Exercices Physique Chimie

Analyse des Oscillations Amorties d’un Système

Analyse des Oscillations Amorties

Analyse des Oscillations Amorties d’un Système Masse-Ressort

Contexte : L'amortissement dans les systèmes mécaniques.

Nous étudions un système oscillant fondamental en physique, composé d'une masse, d'un ressort et d'un amortisseur. Ce modèle est crucial pour comprendre de nombreux phénomènes et technologies, comme la suspension d'un véhicule, l'isolation sismique des bâtiments ou même certains circuits électriques (RLC). L'objectif est d'analyser comment l'énergie du système se dissipe à cause des forces de frottement, modélisées ici par l'amortisseur, et comment cela influence la nature de l'oscillation.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un système physique par une équation différentielle du second ordre et à interpréter sa solution en fonction des paramètres physiques du système, notamment le facteur d'amortissementGrandeur sans dimension qui caractérise la dissipation d'énergie dans un système oscillant..

Objectifs Pédagogiques

  • Établir l'équation différentielle du mouvement d'un oscillateur harmonique amorti.
  • Identifier les grandeurs caractéristiques : pulsation propre et facteur d'amortissement.
  • Distinguer et caractériser les différents régimes d'amortissement (pseudo-périodique, critique, apériodique).
  • Calculer la pseudo-période et le décrément logarithmique pour le régime pseudo-périodique.

Données de l'étude

On considère un système mécanique constitué d'une masse \(m\) attachée à un ressort de constante de raideur \(k\) et à un amortisseur exerçant une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse, de coefficient \(c\). La masse peut se déplacer horizontalement sans frottement sur son support. On écarte la masse de sa position d'équilibre de \(x_0 = 10 \text{ cm}\) et on la lâche sans vitesse initiale.

Schéma du système
Système Masse-Ressort-Amortisseur
m k c x 0
Grandeur Symbole Valeur Unité
Masse \(m\) 250 kg
Constante de raideur \(k\) 40000 N/m

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation propre \(\omega_0\) et la période propre \(T_0\) du système (en l'absence d'amortissement).
  2. Établir l'équation différentielle du mouvement de la masse \(m\) en fonction de son élongation \(x(t)\).
  3. On fixe le coefficient d'amortissement à \(c = 2000 \text{ N.s/m}\). Calculer le facteur d'amortissement \(\zeta\), déterminer la nature du régime, et calculer la pseudo-période \(T\) des oscillations.
  4. Calculer la valeur \(c_{\text{crit}}\) du coefficient d'amortissement qui correspond au régime critique. Quelle est la particularité de ce régime ?
  5. Pour le cas de la question 3, calculer le décrément logarithmique \(\delta\). En déduire le rapport entre l'amplitude de la première oscillation et celle de la deuxième.

Les bases sur les Oscillations Amorties

Un oscillateur est dit "amorti" lorsque des forces dissipatives (comme les frottements) s'opposent à son mouvement, entraînant une diminution progressive de l'amplitude des oscillations.

1. Forces en jeu
Dans notre système, trois forces agissent sur la masse selon l'axe horizontal :

  • La force de rappel du ressort : \(\vec{F}_k = -k \cdot x \cdot \vec{u}_x\)
  • La force d'amortissement : \(\vec{F}_c = -c \cdot v \cdot \vec{u}_x = -c \cdot \frac{dx}{dt} \cdot \vec{u}_x\)
L'application du Principe Fondamental de la Dynamique (deuxième loi de Newton) permet de relier ces forces à l'accélération de la masse.

2. Équation différentielle et grandeurs caractéristiques
L'équation différentielle générale d'un oscillateur amorti est de la forme : \[ \frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0 \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0 \] Où :

  • \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) est la pulsation propre (en rad/s), qui caractérise les oscillations en l'absence d'amortissement.
  • \(\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}\) est le facteur d'amortissement (sans dimension), qui détermine le comportement du système.

Correction : Analyse des Oscillations Amorties d’un Système Masse-Ressort

Question 1 : Calcul de la pulsation propre \(\omega_0\) et de la période propre \(T_0\).

Principe

Les grandeurs "propres" (\(\omega_0\), \(T_0\)) décrivent le comportement intrinsèque du système masse-ressort, c'est-à-dire comment il "aimerait" osciller naturellement s'il n'y avait aucune force de frottement pour le freiner. Elles représentent la signature vibratoire du système.

Mini-Cours

La pulsation propre \(\omega_0\) est une vitesse angulaire qui indique la rapidité de l'oscillation. La période propre \(T_0\) est la durée d'un cycle complet d'oscillation. Ces deux grandeurs sont inversement proportionnelles et ne dépendent que des caractéristiques inertielles (masse \(m\)) et élastiques (raideur \(k\)) du système.

Remarque Pédagogique

Il est toujours judicieux de commencer par calculer ces grandeurs. Elles servent de référence pour toute l'analyse. Comprendre comment \(m\) et \(k\) influencent \(T_0\) est fondamental : une masse plus lourde ou un ressort plus souple ralentissent l'oscillation (augmentent \(T_0\)).

Normes

Ce calcul s'inscrit dans le cadre du modèle de l'oscillateur harmonique simple, un pilier de la physique. En ingénierie (par exemple, en génie parasismique), le calcul de la période propre d'un bâtiment est une étape réglementaire cruciale pour évaluer sa réponse à un tremblement de terre.

Formule(s)

Formule de la pulsation propre

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

Formule de la période propre

\[ T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, on se place dans un cas idéal :

  • L'amortisseur est absent (\(c=0\)).
  • Le ressort est parfait (sans masse, suit la loi de Hooke).
  • La masse est considérée comme un point matériel.
Donnée(s)

On utilise les valeurs de l'énoncé pour la masse et la constante de raideur.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse\(m\)250kg
Constante de raideur\(k\)40000N/m
Astuces

Pour vérifier rapidement l'homogénéité de la formule de \(\omega_0\), souvenez-vous que \([k] = M \cdot T^{-2}\) (d'après \(F=kx=ma\)) et \([m]=M\). Le rapport \([k/m]\) est donc bien en \(T^{-2}\), et sa racine en \(T^{-1}\), l'unité d'une pulsation.

