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \]

Où \(A_0\) est l'activité initiale (à \(t=0\)), \(\lambda\) est la constante de désintégration, et \(t\) est le temps écoulé.

La période radioactive \(T_{1/2}\) est le temps au bout duquel l'activité (ou le nombre de noyaux) est divisée par deux. Elle est liée à \(\lambda\) par : \(T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\).

Données du Problème

Un échantillon d'un isotope radioactif inconnu, noté X, est étudié. Son activité est mesurée à différents instants.

  • Activité initiale de l'échantillon (à \(t_0 = 0 \text{ h}\)) : \(A_0 = 8000 \text{ Bq}\) (Becquerels)
  • Activité mesurée après un temps \(t_1 = 24.0 \text{ heures}\) : \(A_1 = A(t_1) = 2000 \text{ Bq}\)
  • Masse molaire de l'isotope X (supposée connue pour une question ultérieure) : \(M_X = 60.0 \text{ g/mol}\)
  • Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) : \(6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\)
  • Constantes utiles : \(\ln 2 \approx 0.693\), \(\ln 4 \approx 1.386\)
t (heures) A(t) (Bq) A0 0 A1 t1 (24h) A0/2 T1/2 A0/4 (A1)
Décroissance de l'activité \(A(t)\) d'un échantillon radioactif en fonction du temps \(t\).

Questions

  1. Rappeler la loi de décroissance radioactive pour l'activité \(A(t)\) en fonction de l'activité initiale \(A_0\), de la constante de désintégration \(\lambda\) et du temps \(t\).
  2. En utilisant les mesures d'activité \(A_0\) et \(A_1\) aux instants \(t_0=0\) et \(t_1=24.0\) heures, calculer la valeur de la constante de désintégration \(\lambda\) de l'isotope X. Donner le résultat en \(h^{-1}\) puis en \(s^{-1}\).
  3. Calculer la période radioactive (demi-vie) \(T_{1/2}\) de cet isotope X. Donner le résultat en heures.
  4. Calculer le nombre de noyaux radioactifs \(N_1\) présents dans l'échantillon à l'instant \(t_1 = 24.0\) heures.
  5. Au bout de combien de temps \(t_2\) (en heures) l'activité de l'échantillon sera-t-elle réduite à 10% de son activité initiale \(A_0\) ?
  6. Un autre échantillon fraîchement préparé de cet isotope X a une masse initiale \(m_0 = 1.20 \text{ µg}\) (microgrammes). Calculer son activité initiale \(A'_0\). (Prendre \(1 \text{ an} \approx 3.156 \times 10^7 \text{ s}\) si besoin de convertir \(\lambda\) ou \(T_{1/2}\)).

Correction : Constante de Désintégration d’Isotope X

1. Loi de Décroissance Radioactive pour l'Activité

La loi de décroissance radioactive décrit comment l'activité \(A(t)\) d'un échantillon radioactif diminue de manière exponentielle avec le temps. Elle dépend de l'activité initiale \(A_0\) au temps \(t=0\), de la constante de désintégration \(\lambda\) (spécifique à l'isotope), et du temps \(t\) écoulé.

\[ A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \]

La loi de décroissance radioactive pour l'activité est \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\).

Quiz Intermédiaire : Termes de la Loi de Décroissance

Question : Dans la loi \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\), que représente \(\lambda\) ?

2. Calcul de la Constante de Désintégration \(\lambda\)

Nous avons \(A_0 = 8000 \text{ Bq}\) à \(t_0 = 0 \text{ h}\), et \(A_1 = 2000 \text{ Bq}\) à \(t_1 = 24.0 \text{ h}\). En appliquant la loi de décroissance à l'instant \(t_1\) : \(A(t_1) = A_0 e^{-\lambda t_1}\). Nous devons isoler \(\lambda\) de cette équation.

Réorganisation de l'équation :

\[ \begin{aligned} \frac{A(t_1)}{A_0} &= e^{-\lambda t_1} \\ \ln\left(\frac{A(t_1)}{A_0}\right) &= \ln(e^{-\lambda t_1}) \\ \ln\left(\frac{A(t_1)}{A_0}\right) &= -\lambda t_1 \\ \lambda &= -\frac{1}{t_1} \ln\left(\frac{A(t_1)}{A_0}\right) \\ \lambda &= \frac{1}{t_1} \ln\left(\frac{A_0}{A(t_1)}\right) \end{aligned} \]

Application numérique avec \(A_0 = 8000 \text{ Bq}\), \(A_1 = 2000 \text{ Bq}\), \(t_1 = 24.0 \text{ h}\) :

