Calcul de l’Épaisseur Nécessaire du Matelas
Déterminer l'épaisseur minimale d'un matelas de sécurité pour amortir la chute d'une personne sans que la force de décélération ne dépasse une valeur critique, en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.
Lorsqu'une personne tombe sur un matelas de sécurité (par exemple, un matelas de réception en gymnastique ou pour les cascadeurs), le matelas se déforme pour absorber l'énergie cinétique de la personne et la décélérer sur une certaine distance. L'objectif est de réduire la force d'impact ressentie par la personne.
On peut analyser ce processus en deux phases :
- La chute libre de la personne jusqu'à ce qu'elle touche la surface du matelas. Pendant cette phase, son énergie potentielle de pesanteur est convertie en énergie cinétique.
- L'enfoncement dans le matelas. Pendant cette phase, le matelas exerce une force de résistance vers le haut pour arrêter la personne. Le travail de cette force de résistance (et du poids pendant l'enfoncement) est égal à la variation de l'énergie cinétique de la personne (théorème de l'énergie cinétique).
Le théorème de l'énergie cinétique stipule que la variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces (extérieures et intérieures) qui s'exercent sur le système entre ces deux instants :
Données du Problème
Une personne de masse \(m\) tombe d'une hauteur \(H\) (mesurée entre sa position initiale et la surface supérieure du matelas non déformé) et atterrit sur un matelas de sécurité. On suppose que la personne est lâchée sans vitesse initiale.
- Masse de la personne (\(m\)) : \(60.0 \text{ kg}\)
- Hauteur de chute au-dessus du matelas (\(H\)) : \(0.50 \text{ m}\)
- Force de résistance moyenne exercée par le matelas lors de l'enfoncement (\(F_{matelas}\)) : \(3000 \text{ N}\) (supposée constante et dirigée vers le haut)
- Accélération due à la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \text{ m/s}^2\)
- On néglige la résistance de l'air.
Questions
- Faire le bilan des forces s'exerçant sur la personne pendant la phase de chute libre (entre A et B). En déduire la nature de son mouvement.
- Calculer la vitesse \(v_B\) de la personne juste avant qu'elle ne touche le matelas au point B, en utilisant la conservation de l'énergie mécanique ou le théorème de l'énergie cinétique.
- Calculer l'énergie cinétique \(E_{cB}\) de la personne à l'instant où elle touche le matelas.
- Une fois que la personne touche le matelas, elle s'enfonce d'une distance \(x\) jusqu'à s'arrêter complètement au point C. Faire le bilan des forces s'exerçant sur la personne pendant cette phase d'enfoncement.
- Appliquer le théorème de l'énergie cinétique entre le point B (début de contact avec le matelas) et le point C (arrêt complet). Exprimer le travail de chaque force en fonction de \(m, g, H, F_{matelas}\) et \(x\).
- En déduire une expression littérale de l'épaisseur d'enfoncement \(x\) du matelas nécessaire pour arrêter la personne.
- Calculer la valeur numérique de \(x\).
- Calculer la décélération moyenne \(a_{decel}\) subie par la personne pendant l'enfoncement dans le matelas. Exprimer cette décélération en multiples de \(g\).
Correction : Calcul de l’Épaisseur Nécessaire du Matelas
1. Bilan des Forces (Chute Libre A \(\rightarrow\) B) et Nature du Mouvement
Pendant la phase de chute libre entre le point A (lâcher) et le point B (contact avec le matelas), on néglige la résistance de l'air. La seule force s'exerçant sur la personne est son poids \(\vec{P}\).
Bilan des forces : \(\vec{P} = m\vec{g}\) (verticale, vers le bas).
D'après la deuxième loi de Newton : \(\Sigma \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\), donc \(m\vec{g} = m\vec{a}\), ce qui implique \(\vec{a} = \vec{g}\).
L'accélération est constante et égale à \(\vec{g}\). Le mouvement est donc un mouvement rectiligne uniformément varié (plus précisément, uniformément accéléré car la vitesse initiale est nulle et \(\vec{g}\) est dans le sens du mouvement choisi pour l'axe \(Oy\)).
Force unique : Poids \(\vec{P}\). Mouvement : rectiligne uniformément accéléré (\(\vec{a}=\vec{g}\)).
