Analyse des Oscillations Amorties d'un Système

Étudier le mouvement d'un oscillateur harmonique amorti et déterminer ses caractéristiques principales.

Les oscillations amorties sont des oscillations dont l'amplitude diminue au cours du temps en raison de forces dissipatives, comme les frottements. Un système masse-ressort auquel on ajoute un amortisseur est un exemple classique d'oscillateur harmonique amorti.

L'équation différentielle du mouvement d'un oscillateur harmonique amorti de masse \(m\), soumis à une force de rappel élastique de constante de raideur \(k\) et à une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse (coefficient de frottement \(b\)), est donnée par :

m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0

Cette équation peut aussi s'écrire :

\ddot{x} + 2\gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = 0

Où :

\(x(t)\) est l'élongation (position par rapport à l'équilibre) à l'instant \(t\).
\(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) est la pulsation propre (ou naturelle) de l'oscillateur non amorti.
\(\gamma = \frac{b}{2m}\) est le coefficient d'amortissement.

Pour un amortissement faible (régime pseudo-périodique), la solution est de la forme \(x(t) = X_m e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi)\), où \(\omega_d\) est la pseudo-pulsation, donnée par \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\), et \(X_m e^{-\gamma t}\) est l'amplitude qui décroît exponentiellement.

Données du Problème

On considère un système masse-ressort-amortisseur horizontal.

Masse de l'objet (\(m\)) : \(0.50 \text{ kg}\)
Constante de raideur du ressort (\(k\)) : \(200 \text{ N/m}\)
Coefficient de frottement fluide (\(b\)) : \(2.0 \text{ kg/s}\)
À l'instant initial \(t=0\), l'objet est écarté de sa position d'équilibre de \(x_0 = 0.10 \text{ m}\) et lâché sans vitesse initiale (\(v_0 = 0 \text{ m/s}\)).

Système masse-ressort-amortisseur horizontal.

Questions

Calculer la pulsation propre \(\omega_0\) de l'oscillateur non amorti.
Calculer le coefficient d'amortissement \(\gamma\).
Déterminer le régime des oscillations (faiblement amorti, critique, sur-amorti). Justifier.
Dans le cas d'un régime pseudo-périodique, calculer la pseudo-pulsation \(\omega_d\).
Calculer la pseudo-période \(T_d\) des oscillations.
Écrire l'expression de l'élongation \(x(t)\) en fonction du temps, en déterminant l'amplitude initiale \(X_m\) et la phase à l'origine \(\phi\) à partir des conditions initiales. (On rappelle que pour \(x(t) = X_m e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi)\), on a \(\dot{x}(t) = -X_m \gamma e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi) - X_m \omega_d e^{-\gamma t} \sin(\omega_d t + \phi)\)).
Quelle est l'amplitude des oscillations après une pseudo-période (\(t=T_d\)) ? Quel est le rapport entre cette amplitude et l'amplitude initiale \(X_m\) ?

Correction : Analyse des Oscillations Amorties d'un Système

1. Calcul de la Pulsation Propre \(\omega_0\)

La pulsation propre \(\omega_0\) d'un oscillateur harmonique non amorti est déterminée par la masse \(m\) de l'objet et la constante de raideur \(k\) du ressort. La formule est \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\).

Données : \(m = 0.50 \text{ kg}\), \(k = 200 \text{ N/m}\).

\begin{aligned} \omega_0 &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\ &= \sqrt{\frac{200 \text{ N/m}}{0.50 \text{ kg}}} \\ &= \sqrt{400 \text{ s}^{-2}} \\ &= 20 \text{ rad/s} \end{aligned}

La pulsation propre de l'oscillateur non amorti est \(\omega_0 = 20 \text{ rad/s}\).

2. Calcul du Coefficient d'Amortissement \(\gamma\)

Le coefficient d'amortissement \(\gamma\) quantifie l'importance de la force de frottement par rapport à l'inertie du système. Il est défini par \(\gamma = \frac{b}{2m}\).