Schéma (Avant les calculs)

On représente le système sans l'amortisseur pour visualiser le cas idéal étudié ici.

Système Masse-Ressort non amorti
mk
Calcul(s)

Calcul de la pulsation propre \(\omega_0\)

\[ \begin{aligned} \omega_0 &= \sqrt{\frac{40000}{250}} \\ &= \sqrt{160} \\ &\approx 12.65 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

Calcul de la période propre \(T_0\)

\[ \begin{aligned} T_0 &= \frac{2\pi}{\omega_0} \\ &= \frac{2\pi}{\sqrt{160}} \\ &\approx \frac{6.283}{12.65} \\ &\approx 0.497 \text{ s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le mouvement non amorti est une sinusoïde parfaite, d'amplitude constante et de période \(T_0\).

Oscillation non amortie \(x(t)\)
tx(t)T₀
Réflexions

Sans amortissement, le système effectuerait une oscillation complète toutes les 0.5 secondes environ. Cette valeur est une référence importante pour analyser l'influence de l'amortissement par la suite.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les unités sont dans le Système International avant le calcul : la masse en kg, la raideur en N/m. Une erreur de conversion est très fréquente.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : La pulsation et la période propres (\(\omega_0, T_0\)) caractérisent l'oscillation naturelle d'un système sans frottement.
  • Formules Essentielles : \(\omega_0 = \sqrt{k/m}\) et \(T_0 = 2\pi/\omega_0\).
  • Dépendance : \(T_0\) augmente avec \(m\) et diminue avec \(k\).
Le saviez-vous ?

Le phénomène de résonance, qui a causé l'effondrement spectaculaire du pont de Tacoma Narrows en 1940, se produit lorsqu'une force extérieure excite un système à une fréquence proche de sa fréquence propre. Connaître \(\omega_0\) est donc vital pour la sécurité des structures.

FAQ

Quelle est la différence entre la fréquence \(f_0\) et la pulsation \(\omega_0\) ?

La fréquence \(f_0\) (en Hertz, Hz) compte le nombre d'oscillations par seconde. La pulsation \(\omega_0\) (en radians par seconde) est une vitesse angulaire. Elles sont liées par la relation simple : \(\omega_0 = 2\pi f_0\). Les physiciens préfèrent souvent la pulsation car elle simplifie les équations différentielles.

Résultat Final
La pulsation propre du système est \(\omega_0 \approx 12.65 \text{ rad/s}\) et la période propre est \(T_0 \approx 0.497 \text{ s}\).
A vous de jouer

Quelle serait la nouvelle période propre \(T_0\) si la masse était quadruplée (passant à 1000 kg) ?

Question 2 : Établir l'équation différentielle du mouvement.

Principe

L'équation différentielle est l'expression mathématique qui régit l'évolution du système au cours du temps. On l'obtient en appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) à la masse \(m\), qui fait le lien entre les forces appliquées et le mouvement résultant (l'accélération).

Mini-Cours

Le PFD stipule que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un corps est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération : \(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}\). Dans notre cas, en projetant sur l'axe horizontal, cela devient \(\sum F_x = m \cdot a_x\). Il est crucial de se rappeler que la vitesse est la dérivée de la position (\(v = dx/dt\)) et l'accélération est la dérivée seconde de la position (\(a = d^2x/dt^2\)).

Remarque Pédagogique

La mise en équation est une étape fondamentale de la modélisation en physique. Prenez l'habitude de toujours suivre une méthode rigoureuse : 1. Définir le système et le référentiel. 2. Faire le bilan des forces. 3. Projeter sur un axe bien choisi. 4. Appliquer le PFD.

Normes

Ce type de modélisation est universel et n'est pas régi par une norme spécifique. C'est une application directe des lois de Newton, qui sont le fondement de la mécanique classique.

Formule(s)

Principe Fondamental de la Dynamique

\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a} \]

Lois des forces

\[ \vec{F}_k = -k \cdot x \cdot \vec{u}_x \quad | \quad \vec{F}_c = -c \cdot \vec{v} \]
Hypothèses

On suppose que la force de frottement est de type "fluide" ou "visqueux", c'est-à-dire qu'elle est proportionnelle à la vitesse. C'est une bonne approximation pour des vitesses pas trop élevées dans un fluide comme l'air ou l'huile.

Donnée(s)

Pour cette question, nous travaillons avec les grandeurs littérales.

ParamètreDescription
\(m\)Masse du corps
\(k\)Constante de raideur du ressort
\(c\)Coefficient d'amortissement fluide
Astuces

Pour éviter les erreurs de signe, demandez-vous toujours si la force tend à augmenter ou à diminuer la coordonnée de position \(x\). La force de rappel et la force d'amortissement s'opposent toujours au mouvement ou à l'élongation, elles auront donc un signe négatif dans l'équation finale lorsque \(x\) et \(v\) sont positifs.

Schéma (Avant les calculs)

Un diagramme du corps libre (ou bilan des forces) est essentiel pour visualiser toutes les forces agissant sur la masse à un instant \(t\) où \(x>0\) et \(v>0\).

Bilan des forces sur la masse \(m\)
mFkFc
Calcul(s)

Application du PFD

\[ \sum F_x = m \cdot a_x \]

Projection des forces

\[ -kx - c\frac{dx}{dt} = m\frac{d^2x}{dt^2} \]

Forme canonique de l'équation

\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0 \]
Schéma (Après les calculs)

L'équation différentielle peut être représentée par un schéma-bloc, illustrant les relations de cause à effet entre la position, la vitesse, l'accélération et les forces.