2. Vitesse \(v_B\) Juste Avant l'Impact
On peut utiliser la conservation de l'énergie mécanique entre A et B, car seule la force conservative (poids) travaille (frottements de l'air négligés). Ou, utiliser le théorème de l'énergie cinétique : \(\Delta E_c = W(\vec{P})\). Prenons l'origine des altitudes \(y=0\) au point A (lâcher) et l'axe \(Oy\) orienté vers le bas. Le sol du matelas est donc à \(y=H\). L'énergie potentielle de pesanteur est \(E_p(y) = -mgy + constante\). Si on choisit \(E_p(A)=0\) (à \(y=0\)), alors \(E_p(y) = -mgy\). Au point B, \(y_B = H\).
Conservation de l'énergie mécanique : \(E_{mA} = E_{mB}\)
\(E_{cA} + E_{pA} = E_{cB} + E_{pB}\)
\(\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(0) = \frac{1}{2}mv_B^2 + mg(-H)\) (si l'origine de \(E_p\) est en A)
Si l'origine de \(E_p\) est au niveau du matelas (point B), alors \(E_{pA} = mgH\) et \(E_{pB} = 0\).
\(\frac{1}{2}mv_A^2 + mgH = \frac{1}{2}mv_B^2 + 0\)
Avec \(v_A = 0\) (lâchée sans vitesse initiale) :
Données : \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\), \(H = 0.50 \text{ m}\).
La vitesse de la personne juste avant de toucher le matelas est \(v_B \approx 3.13 \text{ m/s}\).
3. Énergie Cinétique \(E_{cB}\) à l'Impact
L'énergie cinétique est donnée par \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).
Données : \(m = 60.0 \text{ kg}\), \(v_B \approx 3.132 \text{ m/s}\).
Note : On aurait pu aussi dire \(E_{cB} = mgH = 60.0 \times 9.81 \times 0.50 = 294.3 \text{ J}\) par conservation de l'énergie mécanique, en prenant \(E_p = 0\) au niveau du matelas.
L'énergie cinétique à l'impact est \(E_{cB} = 294.3 \text{ J}\).
4. Bilan des Forces pendant l'Enfoncement (B \(\rightarrow\) C)
Pendant que la personne s'enfonce dans le matelas, deux forces principales s'exercent sur elle (dans le référentiel terrestre) :
- Son poids \(\vec{P}\), toujours vertical vers le bas.
- La force de résistance du matelas \(\vec{F}_{matelas}\), verticale, dirigée vers le haut (s'opposant à l'enfoncement).
Forces pendant l'enfoncement : Poids \(\vec{P}\) (vers le bas) et Force du matelas \(\vec{F}_{matelas}\) (vers le haut).
Quiz Intermédiaire : Travail des Forces
5. Application du Théorème de l'Énergie Cinétique (B \(\rightarrow\) C)
Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit : \(\Delta E_c = E_{cC} - E_{cB} = W(\vec{P}) + W(\vec{F}_{matelas})\). Au point C, la personne est arrêtée, donc \(v_C = 0\) et \(E_{cC} = 0\). Le déplacement pendant l'enfoncement est \(x\), vers le bas.
Travail du poids \(\vec{P}\) : \(\vec{P}\) est dans le sens du déplacement \(x\).
Travail de la force du matelas \(\vec{F}_{matelas}\) : \(\vec{F}_{matelas}\) est opposée au déplacement \(x\).
Application du théorème :
\(-E_{cB} = mgx - F_{matelas}x\).
6. Expression Littérale de l'Épaisseur d'Enfoncement \(x\)
À partir de l'équation obtenue par le théorème de l'énergie cinétique, on isole \(x\). On sait aussi que \(E_{cB} = mgH\) (l'énergie cinétique à l'impact est égale à l'énergie potentielle perdue pendant la chute libre).
Cette expression est valide si \(F_{matelas} > mg\), ce qui est nécessaire pour arrêter la personne.
L'épaisseur d'enfoncement est \(x = \frac{mgH}{F_{matelas} - mg}\).
7. Calcul Numérique de \(x\)
On utilise l'expression littérale de \(x\) avec les valeurs numériques données.
Données : \(m=60.0 \text{ kg}\), \(g=9.81 \text{ m/s}^2\), \(H=0.50 \text{ m}\), \(F_{matelas}=3000 \text{ N}\).
Calcul de \(mg\) :
Calcul de \(mgH\) :
Calcul de \(x\) :
L'épaisseur d'enfoncement du matelas est \(x \approx 0.122 \text{ m}\) (soit 12.2 cm).
