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Exercice : Calcul de l'Épaisseur d'un Matelas

Calcul de l'Épaisseur d'un Matelas en Mousse

Contexte : Le choix d'un bon matelas est essentiel pour la qualité du sommeil.

Ce choix, qui semble anodin, repose en réalité sur des principes de physique fondamentaux liés à la mécanique des matériaux. Un matelas doit être suffisamment souple pour épouser la forme du corps et répartir la pression, mais aussi assez ferme pour offrir un bon soutien et ne pas s'affaisser complètement. Dans cet exercice, nous allons appliquer les concepts de pressionLa force exercée perpendiculairement à une surface, divisée par l'aire de cette surface. Unité : Pascal (Pa)., de contrainteForce interne par unité de surface au sein d'un matériau, qui résiste à la déformation. Unité : Pascal (Pa). et de déformationLe changement de forme ou de taille d'un objet dû à une contrainte. C'est une grandeur sans dimension (%). pour déterminer l'épaisseur minimale d'un matelas en mousse afin de garantir un confort optimal à son utilisateur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un problème concret en utilisant les lois de la mécanique des solides déformables. Vous verrez comment une propriété du matériau, le Module de YoungUne mesure de la rigidité d'un matériau. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation en régime élastique. Un module élevé signifie un matériau rigide., permet de prédire son comportement sous une charge donnée.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le poids d'un objet à partir de sa masse.
Appliquer la formule de la pression (ou contrainte) \(P = F/A\).
Comprendre et utiliser la loi de Hooke pour les matériaux élastiques (\(\sigma = E \cdot \varepsilon\)).
Relier la déformation relative (\(\varepsilon\)) à la compression absolue (\(\Delta L\)) et à l'épaisseur initiale (\(L_0\)).
Résoudre un problème pour trouver une dimension minimale à partir de contraintes fonctionnelles.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner un matelas en mousse à mémoire de forme pour une personne. Pour assurer un bon soutien et éviter que l'utilisateur ne sente la structure du lit en dessous, le fabricant impose que l'épaisseur du matelas après compression ne soit jamais inférieure à 5 cm.

Fiche Technique

Modélisation du problème

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de la personne	\(m\)	80	kg
Surface de contact corps-matelas	\(A\)	0,70	m²
Module de Young de la mousse	\(E\)	50	kPa
Intensité de la pesanteur	\(g\)	9,81	N/kg
Épaisseur finale minimale requise	\(L_{f_{\text{min}}}\)	5	cm

Questions à traiter

Calculer le poids (en N) de la personne.
Calculer la contrainte (en Pa, puis en kPa) exercée par la personne sur le matelas.
Calculer la déformation relative (sans unité) de la mousse sous cette contrainte.
Établir la relation littérale donnant l'épaisseur initiale \(L_0\) en fonction de l'épaisseur finale \(L_f\) et de la déformation relative \(\varepsilon\).
En déduire l'épaisseur initiale minimale \(L_0\) (en cm) que le matelas doit avoir pour respecter la contrainte du fabricant.

Les bases sur la Mécanique des Solides

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons les principes de base de la mécanique des solides élastiques. Un matériau est dit "élastique" s'il reprend sa forme initiale après avoir été déformé par une force. La mousse d'un matelas se comporte de manière approximativement élastique.

1. Poids et Pression
Le poids \(P\) est la force gravitationnelle exercée sur un objet de masse \(m\). Il se calcule par \(P = m \cdot g\). Cette force, répartie sur une surface \(A\), crée une pression (ou contrainte normale \(\sigma\)), calculée par : \[ \sigma = \frac{F}{A} = \frac{P}{A} \]

2. Loi de Hooke et Module de Young
La loi de Hooke stipule que pour un matériau élastique, la déformation est proportionnelle à la contrainte. Le coefficient de proportionnalité est le Module de Young, noté \(E\). Il caractérise la rigidité du matériau. La relation est : \[ \sigma = E \cdot \varepsilon \] où \(\varepsilon\) (epsilon) est la déformation relative, un nombre sans dimension. La déformation relative est le rapport entre le changement de longueur (\(\Delta L\)) et la longueur initiale (\(L_0\)) : \[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]

Correction : Calcul de l'Épaisseur d'un Matelas en Mousse

Question 1 : Calculer le poids (en N) de la personne.

Principe

Le poids est la force d'attraction gravitationnelle que la Terre exerce sur un objet. Il ne faut pas le confondre avec la masse, qui est une quantité de matière (scalaire, en kg). Le poids est une force (vecteur, en Newtons (N)).

Mini-Cours

La deuxième loi de Newton relie la force, la masse et l'accélération (\(F=ma\)). Dans le cas du poids, la force est le poids \(P\) et l'accélération est celle de la pesanteur, \(g\). On a donc la relation fondamentale \(P = m \cdot g\).