Schéma-bloc du système
+-Fext1/m∫dta(t)∫dtv(t)x(t)kc
Réflexions

Cette équation est une équation différentielle linéaire, homogène, du second ordre et à coefficients constants. Elle est l'un des modèles les plus importants en physique. Sa solution \(x(t)\) décrit entièrement le comportement du système en fonction de ses conditions initiales (position et vitesse de départ).

Points de vigilance

Les signes des forces sont cruciaux. Une erreur de signe sur la force de rappel ou d'amortissement change complètement la nature de la solution : au lieu de s'amortir, le système divergerait de manière explosive, ce qui n'est pas physique pour ce problème.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Le PFD est l'outil pour passer du monde physique (forces) au monde mathématique (équation).
  • Forme Canonique : L'équation \(m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0\) est la forme standard à retenir.
  • Signification : Chaque terme représente une force : inertie (\(m\ddot{x}\)), amortissement (\(c\dot{x}\)), rappel (\(kx\)).
Le saviez-vous ?

Cette même équation différentielle décrit le comportement d'un circuit électrique RLC série. La masse \(m\) est l'analogue de l'inductance \(L\), le coefficient de frottement \(c\) est l'analogue de la résistance \(R\), et la raideur \(k\) est l'analogue de l'inverse de la capacité \(1/C\). Cette analogie électromécanique est extrêmement puissante.

FAQ

Pourquoi la force d'amortissement est-elle proportionnelle à la vitesse et pas, par exemple, au carré de la vitesse ?

La force de frottement proportionnelle à la vitesse (amortissement visqueux) modélise bien les écoulements lents et laminaires. Pour des vitesses plus élevées, des turbulences apparaissent et la force devient plutôt proportionnelle au carré de la vitesse. Le modèle linéaire est choisi ici car il mène à une équation différentielle simple à résoudre.

Résultat Final
L'équation différentielle du mouvement est : \(m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0\).
A vous de jouer

Comment l'équation changerait-elle si une force constante \(F_0\) (comme le vent) poussait la masse vers la droite ?

Question 3 : Analyser le régime pour \(c = 2000 \text{ N.s/m}\).

Principe

Le facteur d'amortissement \(\zeta\) est le paramètre clé qui nous renseigne sur le comportement du système. En fonction de sa valeur par rapport à 1, le système oscillera en perdant de l'amplitude (pseudo-périodique), ou reviendra à l'équilibre sans osciller (critique ou apériodique).

Mini-Cours

Il existe trois régimes d'amortissement :

  • Pseudo-périodique (\(\zeta < 1\)) : L'oscillateur oscille, mais son amplitude décroît exponentiellement. C'est le cas d'une balançoire qui s'arrête progressivement.
  • Critique (\(\zeta = 1\)) : L'oscillateur revient le plus rapidement possible à l'équilibre, sans le dépasser. C'est le cas idéal pour une suspension de voiture.
  • Apériodique (\(\zeta > 1\)) : L'oscillateur revient à l'équilibre sans osciller, mais plus lentement que le régime critique. C'est le cas d'une porte équipée d'un ferme-porte.

Remarque Pédagogique

Le calcul de \(\zeta\) est la première chose à faire après avoir établi l'équation. C'est un réflexe à acquérir, car il vous donne immédiatement une vision qualitative du mouvement avant même de résoudre l'équation.

Normes

Pas de norme applicable ici. Le choix du régime (et donc de \(\zeta\)) est une décision de conception en ingénierie, qui dépend de l'application visée (confort, rapidité, stabilité...).

Formule(s)

Formule du facteur d'amortissement

\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}} \]

Formule de la pseudo-période

\[ T = \frac{T_0}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \]
Donnée(s)

On ajoute la valeur du coefficient d'amortissement aux données précédentes.

ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient d'amortissement\(c\)2000N.s/m
Masse\(m\)250kg
Constante de raideur\(k\)40000N/m
Période propre\(T_0\)0.497s
Astuces

La pseudo-période \(T\) est toujours plus grande que la période propre \(T_0\). L'amortissement "ralentit" les oscillations. Si vous trouvez \(T < T_0\), vous avez probablement fait une erreur de calcul.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser sur un axe la valeur de \(\zeta\) par rapport à la valeur critique de 1 pour anticiper le résultat.

Positionnement du facteur d'amortissement
01Pseudo-périodiqueCritiqueApériodiqueζ≈0.316
Calcul(s)

Calcul du facteur d'amortissement \(\zeta\)

\[ \begin{aligned} \zeta &= \frac{2000}{2\sqrt{40000 \times 250}} \\ &= \frac{2000}{2\sqrt{10^7}} \\ &= \frac{1000}{\sqrt{10^7}} \\ &\approx \frac{1000}{3162.3} \\ &\approx 0.316 \end{aligned} \]

Détermination du régime

Comme \(\zeta \approx 0.316 < 1\), le système est en régime pseudo-périodique. Il y a des oscillations dont l'amplitude décroît exponentiellement.

Calcul de la pseudo-période \(T\)

\[ \begin{aligned} T &= \frac{T_0}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \\ &= \frac{0.497}{\sqrt{1 - 0.316^2}} \\ &= \frac{0.497}{\sqrt{1 - 0.0998}} \\ &\approx \frac{0.497}{0.949} \\ &\approx 0.524 \text{ s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le graphique de \(x(t)\) pour un régime pseudo-périodique montre bien les oscillations dont l'amplitude est "enveloppée" par une courbe exponentielle décroissante.

Allure de \(x(t)\) en régime pseudo-périodique
tx(t)
Réflexions

La présence de l'amortissement a allongé la période des oscillations (0.524 s contre 0.497 s). C'est un résultat général : les frottements "ralentissent" le mouvement oscillatoire. L'énergie mécanique du système n'est plus conservée, elle est dissipée sous forme de chaleur dans l'amortisseur.

Points de vigilance

Ne confondez pas la pseudo-période \(T\) avec la période propre \(T_0\). \(T_0\) est une caractéristique intrinsèque du couple masse-ressort, tandis que \(T\) dépend aussi de l'amortissement et n'existe que pour \(\zeta < 1\).