\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{1}{24.0 \text{ h}} \ln\left(\frac{8000 \text{ Bq}}{2000 \text{ Bq}}\right) \\ &= \frac{1}{24.0 \text{ h}} \ln(4) \\ &\approx \frac{1.38629}{24.0 \text{ h}} \\ &\approx 0.05776 \text{ h}^{-1} \end{aligned} \]

Conversion de \(\lambda\) en \(s^{-1}\) (sachant que \(1 \text{ h} = 3600 \text{ s}\)) :

\[ \begin{aligned} \lambda_{s^{-1}} &= \frac{0.05776}{3600 \text{ s}} \\ &\approx 1.6045 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1} \end{aligned} \]

La constante de désintégration est \(\lambda \approx 0.0578 \text{ h}^{-1}\) ou \(\lambda \approx 1.60 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}\).

3. Calcul de la Période Radioactive \(T_{1/2}\)

La période radioactive (ou demi-vie) \(T_{1/2}\) est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent, ou, de manière équivalente, pour que l'activité de l'échantillon soit divisée par deux. Elle est liée à la constante de désintégration \(\lambda\) par la formule \(T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\). Nous utiliserons la valeur de \(\lambda\) en \(h^{-1}\) pour obtenir \(T_{1/2}\) en heures.

\[ \begin{aligned} T_{1/2} &= \frac{\ln 2}{\lambda} \\ &\approx \frac{0.6931}{0.05776 \text{ h}^{-1}} \\ &\approx 12.00 \text{ h} \end{aligned} \]

Observation : À \(t_1 = 24.0 \text{ h}\), l'activité \(A_1 = 2000 \text{ Bq}\) est \(\frac{A_0}{4} = \frac{8000}{4}\). Cela signifie que 24.0 heures représentent deux périodes radioactives (\(2 \times T_{1/2}\)). Donc, \(T_{1/2} = 24.0 \text{ h} / 2 = 12.0 \text{ h}\). Ce résultat est cohérent avec le calcul.

La période radioactive de l'isotope X est \(T_{1/2} = 12.0 \text{ heures}\).

Quiz Intermédiaire : Période Radioactive

Question : Si un échantillon a une activité de 1600 Bq et une période de 6 heures, quelle sera son activité après 18 heures ?

4. Nombre de Noyaux \(N_1\) à \(t_1 = 24.0\) heures

L'activité \(A(t)\) est liée au nombre de noyaux \(N(t)\) par la relation \(A(t) = \lambda N(t)\). Donc, \(N(t) = \frac{A(t)}{\lambda}\). Nous voulons calculer \(N_1 = N(t_1)\). Nous avons \(A_1 = 2000 \text{ Bq}\) et \(\lambda \approx 1.6045 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}\). Il est important d'utiliser \(\lambda\) en \(s^{-1}\) car le Becquerel (Bq) est en désintégrations par seconde.

\[ \begin{aligned} N_1 &= \frac{A_1}{\lambda_{s^{-1}}} \\ &\approx \frac{2000 \text{ s}^{-1}}{1.6045 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}} \\ &\approx 1.24649 \times 10^8 \text{ noyaux} \end{aligned} \]

Le nombre de noyaux radioactifs présents à \(t_1 = 24.0\) heures est \(N_1 \approx 1.25 \times 10^8 \text{ noyaux}\).

Quiz Intermédiaire : Activité et Nombre de Noyaux

Question : Si la constante de désintégration \(\lambda\) d'un isotope est très petite, cela signifie que pour un nombre donné de noyaux \(N\), l'activité \(A\) sera :

5. Temps \(t_2\) pour que l'Activité soit 10% de \(A_0\)

Nous cherchons le temps \(t_2\) tel que \(A(t_2) = 0.10 \times A_0\). Nous utilisons la loi de décroissance \(A(t_2) = A_0 e^{-\lambda t_2}\).

\[ \begin{aligned} 0.10 \times A_0 &= A_0 e^{-\lambda t_2} \\ 0.10 &= e^{-\lambda t_2} \\ \ln(0.10) &= -\lambda t_2 \\ t_2 &= -\frac{\ln(0.10)}{\lambda} \\ t_2 &= \frac{\ln(1/0.10)}{\lambda} = \frac{\ln(10)}{\lambda} \end{aligned} \]

Utilisons \(\lambda \approx 0.05776 \text{ h}^{-1}\) pour obtenir \(t_2\) en heures :

\[ \begin{aligned} t_2 &\approx \frac{\ln(10)}{0.05776 \text{ h}^{-1}} \\ &\approx \frac{2.302585}{0.05776 \text{ h}^{-1}} \\ &\approx 39.864 \text{ h} \end{aligned} \]

L'activité de l'échantillon sera réduite à 10% de son activité initiale après environ \(t_2 \approx 39.9 \text{ heures}\).