Remarque Pédagogique

Pensez toujours à vérifier que vos unités sont cohérentes. Ici, la masse est en kg et g en N/kg. Le produit kg * (N/kg) donne bien des Newtons, une unité de force. C'est un bon réflexe pour éviter les erreurs.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme industrielle, mais d'une loi fondamentale de la physique classique, la loi de la gravitation universelle de Newton, appliquée au voisinage de la Terre.

Formule(s)

La relation fondamentale qui lie le poids \(P\) (une force) à la masse \(m\) est :

P = m \cdot g

Hypothèses

Pour ce calcul, on suppose que l'intensité de la pesanteur \(g\) est constante et vaut 9,81 N/kg, ce qui est une excellente approximation à la surface de la Terre.

Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de la personne	\(m\)	80	kg
Intensité de la pesanteur	\(g\)	9,81	N/kg

Astuces

Pour une estimation rapide, on peut arrondir \(g\) à 10 N/kg. Le poids serait alors de \(80 \times 10 = 800\) N. Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre résultat final.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation du Poids

Calcul(s)

Application de la formule du poids

\begin{aligned} P &= 80 \text{ kg} \times 9.81 \text{ N/kg} \\ &= 784.8 \text{ N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Représentation du Poids Calculé

Réflexions

Un poids de 784.8 N correspond à la force qu'il faut exercer pour soulever une masse d'environ 78.5 kg. C'est cette force que le matelas devra supporter.

Points de vigilance

La principale erreur est de confondre la masse (en kg) et le poids (en N). En physique, et particulièrement en mécanique, on travaille toujours avec des forces (donc le poids).

Points à retenir

Pour passer de la masse (kg) au poids (N), on multiplie par \(g\). C'est une étape initiale cruciale dans de nombreux problèmes de mécanique.

Le saviez-vous ?

L'intensité de la pesanteur \(g\) n'est pas la même sur toutes les planètes. Sur la Lune, elle est d'environ 1,62 N/kg, soit 6 fois moins que sur Terre. La même personne de 80 kg aurait un poids de seulement 130 N sur la Lune !

FAQ

Résultat Final

Le poids de la personne est de 784.8 N.

A vous de jouer

Quelle serait le poids, en N, d'une personne de 65 kg sur Terre ?

Question 2 : Calculer la contrainte (en Pa, puis en kPa) exercée par la personne sur le matelas.

Principe

La contrainte, ici équivalente à la pression, représente comment la force (le poids) se répartit sur la surface de contact. Une même force appliquée sur une petite surface crée une grande contrainte (comme la pointe d'une aiguille), tandis que sur une grande surface, la contrainte est faible.

Mini-Cours

En mécanique des solides, la contrainte (symbole \(\sigma\), sigma) est une mesure des forces internes exercées entre les particules d'un corps. Son unité est le Pascal (Pa), qui correspond à un Newton par mètre carré (N/m²). C'est une grandeur fondamentale pour prédire si un matériau va résister ou se déformer.

Remarque Pédagogique

Visualisez la force comme une "pluie" de Newtons tombant sur la surface. La contrainte est la "densité" de cette pluie. Pour que le calcul soit correct, il faut s'assurer que la force est en Newtons et la surface en mètres carrés.

Normes

Ce concept est à la base de toutes les normes de dimensionnement en ingénierie (construction, mécanique...). Par exemple, les Eurocodes en génie civil définissent des contraintes admissibles pour les matériaux comme l'acier ou le béton.

Formule(s)

La contrainte normale \(\sigma\) est le rapport de la force perpendiculaire \(F\) sur l'aire \(A\) sur laquelle elle s'applique.

\sigma = \frac{F}{A}

Hypothèses

On fait l'hypothèse que le poids de la personne est réparti uniformément sur toute la surface de contact \(A\). En réalité, la pression est plus forte sous les hanches et les épaules, mais cette simplification est acceptable pour une première approche.

Donnée(s)

On utilise le poids calculé à la question précédente et la surface de contact donnée.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Force (Poids)	\(F\)	784.8	N
Surface de contact	\(A\)	0,70	m²

Astuces

Le Pascal est une unité très petite. La pression atmosphérique est d'environ 100 000 Pa (ou 100 kPa). Si vous obtenez une valeur de plusieurs millions de Pascals pour un problème de ce type, il y a probablement une erreur d'unité.

Schéma (Avant les calculs)

Répartition de la Force

Calcul(s)

Calcul de la contrainte en N/m²

\begin{aligned} \sigma &= \frac{784.8 \text{ N}}{0.70 \text{ m}^2} \\ &\approx 1121.14 \text{ N/m}^2 \end{aligned}

Conversion en Pascals (Pa)

\sigma \approx 1121.14 \text{ Pa}

Conversion en Kilopascals (kPa)

\begin{aligned} \sigma &\approx \frac{1121.14}{1000} \text{ kPa} \\ &\approx 1.12 \text{ kPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la contrainte

Réflexions

La contrainte de 1.12 kPa est très faible comparée à la pression atmosphérique (environ 101 kPa). C'est normal, le poids du corps est bien réparti. C'est cette faible pression qui procure la sensation de confort.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'utiliser une surface dans une mauvaise unité (par exemple, en cm²). Assurez-vous que toutes vos unités sont dans le Système International (Force en N, Surface en m²) pour obtenir un résultat en Pascals.