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : La valeur de \(\zeta\) par rapport à 1 détermine le régime (pseudo-périodique, critique, apériodique).
  • Formule Essentielle : \(\zeta = c / (2\sqrt{km})\).
  • Conséquence : Pour \(\zeta < 1\), les oscillations sont ralenties : \(T > T_0\).
Le saviez-vous ?

Dans les instruments de musique à cordes ou les cloches, on recherche un amortissement faible (\(\zeta \ll 1\)) pour que le son dure longtemps. L'énergie est dissipée très lentement, principalement sous forme d'onde sonore.

FAQ

Pourquoi la période augmente-t-elle avec l'amortissement ?

Intuitivement, la force de frottement s'oppose en permanence au mouvement. Elle freine la masse à chaque instant, ce qui l'empêche d'atteindre sa vitesse maximale et donc de parcourir un cycle aussi rapidement que si elle était libre. Le "voyage" aller-retour prend plus de temps.

Résultat Final
Pour \(c=2000 \text{ N.s/m}\), le facteur d'amortissement est \(\zeta \approx 0.316\). Le régime est pseudo-périodique avec une pseudo-période \(T \approx 0.524 \text{ s}\).
A vous de jouer

Si le coefficient d'amortissement était de \(c=6000 \text{ N.s/m}\), quel serait le nouveau facteur d'amortissement \(\zeta\) ?

Question 4 : Calculer \(c_{\text{crit}}\) et décrire le régime critique.

Principe

Le régime critique est un cas particulier très important en ingénierie. Il représente la limite entre le comportement oscillant et le comportement non-oscillant. C'est le régime qui permet au système de revenir le plus rapidement possible à sa position d'équilibre, sans la dépasser.

Mini-Cours

Mathématiquement, le régime critique correspond au cas où le discriminant de l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle est nul. Cela signifie que l'équation a une racine réelle double, ce qui conduit à une solution de la forme \(x(t) = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}\). C'est la présence du terme en \(t\) qui assure le retour rapide sans oscillation.

Remarque Pédagogique

Le régime critique est souvent un optimum de conception. Pensez à la suspension d'une voiture : on veut qu'elle absorbe un nid-de-poule le plus vite possible (donc pas apériodique, qui est trop lent) mais sans rebondir plusieurs fois (donc pas pseudo-périodique, qui est inconfortable).

Normes

Il n'y a pas de norme universelle, mais des cahiers des charges. Par exemple, pour les bras robotiques ou les portes automatiques, les spécifications imposent souvent un temps de retour à l'équilibre inférieur à une certaine valeur sans dépassement, ce qui conduit à viser un amortissement proche du critique.

Formule(s)

Condition du régime critique

\[ \zeta = 1 \Rightarrow \frac{c_{\text{crit}}}{2\sqrt{km}} = 1 \Rightarrow c_{\text{crit}} = 2\sqrt{km} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que précédemment : le modèle linéaire reste valide.

Donnée(s)

On utilise les valeurs de \(m\) et \(k\) de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse\(m\)250kg
Constante de raideur\(k\)40000N/m
Astuces

Vous pouvez calculer \(c_{\text{crit}}\) directement à partir de la pulsation propre via la formule \(c_{\text{crit}} = 2m\omega_0\). C'est parfois plus rapide si vous avez déjà calculé \(\omega_0\).

Schéma (Avant les calculs)

Le régime critique est la frontière entre les deux autres régimes. Il ne présente aucune oscillation.

Comparaison des régimes
tx(t)Pseudo-périodiqueCritiqueApériodique
Calcul(s)

Calcul du coefficient d'amortissement critique

\[ \begin{aligned} c_{\text{crit}} &= 2\sqrt{km} \\ &= 2\sqrt{40000 \times 250} \\ &= 2\sqrt{10^7} \\ &\approx 6324.6 \text{ N.s/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

La courbe du régime critique part de la position initiale et tend vers zéro le plus rapidement possible, sans jamais la dépasser.

Allure de \(x(t)\) en régime critique
tx(t)x₀
Réflexions

Cette valeur de \(c_{\text{crit}}\) est cruciale dans la conception des systèmes amortis. Si \(c\) est inférieur à cette valeur, le système oscillera. S'il est supérieur, le retour à l'équilibre sera plus lent. C'est donc une valeur de référence pour le dimensionnement de l'amortisseur.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre le régime critique (retour le plus rapide SANS oscillation) et le régime non-amorti (oscillation la plus rapide, mais qui ne s'arrête jamais).

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Le régime critique est le retour à l'équilibre le plus rapide sans dépassement.
  • Condition : Il est atteint pour \(\zeta = 1\).
  • Formule : \(c_{\text{crit}} = 2\sqrt{km} = 2m\omega_0\).
Le saviez-vous ?

Les anciens lecteurs de disques vinyles utilisaient souvent un bras de lecture avec un amortissement proche du critique pour qu'il se pose sur le disque rapidement et sans rebondir, ce qui aurait pu endommager le disque ou la cellule de lecture.

FAQ

Est-il facile de réaliser un amortissement parfaitement critique en pratique ?

Non, c'est très difficile. Les paramètres \(m\), \(c\), et \(k\) ont toujours de petites incertitudes et peuvent varier avec la température ou l'usure. En pratique, les ingénieurs visent donc souvent un régime légèrement sous-amorti (\(\zeta\) juste en dessous de 1) pour garantir qu'il n'y ait pas de lenteur excessive (comportement apériodique).

Résultat Final
L'amortissement critique est atteint pour \(c_{\text{crit}} \approx 6324.6 \text{ N.s/m}\). Ce régime assure le retour à l'équilibre le plus rapide possible sans aucune oscillation.
A vous de jouer

Pour la masse de 250 kg et le ressort de 40000 N/m, si on choisit un coefficient \(c = 10000 \text{ N.s/m}\), quel sera le régime ?