Données : \(b = 2.0 \text{ kg/s}\), \(m = 0.50 \text{ kg}\).

\begin{aligned} \gamma &= \frac{b}{2m} \\ &= \frac{2.0 \text{ kg/s}}{2 \times 0.50 \text{ kg}} \\ &= \frac{2.0 \text{ kg/s}}{1.0 \text{ kg}} \\ &= 2.0 \text{ s}^{-1} \end{aligned}

L'unité de \(\gamma\) est l'inverse d'un temps, cohérente avec son rôle dans le terme \(e^{-\gamma t}\).

Le coefficient d'amortissement est \(\gamma = 2.0 \text{ s}^{-1}\).

3. Détermination du Régime des Oscillations

Le régime des oscillations (pseudo-périodique, critique, ou sur-amorti) dépend de la comparaison entre le coefficient d'amortissement \(\gamma\) et la pulsation propre \(\omega_0\).

Si \(\gamma < \omega_0\) : Régime pseudo-périodique (oscillations amorties).
Si \(\gamma = \omega_0\) : Régime critique (retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation).
Si \(\gamma > \omega_0\) : Régime sur-amorti (ou apériodique) (retour lent à l'équilibre sans oscillation).

On compare les valeurs calculées : \(\gamma = 2.0 \text{ s}^{-1}\) et \(\omega_0 = 20 \text{ rad/s}\).

Comparaison :

\(\gamma = 2.0 \text{ s}^{-1}\)

\(\omega_0 = 20 \text{ rad/s}\)

Clairement, \(\gamma < \omega_0\) (puisque \(2 < 20\)).

Puisque \(\gamma < \omega_0\) (\(2.0 \text{ s}^{-1} < 20 \text{ rad/s}\)), le système est en régime pseudo-périodique (amortissement faible).

Quiz Intermédiaire : Régimes d'Amortissement

4. Calcul de la Pseudo-Pulsation \(\omega_d\)

Dans le régime pseudo-périodique (\(\gamma < \omega_0\)), les oscillations se produisent avec une pseudo-pulsation \(\omega_d\) qui est légèrement inférieure à la pulsation propre \(\omega_0\). La formule est \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\).

Données : \(\omega_0 = 20 \text{ rad/s}\), \(\gamma = 2.0 \text{ s}^{-1}\).

\begin{aligned} \omega_d &= \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} \\ &= \sqrt{(20 \text{ rad/s})^2 - (2.0 \text{ s}^{-1})^2} \\ &= \sqrt{400 - 4} \text{ rad/s} \\ &= \sqrt{396} \text{ rad/s} \\ &\approx 19.8997 \text{ rad/s} \end{aligned}

En arrondissant : \(\omega_d \approx 19.9 \text{ rad/s}\).

La pseudo-pulsation des oscillations est \(\omega_d \approx 19.9 \text{ rad/s}\).

5. Calcul de la Pseudo-Période \(T_d\)

La pseudo-période \(T_d\) est le temps entre deux passages successifs de l'oscillateur par sa position d'équilibre dans le même sens, ou entre deux maxima successifs de l'élongation. Elle est liée à la pseudo-pulsation \(\omega_d\) par la relation \(T_d = \frac{2\pi}{\omega_d}\).

Donnée : \(\omega_d \approx 19.8997 \text{ rad/s}\).

\begin{aligned} T_d &= \frac{2\pi}{\omega_d} \\ &\approx \frac{2\pi}{19.8997 \text{ rad/s}} \\ &\approx \frac{6.283185}{19.8997} \text{ s} \\ &\approx 0.31574 \text{ s} \end{aligned}

En arrondissant : \(T_d \approx 0.316 \text{ s}\).

La pseudo-période des oscillations est \(T_d \approx 0.316 \text{ s}\).