8. Décélération Moyenne \(a_{decel}\)
Pendant l'enfoncement, la force résultante sur la personne est \(\vec{F}_{res} = \vec{P} + \vec{F}_{matelas}\). Avec l'axe \(Oy\) vers le bas, \(P_y = mg\) et \(F_{matelas,y} = -F_{matelas}\). Donc, la composante de la force résultante est \(F_{res,y} = mg - F_{matelas}\). L'accélération moyenne \(a_{decel}\) est \(F_{res,y} / m\).
Le signe négatif indique que l'accélération est dirigée vers le haut (opposée à l'axe \(Oy\)), c'est donc bien une décélération. La norme de la décélération est \(|a_{decel}| \approx 40.19 \text{ m/s}^2\).
Expression en multiples de \(g\) :
La décélération moyenne subie est d'environ \(40.2 \text{ m/s}^2\), soit environ \(4.1g\).
Quiz Intermédiaire : Théorème de l'Énergie Cinétique
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Glossaire des Termes Clés
Énergie Cinétique (\(E_c\)) :
Énergie que possède un corps du fait de son mouvement. \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).
Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_p\)) :
Énergie que possède un corps du fait de sa position dans un champ de pesanteur. \(E_p = mgy + constante\).
Énergie Mécanique (\(E_m\)) :
Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système (\(E_m = E_c + E_p\)).
Travail d'une Force (\(W(\vec{F})\)) :
Transfert d'énergie qui se produit lorsqu'une force déplace son point d'application. Pour une force constante \(\vec{F}\) et un déplacement rectiligne \(\vec{d}\), \(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta\).
Théorème de l'Énergie Cinétique :
La variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces (extérieures et intérieures) qui s'exercent sur le système entre ces deux instants.
Force de Résistance :
Force qui s'oppose au mouvement d'un objet (ex: frottements, force d'un matelas).
Chute Libre :
Mouvement d'un objet soumis uniquement à la force de pesanteur (résistance de l'air négligée).
Décélération :
Accélération négative, c'est-à-dire une accélération qui s'oppose au sens de la vitesse, provoquant une diminution de la norme de la vitesse.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment le calcul de l'épaisseur du matelas changerait-il si la force exercée par le matelas n'était pas constante mais proportionnelle à l'enfoncement (comme un ressort, \(F = kx\)) ?
2. Si la personne tombait d'une hauteur \(H\) plus grande, comment cela affecterait-il l'épaisseur d'enfoncement \(x\) nécessaire pour une même force de résistance \(F_{matelas}\) ?
3. Discuter des facteurs qui, dans la réalité, rendent le modèle de force constante du matelas approximatif.
4. Comment la notion de "coefficient de restitution" pourrait-elle être utilisée pour analyser l'impact sur un matelas moins absorbant (qui ferait rebondir la personne) ?
5. En termes de sécurité, est-il préférable d'avoir un matelas qui s'enfonce beaucoup avec une force de résistance faible, ou un matelas qui s'enfonce peu avec une force de résistance élevée ? Expliquer en termes de décélération.
D’autres exercices de physique terminale:
Je ne comprends pas d’où vient la formule E=1/2kx^2. La loi de Hooke est F=-kx, j’imagine que c’est lié mais je ne comprends pas d’où sort le 1/2. Quelqu’un pourraît m’éclairer ?
Salut ! Tu as raison, la formule \(E = \frac{1}{2}kx^2\) vient bien de la loi de Hooke (\(F=-kx\)).
Le truc, c’est que pour calculer l’énergie stockée dans le ressort, on regarde le travail qu’il faut fournir pour le déformer (l’étirer ou le comprimer).
Quand tu déformes le ressort, la force que tu dois appliquer n’est pas constante : elle commence à 0 et augmente jusqu’à \(kx\) (la valeur maximale de la force pour un déplacement \(x\)).
Comme la force varie linéairement, on peut utiliser la force moyenne sur le déplacement \(x\). Cette force moyenne est :
\[ F_{\text{moyenne}} = \frac{(0 + kx)}{2} = \frac{1}{2}kx \]
Ensuite, le travail (et donc l’énergie stockée) c’est cette force moyenne multipliée par le déplacement \(x\) :
\[ E = (F_{\text{moyenne}}) \times x = \left(\frac{1}{2}kx\right) \times x = \frac{1}{2}kx^2 \]
C’est de là que vient le \(\frac{1}{2}\) ! C’est parce que la force n’est pas constante mais augmente progressivement. On peut aussi voir ça graphiquement : l’énergie est l’aire d’un triangle sous la courbe de la force en fonction du déplacement, et l’aire d’un triangle c’est \(\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}\).