Question 5 : Calculer le décrément logarithmique \(\delta\).

Principe

Le décrément logarithmique est une mesure de la vitesse à laquelle les oscillations sont amorties. Il quantifie la réduction relative de l'amplitude d'une oscillation à la suivante. Une valeur élevée signifie que l'amortissement est fort et que les oscillations disparaissent rapidement.

Mini-Cours

L'amplitude d'un oscillateur pseudo-périodique décroît selon une enveloppe exponentielle de la forme \(A(t) = A_0 e^{-\zeta\omega_0 t}\). Le décrément logarithmique \(\delta\) est directement lié à l'exposant de cette décroissance. Il représente la "perte" logarithmique d'amplitude sur une pseudo-période \(T\).

Remarque Pédagogique

Le décrément est très pratique en expérimentation. Il n'est pas nécessaire de connaître \(m\), \(c\) ou \(k\). Il suffit d'enregistrer le mouvement, de mesurer l'amplitude de deux pics consécutifs \(A_1\) et \(A_2\), et de calculer \(\delta = \ln(A_1/A_2)\). On peut ainsi caractériser l'amortissement d'un système complexe.

Normes

En ingénierie des matériaux, la mesure du décrément logarithmique est une technique standard (analyse mécanique dynamique) pour caractériser la capacité d'un matériau à dissiper l'énergie (son "amortissement interne").

Formule(s)

Définition du décrément logarithmique

\[ \delta = \ln\left(\frac{x(t)}{x(t+T)}\right) = \frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} \]
Hypothèses

Ce calcul n'a de sens que si le système est en régime pseudo-périodique (\(\zeta < 1\)), car il faut qu'il y ait des oscillations et des "pics" d'amplitude à mesurer.

Donnée(s)

On réutilise la valeur du facteur d'amortissement calculée à la question 3.

ParamètreSymboleValeurUnité
Facteur d'amortissement\(\zeta\)0.316(sans)
Astuces

Pour un amortissement faible (\(\zeta \ll 1\)), on peut utiliser l'approximation \(\sqrt{1-\zeta^2} \approx 1\), ce qui simplifie la formule en \(\delta \approx 2\pi\zeta\). Dans notre cas, \(\zeta \approx 0.316\) n'est pas assez petit pour que cette approximation soit précise, il faut utiliser la formule complète.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre les deux amplitudes successives dont on calcule le rapport.

Mesure des amplitudes successives
A₁A₂
Calcul(s)

Calcul du décrément logarithmique \(\delta\)

\[ \begin{aligned} \delta &= \frac{2\pi \times 0.316}{\sqrt{1-0.316^2}} \\ &\approx \frac{1.986}{0.949} \\ &\approx 2.09 \end{aligned} \]

Calcul du rapport des amplitudes

\[ \begin{aligned} \frac{x(t)}{x(t+T)} &= e^\delta \\ &= e^{2.09} \\ &\approx 8.08 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme en barres représente visuellement le rapport entre la première et la deuxième amplitude, illustrant la forte décroissance.

Rapport des amplitudes A₁ / A₂
A₁A₂≈ 8x
Réflexions

Ce résultat signifie que l'amplitude de chaque oscillation est environ 8 fois plus petite que celle de l'oscillation précédente. L'amortissement est donc assez efficace, l'amplitude diminue très rapidement. Après seulement deux oscillations, l'amplitude sera réduite d'un facteur \(8 \times 8 = 64\).

Points de vigilance

Attention à bien utiliser le logarithme népérien (ln) et non le logarithme décimal (log). De plus, le rapport est bien celui de l'amplitude à un instant \(t\) sur celle à l'instant \(t+T\) (la plus grande sur la plus petite), pour que \(\delta\) soit positif.

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Le décrément logarithmique \(\delta\) mesure la décroissance relative de l'amplitude par oscillation.
  • Formule Essentielle : \(\delta = \ln(A_n / A_{n+1})\).
  • Lien avec \(\zeta\) : \(\delta = 2\pi\zeta / \sqrt{1-\zeta^2}\).
Le saviez-vous ?

Le concept de décrément logarithmique est utilisé pour quantifier la qualité d'un résonateur, comme un diapason ou un cristal de quartz. Un "facteur de qualité" \(Q\) est défini, et pour un faible amortissement, il est approximativement égal à \(Q \approx \pi/\delta\). Un \(Q\) élevé signifie un amortissement très faible et des oscillations qui durent très longtemps.

FAQ

Le décrément logarithmique est-il constant au cours du temps ?

Oui. Comme le rapport des amplitudes successives \(A_n/A_{n+1}\) est constant (\(e^\delta\)), son logarithme \(\delta\) est également constant. La décroissance est dite "homothétique" : la courbe se reproduit à l'identique à chaque pseudo-période, mais en plus petit.

Résultat Final
Le décrément logarithmique est \(\delta \approx 2.09\). L'amplitude de la première oscillation est environ 8.08 fois plus grande que celle de la seconde.
A vous de jouer

Quel serait le rapport entre l'amplitude de la première oscillation et celle de la troisième ? (Indice : \(A_1/A_3 = (A_1/A_2) \times (A_2/A_3)\))

Outil Interactif : Simulateur d'Oscillateur Amorti

Utilisez les curseurs pour faire varier la masse et le coefficient d'amortissement. Observez en temps réel l'influence de ces paramètres sur le régime de l'oscillateur et sur la forme de sa réponse temporelle. La constante de raideur est fixée à \(k=40000 \text{ N/m}\).

Paramètres d'Entrée
250 kg
2000 N.s/m
Résultats Clés
Pulsation propre (\(\omega_0\)) - rad/s
Facteur d'amortissement (\(\zeta\)) -
Régime -
Pseudo-période (\(T\)) - s

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente le coefficient d'amortissement \(c\) (en restant dans le régime pseudo-périodique), que devient la pseudo-période \(T\) ?