6. Expression de l'Élongation \(x(t)\)

La solution générale pour un régime pseudo-périodique est \(x(t) = X_m e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi)\). Nous devons déterminer l'amplitude initiale \(X_m\) et la phase à l'origine \(\phi\) à partir des conditions initiales : à \(t=0\), \(x(0) = x_0 = 0.10 \text{ m}\) et \(\dot{x}(0) = v_0 = 0 \text{ m/s}\). L'expression de la vitesse est \(\dot{x}(t) = -X_m \gamma e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi) - X_m \omega_d e^{-\gamma t} \sin(\omega_d t + \phi)\).

Application des conditions initiales :

À \(t=0\), \(x(0) = X_m e^0 \cos(\phi) = X_m \cos(\phi)\).

X_m \cos(\phi) = x_0 = 0.10 \text{ m} \quad (1)

À \(t=0\), \(\dot{x}(0) = -X_m \gamma e^0 \cos(\phi) - X_m \omega_d e^0 \sin(\phi) = -X_m \gamma \cos(\phi) - X_m \omega_d \sin(\phi)\).

-X_m \gamma \cos(\phi) - X_m \omega_d \sin(\phi) = v_0 = 0 \quad (2)

En utilisant (1) dans (2) :

\begin{aligned} -\gamma x_0 - X_m \omega_d \sin(\phi) &= 0 \\ X_m \omega_d \sin(\phi) &= -\gamma x_0 \end{aligned}

Nous avons un système de deux équations :

(1) \(X_m \cos(\phi) = x_0\)

(3) \(X_m \sin(\phi) = -\frac{\gamma x_0}{\omega_d}\)

En divisant (3) par (1) (si \(x_0 \neq 0\)) :

\begin{aligned} \tan(\phi) &= \frac{-(\gamma x_0)/\omega_d}{x_0} = -\frac{\gamma}{\omega_d} \\ &\approx -\frac{2.0 \text{ s}^{-1}}{19.8997 \text{ rad/s}} \approx -0.1005 \end{aligned} \] \[ \phi = \arctan(-0.1005) \approx -0.1001 \text{ rad} \quad (\text{ou } \approx -5.73^\circ)

Pour trouver \(X_m\), on peut élever au carré et additionner (1) et (3) :

\begin{aligned} X_m^2 (\cos^2\phi + \sin^2\phi) &= x_0^2 + \left(-\frac{\gamma x_0}{\omega_d}\right)^2 \\ X_m^2 &= x_0^2 \left(1 + \frac{\gamma^2}{\omega_d^2}\right) \\ X_m &= |x_0| \sqrt{1 + \frac{\gamma^2}{\omega_d^2}} \quad (\text{on prend } X_m > 0) \\ &= 0.10 \text{ m} \sqrt{1 + \frac{(2.0)^2}{(19.8997)^2}} \\ &= 0.10 \text{ m} \sqrt{1 + \frac{4}{396}} \\ &= 0.10 \text{ m} \sqrt{1 + 0.0101} \\ &= 0.10 \text{ m} \sqrt{1.0101} \approx 0.10 \times 1.0050 \\ &\approx 0.1005 \text{ m} \end{aligned}

Vérifions \(\cos(\phi)\). Puisque \(x_0 > 0\) et \(X_m > 0\), \(\cos(\phi)\) doit être positif. \(\phi \approx -0.1 \text{ rad}\) est dans le 4ème quadrant, où le cosinus est positif.

L'élongation est \(x(t) \approx 0.1005 e^{-2t} \cos(19.9 t - 0.1001)\) (avec \(t\) en s, \(x\) en m).

7. Amplitude après une Pseudo-Période et Rapport des Amplitudes

L'amplitude des oscillations est donnée par \(A_{env}(t) = X_m e^{-\gamma t}\). Nous voulons calculer l'amplitude à \(t = T_d \approx 0.31574 \text{ s}\). L'amplitude initiale (enveloppe à \(t=0\)) est \(X_m \approx 0.1005 \text{ m}\).