6. Activité Initiale \(A'_0\) d'un Échantillon de Masse \(m_0\)

Pour un échantillon de masse \(m_0 = 1.20 \text{ µg} = 1.20 \times 10^{-6} \text{ g}\) de l'isotope X (masse molaire \(M_X = 60.0 \text{ g/mol}\)), nous devons d'abord calculer le nombre initial de noyaux \(N'_0\). Le nombre de moles \(n\) est \(m_0 / M_X\). Le nombre de noyaux \(N'_0\) est \(n \times N_A\). Ensuite, l'activité initiale \(A'_0\) est \(\lambda N'_0\). Nous utiliserons \(\lambda\) en \(s^{-1}\).

Nombre de moles \(n\) :

\[ \begin{aligned} n &= \frac{m_0}{M_X} \\ &= \frac{1.20 \times 10^{-6} \text{ g}}{60.0 \text{ g/mol}} \\ &= 2.00 \times 10^{-8} \text{ mol} \end{aligned} \]

Nombre initial de noyaux \(N'_0\) :

\[ \begin{aligned} N'_0 &= n \times N_A \\ &= (2.00 \times 10^{-8} \text{ mol}) \times (6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}) \\ &= 1.2044 \times 10^{16} \text{ noyaux} \end{aligned} \]

Activité initiale \(A'_0\) avec \(\lambda \approx 1.6045 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}\) :

\[ \begin{aligned} A'_0 &= \lambda N'_0 \\ &\approx (1.6045 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}) \times (1.2044 \times 10^{16} \text{ noyaux}) \\ &\approx 1.9324 \times 10^{11} \text{ Bq} \end{aligned} \]

L'activité initiale de l'échantillon de 1.20 µg est \(A'_0 \approx 1.93 \times 10^{11} \text{ Bq}\) (soit 193 GBq).

Quiz Intermédiaire : Activité et Masse

Question : Si on double la masse initiale d'un échantillon radioactif du même isotope, comment varie son activité initiale (en supposant que \(\lambda\) reste constant) ?

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : La constante de désintégration \(\lambda\) est une mesure de :

Question 2 : Si la période radioactive d'un isotope est de 10 jours, sa constante de désintégration \(\lambda\) est approximativement (utiliser \(\ln 2 \approx 0.7\)) :

Question 3 : L'activité \(A(t)\) d'un échantillon radioactif :

Question 4 : Après deux périodes radioactives (\(2T_{1/2}\)), la fraction de noyaux radioactifs initiaux restants est :

Glossaire des Termes Clés

Radioactivité :

Phénomène par lequel des noyaux atomiques instables se transforment spontanément en d'autres noyaux en émettant des particules et/ou de l'énergie.

Constante de Désintégration (\(\lambda\)) :

Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. Unité : \(s^{-1}\), \(h^{-1}\), \(an^{-1}\), etc.

Période Radioactive (\(T_{1/2}\) ou Demi-vie) :

Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent, ou pour que l'activité de l'échantillon soit divisée par deux.

Activité (\(A\)) :

Nombre de désintégrations radioactives par unité de temps dans un échantillon. Unité SI : Becquerel (Bq).

Becquerel (Bq) :

Unité d'activité radioactive, équivalant à une désintégration par seconde.

Noyau Radioactif (Radionucléide) :

Noyau atomique instable qui subit une désintégration radioactive.

Loi de Décroissance Radioactive :

Loi mathématique (exponentielle) qui décrit la diminution du nombre de noyaux radioactifs ou de l'activité d'un échantillon au cours du temps.

Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) :

Nombre d'entités élémentaires (atomes, molécules, etc.) dans une mole de substance. \(N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\).

Masse Molaire (M) :

Masse d'une mole d'une substance (atomes, molécules). Unité : g/mol.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment la constante de désintégration \(\lambda\) est-elle liée à la "durée de vie moyenne" \(\tau\) d'un noyau radioactif ?

2. Expliquer pourquoi la datation au Carbone-14 est une application de la loi de décroissance radioactive. Quel type d'objets peut-on dater avec cette méthode et quelles en sont les limites ?

3. Si l'on dispose de deux échantillons radioactifs A et B, où l'isotope A a une période \(T_{A}\) plus courte que la période \(T_{B}\) de l'isotope B. Si les deux échantillons ont initialement la même activité, lequel sera le plus actif après un long moment ? Lequel aura le plus de noyaux désintégrés ?

4. Quelles sont les principales unités utilisées pour mesurer l'exposition aux rayonnements et la dose absorbée par les tissus biologiques ? Quelle est la différence entre elles ?

5. Discuter des précautions à prendre lors de la manipulation de sources radioactives, même celles de faible activité.

Constante de Désintégration d’Isotope X

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