2. Quelle est la valeur du facteur d'amortissement \(\zeta\) pour un régime critique ?

3. Quelle force est responsable de la diminution de l'amplitude des oscillations ?

4. Un système en régime apériodique...

5. La pulsation propre \(\omega_0\) dépend de :

Glossaire

Pulsation Propre (\(\omega_0\))
Vitesse angulaire (en rad/s) à laquelle un système oscillerait en l'absence de toute force d'amortissement. Elle ne dépend que de la masse et de la raideur du système.
Facteur d'Amortissement (\(\zeta\))
Nombre sans dimension qui décrit la rapidité avec laquelle les oscillations d'un système s'atténuent. Il détermine le régime de l'oscillateur.
Régime Pseudo-périodique
Régime obtenu pour \(\zeta < 1\). Le système oscille, mais son amplitude diminue de façon exponentielle au fil du temps.
Régime Critique
Régime obtenu pour \(\zeta = 1\). Le système revient à sa position d'équilibre le plus rapidement possible, sans effectuer la moindre oscillation.
Décrément Logarithmique (\(\delta\))
Mesure de la décroissance de l'amplitude des oscillations en régime pseudo-périodique. C'est le logarithme naturel du rapport de deux amplitudes successives.
Analyse des Oscillations Amorties d’un Système Masse-Ressort
Analyse des Oscillations Amorties d'un Système

Analyse des Oscillations Amorties d'un Système

Étudier le mouvement d'un oscillateur harmonique amorti et déterminer ses caractéristiques principales.

Les oscillations amorties sont des oscillations dont l'amplitude diminue au cours du temps en raison de forces dissipatives, comme les frottements. Un système masse-ressort auquel on ajoute un amortisseur est un exemple classique d'oscillateur harmonique amorti.

L'équation différentielle du mouvement d'un oscillateur harmonique amorti de masse \(m\), soumis à une force de rappel élastique de constante de raideur \(k\) et à une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse (coefficient de frottement \(b\)), est donnée par :

\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0 \]

Cette équation peut aussi s'écrire :

\[ \ddot{x} + 2\gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \]

Où :

  • \(x(t)\) est l'élongation (position par rapport à l'équilibre) à l'instant \(t\).
  • \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) est la pulsation propre (ou naturelle) de l'oscillateur non amorti.
  • \(\gamma = \frac{b}{2m}\) est le coefficient d'amortissement.

Pour un amortissement faible (régime pseudo-périodique), la solution est de la forme \(x(t) = X_m e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi)\), où \(\omega_d\) est la pseudo-pulsation, donnée par \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\), et \(X_m e^{-\gamma t}\) est l'amplitude qui décroît exponentiellement.

Données du Problème

On considère un système masse-ressort-amortisseur horizontal.

  • Masse de l'objet (\(m\)) : \(0.50 \text{ kg}\)
  • Constante de raideur du ressort (\(k\)) : \(200 \text{ N/m}\)
  • Coefficient de frottement fluide (\(b\)) : \(2.0 \text{ kg/s}\)
  • À l'instant initial \(t=0\), l'objet est écarté de sa position d'équilibre de \(x_0 = 0.10 \text{ m}\) et lâché sans vitesse initiale (\(v_0 = 0 \text{ m/s}\)).
k m b x 0 x(t)
Système masse-ressort-amortisseur horizontal.

Questions

  1. Calculer la pulsation propre \(\omega_0\) de l'oscillateur non amorti.
  2. Calculer le coefficient d'amortissement \(\gamma\).
  3. Déterminer le régime des oscillations (faiblement amorti, critique, sur-amorti). Justifier.
  4. Dans le cas d'un régime pseudo-périodique, calculer la pseudo-pulsation \(\omega_d\).
  5. Calculer la pseudo-période \(T_d\) des oscillations.
  6. Écrire l'expression de l'élongation \(x(t)\) en fonction du temps, en déterminant l'amplitude initiale \(X_m\) et la phase à l'origine \(\phi\) à partir des conditions initiales. (On rappelle que pour \(x(t) = X_m e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi)\), on a \(\dot{x}(t) = -X_m \gamma e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi) - X_m \omega_d e^{-\gamma t} \sin(\omega_d t + \phi)\)).
  7. Quelle est l'amplitude des oscillations après une pseudo-période (\(t=T_d\)) ? Quel est le rapport entre cette amplitude et l'amplitude initiale \(X_m\) ?

Correction : Analyse des Oscillations Amorties d'un Système

1. Calcul de la Pulsation Propre \(\omega_0\)

La pulsation propre \(\omega_0\) d'un oscillateur harmonique non amorti est déterminée par la masse \(m\) de l'objet et la constante de raideur \(k\) du ressort. La formule est \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\).

Données : \(m = 0.50 \text{ kg}\), \(k = 200 \text{ N/m}\).

\[ \begin{aligned} \omega_0 &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\ &= \sqrt{\frac{200 \text{ N/m}}{0.50 \text{ kg}}} \\ &= \sqrt{400 \text{ s}^{-2}} \\ &= 20 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

La pulsation propre de l'oscillateur non amorti est \(\omega_0 = 20 \text{ rad/s}\).

2. Calcul du Coefficient d'Amortissement \(\gamma\)

Le coefficient d'amortissement \(\gamma\) quantifie l'importance de la force de frottement par rapport à l'inertie du système. Il est défini par \(\gamma = \frac{b}{2m}\).

Données : \(b = 2.0 \text{ kg/s}\), \(m = 0.50 \text{ kg}\).

\[ \begin{aligned} \gamma &= \frac{b}{2m} \\ &= \frac{2.0 \text{ kg/s}}{2 \times 0.50 \text{ kg}} \\ &= \frac{2.0 \text{ kg/s}}{1.0 \text{ kg}} \\ &= 2.0 \text{ s}^{-1} \end{aligned} \]

L'unité de \(\gamma\) est l'inverse d'un temps, cohérente avec son rôle dans le terme \(e^{-\gamma t}\).

Le coefficient d'amortissement est \(\gamma = 2.0 \text{ s}^{-1}\).