Amplitude à \(t=T_d\) :

\begin{aligned} A_{env}(T_d) &= X_m e^{-\gamma T_d} \\ &\approx (0.1005 \text{ m}) \times e^{-(2.0 \text{ s}^{-1}) \times (0.31574 \text{ s})} \\ &\approx (0.1005 \text{ m}) \times e^{-0.63148} \\ &\approx (0.1005 \text{ m}) \times 0.5318 \\ &\approx 0.05345 \text{ m} \end{aligned}

Rapport entre cette amplitude et l'amplitude initiale \(X_m\) :

\begin{aligned} \frac{A_{env}(T_d)}{X_m} &= e^{-\gamma T_d} \\ &\approx e^{-0.63148} \\ &\approx 0.5318 \end{aligned}

Cela signifie que l'amplitude a diminué à environ 53.2% de sa valeur \(X_m\) après une pseudo-période.

L'amplitude après une pseudo-période est \(A_{env}(T_d) \approx 0.0535 \text{ m}\). Le rapport \(\frac{A_{env}(T_d)}{X_m} \approx 0.532\).

Glossaire des Termes Clés

Oscillateur Harmonique :

Système qui, lorsqu'il est écarté de sa position d'équilibre, subit une force de rappel proportionnelle à l'écartement. Son mouvement est sinusoïdal en l'absence d'amortissement.

Oscillations Amorties :

Oscillations dont l'amplitude diminue au cours du temps en raison de forces dissipatives (frottements).

Pulsation Propre (\(\omega_0\)) :

Pulsation (vitesse angulaire) naturelle des oscillations d'un système en l'absence d'amortissement et de forçage. \(\omega_0 = \sqrt{k/m}\) pour un système masse-ressort. Unité : rad/s.

Coefficient d'Amortissement (\(\gamma\)) :

Paramètre qui caractérise l'intensité de l'amortissement dans un système oscillant. \(\gamma = b/(2m)\). Unité : s\(^{-1}\).

Régime Pseudo-Périodique :

Régime d'oscillations amorties où le système oscille avec une amplitude décroissante. Se produit lorsque \(\gamma < \omega_0\).

Pseudo-Pulsation (\(\omega_d\)) :

Pulsation des oscillations dans un régime pseudo-périodique. \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\).

Pseudo-Période (\(T_d\)) :

Durée d'une oscillation complète dans un régime pseudo-périodique. \(T_d = 2\pi/\omega_d\).

Régime Critique :

Régime d'amortissement où le système retourne à sa position d'équilibre le plus rapidement possible sans osciller. Se produit lorsque \(\gamma = \omega_0\).

Régime Sur-Amorti (Apériodique) :

Régime d'amortissement où le système retourne lentement à sa position d'équilibre sans osciller. Se produit lorsque \(\gamma > \omega_0\).

Amplitude (\(X_m e^{-\gamma t}\)) :

Valeur maximale de l'élongation lors d'une oscillation. Dans les oscillations amorties, elle décroît exponentiellement avec le temps.

Phase à l'origine (\(\phi\)) :

Constante qui détermine la position et la vitesse initiales de l'oscillateur dans la solution cosinusoïdale.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment l'énergie mécanique totale d'un oscillateur amorti évolue-t-elle au cours du temps ? Quelle est la cause de cette évolution ?

2. Qu'est-ce que le facteur de qualité \(Q\) d'un oscillateur amorti et comment est-il lié au coefficient d'amortissement \(\gamma\) et à la pulsation propre \(\omega_0\) ?

3. Donner des exemples concrets de systèmes physiques qui se comportent comme des oscillateurs harmoniques amortis dans la vie courante ou en ingénierie.

4. Si un oscillateur amorti est soumis à une force excitatrice sinusoïdale, on parle d'oscillations forcées. Que se passe-t-il lorsque la fréquence de la force excitatrice est proche de la pulsation propre de l'oscillateur (phénomène de résonance) ? Comment l'amortissement affecte-t-il la résonance ?

5. Comment peut-on déterminer expérimentalement les valeurs de \(\gamma\) et \(\omega_d\) à partir de l'enregistrement de \(x(t)\) ? (Penser au décrément logarithmique).

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