3. Détermination du Régime des Oscillations

Le régime des oscillations (pseudo-périodique, critique, ou sur-amorti) dépend de la comparaison entre le coefficient d'amortissement \(\gamma\) et la pulsation propre \(\omega_0\).

  • Si \(\gamma < \omega_0\) : Régime pseudo-périodique (oscillations amorties).
  • Si \(\gamma = \omega_0\) : Régime critique (retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation).
  • Si \(\gamma > \omega_0\) : Régime sur-amorti (ou apériodique) (retour lent à l'équilibre sans oscillation).
On compare les valeurs calculées : \(\gamma = 2.0 \text{ s}^{-1}\) et \(\omega_0 = 20 \text{ rad/s}\).

Comparaison :

\(\gamma = 2.0 \text{ s}^{-1}\)

\(\omega_0 = 20 \text{ rad/s}\)

Clairement, \(\gamma < \omega_0\) (puisque \(2 < 20\)).

Puisque \(\gamma < \omega_0\) (\(2.0 \text{ s}^{-1} < 20 \text{ rad/s}\)), le système est en régime pseudo-périodique (amortissement faible).

Quiz Intermédiaire : Régimes d'Amortissement

Question : Que se passe-t-il si le coefficient d'amortissement \(\gamma\) est beaucoup plus grand que la pulsation propre \(\omega_0\) ?

4. Calcul de la Pseudo-Pulsation \(\omega_d\)

Dans le régime pseudo-périodique (\(\gamma < \omega_0\)), les oscillations se produisent avec une pseudo-pulsation \(\omega_d\) qui est légèrement inférieure à la pulsation propre \(\omega_0\). La formule est \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\).

Données : \(\omega_0 = 20 \text{ rad/s}\), \(\gamma = 2.0 \text{ s}^{-1}\).

\[ \begin{aligned} \omega_d &= \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} \\ &= \sqrt{(20 \text{ rad/s})^2 - (2.0 \text{ s}^{-1})^2} \\ &= \sqrt{400 - 4} \text{ rad/s} \\ &= \sqrt{396} \text{ rad/s} \\ &\approx 19.8997 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

En arrondissant : \(\omega_d \approx 19.9 \text{ rad/s}\).

La pseudo-pulsation des oscillations est \(\omega_d \approx 19.9 \text{ rad/s}\).

5. Calcul de la Pseudo-Période \(T_d\)

La pseudo-période \(T_d\) est le temps entre deux passages successifs de l'oscillateur par sa position d'équilibre dans le même sens, ou entre deux maxima successifs de l'élongation. Elle est liée à la pseudo-pulsation \(\omega_d\) par la relation \(T_d = \frac{2\pi}{\omega_d}\).

Donnée : \(\omega_d \approx 19.8997 \text{ rad/s}\).

\[ \begin{aligned} T_d &= \frac{2\pi}{\omega_d} \\ &\approx \frac{2\pi}{19.8997 \text{ rad/s}} \\ &\approx \frac{6.283185}{19.8997} \text{ s} \\ &\approx 0.31574 \text{ s} \end{aligned} \]

En arrondissant : \(T_d \approx 0.316 \text{ s}\).

La pseudo-période des oscillations est \(T_d \approx 0.316 \text{ s}\).

6. Expression de l'Élongation \(x(t)\)

La solution générale pour un régime pseudo-périodique est \(x(t) = X_m e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi)\). Nous devons déterminer l'amplitude initiale \(X_m\) et la phase à l'origine \(\phi\) à partir des conditions initiales : à \(t=0\), \(x(0) = x_0 = 0.10 \text{ m}\) et \(\dot{x}(0) = v_0 = 0 \text{ m/s}\). L'expression de la vitesse est \(\dot{x}(t) = -X_m \gamma e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi) - X_m \omega_d e^{-\gamma t} \sin(\omega_d t + \phi)\).

Application des conditions initiales :

À \(t=0\), \(x(0) = X_m e^0 \cos(\phi) = X_m \cos(\phi)\).

\[ X_m \cos(\phi) = x_0 = 0.10 \text{ m} \quad (1) \]

À \(t=0\), \(\dot{x}(0) = -X_m \gamma e^0 \cos(\phi) - X_m \omega_d e^0 \sin(\phi) = -X_m \gamma \cos(\phi) - X_m \omega_d \sin(\phi)\).

\[ -X_m \gamma \cos(\phi) - X_m \omega_d \sin(\phi) = v_0 = 0 \quad (2) \]

En utilisant (1) dans (2) :

\[ \begin{aligned} -\gamma x_0 - X_m \omega_d \sin(\phi) &= 0 \\ X_m \omega_d \sin(\phi) &= -\gamma x_0 \end{aligned} \]

Nous avons un système de deux équations :

(1) \(X_m \cos(\phi) = x_0\)

(3) \(X_m \sin(\phi) = -\frac{\gamma x_0}{\omega_d}\)

En divisant (3) par (1) (si \(x_0 \neq 0\)) :

\[ \begin{aligned} \tan(\phi) &= \frac{-(\gamma x_0)/\omega_d}{x_0} = -\frac{\gamma}{\omega_d} \\ &\approx -\frac{2.0 \text{ s}^{-1}}{19.8997 \text{ rad/s}} \approx -0.1005 \end{aligned} \] \[ \phi = \arctan(-0.1005) \approx -0.1001 \text{ rad} \quad (\text{ou } \approx -5.73^\circ) \]

Pour trouver \(X_m\), on peut élever au carré et additionner (1) et (3) :

\[ \begin{aligned} X_m^2 (\cos^2\phi + \sin^2\phi) &= x_0^2 + \left(-\frac{\gamma x_0}{\omega_d}\right)^2 \\ X_m^2 &= x_0^2 \left(1 + \frac{\gamma^2}{\omega_d^2}\right) \\ X_m &= |x_0| \sqrt{1 + \frac{\gamma^2}{\omega_d^2}} \quad (\text{on prend } X_m > 0) \\ &= 0.10 \text{ m} \sqrt{1 + \frac{(2.0)^2}{(19.8997)^2}} \\ &= 0.10 \text{ m} \sqrt{1 + \frac{4}{396}} \\ &= 0.10 \text{ m} \sqrt{1 + 0.0101} \\ &= 0.10 \text{ m} \sqrt{1.0101} \approx 0.10 \times 1.0050 \\ &\approx 0.1005 \text{ m} \end{aligned} \]

Vérifions \(\cos(\phi)\). Puisque \(x_0 > 0\) et \(X_m > 0\), \(\cos(\phi)\) doit être positif. \(\phi \approx -0.1 \text{ rad}\) est dans le 4ème quadrant, où le cosinus est positif.

L'élongation est \(x(t) \approx 0.1005 e^{-2t} \cos(19.9 t - 0.1001)\) (avec \(t\) en s, \(x\) en m).

7. Amplitude après une Pseudo-Période et Rapport des Amplitudes

L'amplitude des oscillations est donnée par \(A_{env}(t) = X_m e^{-\gamma t}\). Nous voulons calculer l'amplitude à \(t = T_d \approx 0.31574 \text{ s}\). L'amplitude initiale (enveloppe à \(t=0\)) est \(X_m \approx 0.1005 \text{ m}\).

Amplitude à \(t=T_d\) :

\[ \begin{aligned} A_{env}(T_d) &= X_m e^{-\gamma T_d} \\ &\approx (0.1005 \text{ m}) \times e^{-(2.0 \text{ s}^{-1}) \times (0.31574 \text{ s})} \\ &\approx (0.1005 \text{ m}) \times e^{-0.63148} \\ &\approx (0.1005 \text{ m}) \times 0.5318 \\ &\approx 0.05345 \text{ m} \end{aligned} \]

Rapport entre cette amplitude et l'amplitude initiale \(X_m\) :

\[ \begin{aligned} \frac{A_{env}(T_d)}{X_m} &= e^{-\gamma T_d} \\ &\approx e^{-0.63148} \\ &\approx 0.5318 \end{aligned} \]

Cela signifie que l'amplitude a diminué à environ 53.2% de sa valeur \(X_m\) après une pseudo-période.

L'amplitude après une pseudo-période est \(A_{env}(T_d) \approx 0.0535 \text{ m}\). Le rapport \(\frac{A_{env}(T_d)}{X_m} \approx 0.532\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Dans un oscillateur harmonique amorti, la pulsation propre \(\omega_0\) dépend :

Question 2 : Un régime d'oscillations est dit "critique" lorsque :

Question 3 : Dans un régime pseudo-périodique, la pseudo-pulsation \(\omega_d\) est :

Question 4 : L'amplitude des oscillations dans un régime pseudo-périodique :

Glossaire des Termes Clés

Oscillateur Harmonique :

Système qui, lorsqu'il est écarté de sa position d'équilibre, subit une force de rappel proportionnelle à l'écartement. Son mouvement est sinusoïdal en l'absence d'amortissement.

Oscillations Amorties :

Oscillations dont l'amplitude diminue au cours du temps en raison de forces dissipatives (frottements).

Pulsation Propre (\(\omega_0\)) :

Pulsation (vitesse angulaire) naturelle des oscillations d'un système en l'absence d'amortissement et de forçage. \(\omega_0 = \sqrt{k/m}\) pour un système masse-ressort. Unité : rad/s.

Coefficient d'Amortissement (\(\gamma\)) :

Paramètre qui caractérise l'intensité de l'amortissement dans un système oscillant. \(\gamma = b/(2m)\). Unité : s\(^{-1}\).

Régime Pseudo-Périodique :

Régime d'oscillations amorties où le système oscille avec une amplitude décroissante. Se produit lorsque \(\gamma < \omega_0\).

Pseudo-Pulsation (\(\omega_d\)) :

Pulsation des oscillations dans un régime pseudo-périodique. \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\).

Pseudo-Période (\(T_d\)) :

Durée d'une oscillation complète dans un régime pseudo-périodique. \(T_d = 2\pi/\omega_d\).

Régime Critique :

Régime d'amortissement où le système retourne à sa position d'équilibre le plus rapidement possible sans osciller. Se produit lorsque \(\gamma = \omega_0\).

Régime Sur-Amorti (Apériodique) :

Régime d'amortissement où le système retourne lentement à sa position d'équilibre sans osciller. Se produit lorsque \(\gamma > \omega_0\).

Amplitude (\(X_m e^{-\gamma t}\)) :

Valeur maximale de l'élongation lors d'une oscillation. Dans les oscillations amorties, elle décroît exponentiellement avec le temps.

Phase à l'origine (\(\phi\)) :

Constante qui détermine la position et la vitesse initiales de l'oscillateur dans la solution cosinusoïdale.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment l'énergie mécanique totale d'un oscillateur amorti évolue-t-elle au cours du temps ? Quelle est la cause de cette évolution ?

2. Qu'est-ce que le facteur de qualité \(Q\) d'un oscillateur amorti et comment est-il lié au coefficient d'amortissement \(\gamma\) et à la pulsation propre \(\omega_0\) ?

3. Donner des exemples concrets de systèmes physiques qui se comportent comme des oscillateurs harmoniques amortis dans la vie courante ou en ingénierie.

4. Si un oscillateur amorti est soumis à une force excitatrice sinusoïdale, on parle d'oscillations forcées. Que se passe-t-il lorsque la fréquence de la force excitatrice est proche de la pulsation propre de l'oscillateur (phénomène de résonance) ? Comment l'amortissement affecte-t-il la résonance ?

5. Comment peut-on déterminer expérimentalement les valeurs de \(\gamma\) et \(\omega_d\) à partir de l'enregistrement de \(x(t)\) ? (Penser au décrément logarithmique).

Analyse des Oscillations Amorties d'un Système

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