Points à retenir

La contrainte est le lien entre l'effort externe (la force) et le comportement interne du matériau. C'est une grandeur essentielle en ingénierie.

Le saviez-vous ?

Un pneu de voiture est gonflé à environ 250 kPa, soit plus de 200 fois la pression que vous exercez sur votre matelas. Un talon aiguille peut exercer une pression de plusieurs milliers de kPa !

FAQ

Résultat Final

La contrainte exercée sur le matelas est d'environ 1121.14 Pa, soit 1.12 kPa.

A vous de jouer

Si la même personne se tenait debout sur un pied, sur une surface de 150 cm², quelle serait la contrainte en kPa ? (Attention aux unités !)

Question 3 : Calculer la déformation relative (sans unité) de la mousse.

Principe

La déformation relative (\(\varepsilon\)) mesure le taux d'écrasement du matériau. Une déformation de 0.1 signifie que le matériau a perdu 10% de sa hauteur. Elle dépend de la contrainte subie et de la rigidité intrinsèque du matériau (son Module de Young).

Mini-Cours

La loi de Hooke (\(\sigma = E \cdot \varepsilon\)) décrit le comportement des matériaux dits "linéaires élastiques". Cela signifie que si vous doublez la contrainte, vous doublez la déformation, et que le matériau reprend sa forme initiale quand la contrainte est enlevée. La plupart des matériaux de structure se comportent ainsi pour de faibles déformations.

Remarque Pédagogique

Le Module de Young \(E\) est la "carte d'identité" mécanique du matériau. Un acier a un \(E\) d'environ 210 000 MPa, tandis que notre mousse a un \(E\) de 0.05 MPa (50 kPa). L'acier est donc plus de 4 millions de fois plus rigide que la mousse !

Normes

La loi de Hooke est un modèle physique, pas une norme. Les normes techniques (comme la norme ISO pour les essais de traction) définissent les protocoles pour mesurer expérimentalement le Module de Young d'un matériau.

Formule(s)

En isolant la déformation \(\varepsilon\) de la loi de Hooke, on obtient :

\sigma = E \cdot \varepsilon \Rightarrow \varepsilon = \frac{\sigma}{E}

Hypothèses

On suppose que la mousse a un comportement parfaitement linéaire élastique, c'est-à-dire qu'elle suit la loi de Hooke dans la plage de contrainte étudiée.

Donnée(s)

On utilise la contrainte calculée précédemment et le Module de Young donné.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte	\(\sigma\)	1121.14	Pa
Module de Young	\(E\)	50	kPa

Astuces

La déformation relative est un nombre sans dimension, donc les unités de \(\sigma\) et \(E\) doivent être les mêmes pour s'annuler. Si vous divisez des Pa par des kPa, votre résultat sera 1000 fois trop petit !

Schéma (Avant les calculs)

Loi de Hooke

Calcul(s)

Conversion du Module de Young en Pascals

\begin{aligned} E &= 50 \text{ kPa} \\ &= 50 \times 1000 \text{ Pa} \\ &= 50000 \text{ Pa} \end{aligned}

Calcul de la déformation relative

\begin{aligned} \varepsilon &= \frac{\sigma}{E} \\ &= \frac{1121.14 \text{ Pa}}{50000 \text{ Pa}} \\ &\approx 0.0224 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Point de fonctionnement sur la courbe

Réflexions

Une déformation de 0.0224 signifie que le matelas s'écrase de 2.24% de sa hauteur totale. C'est une déformation faible, ce qui est cohérent avec un matelas qui doit offrir un bon soutien.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est l'incohérence d'unités entre la contrainte et le Module de Young. Assurez-vous qu'ils soient tous les deux en Pa (ou en kPa) avant de faire la division.

Points à retenir

La loi de Hooke (\(\sigma = E \cdot \varepsilon\)) est une relation centrale en mécanique des matériaux. Elle lie une cause externe (la contrainte) à un effet interne (la déformation) via une propriété du matériau (le Module de Young).

Le saviez-vous ?

Robert Hooke, scientifique anglais du 17ème siècle, a d'abord publié sa loi sous forme d'anagramme en latin, "ceiiinosssttuv", pour s'assurer la paternité de sa découverte avant de la publier en clair deux ans plus tard : "ut tensio, sic vis" ("telle extension, telle force").

FAQ

Résultat Final

La déformation relative de la mousse est d'environ 0.0224 (soit 2.24 %).

A vous de jouer

Avec la même contrainte de 1.12 kPa, quelle serait la déformation si on utilisait une mousse plus souple avec un module E = 25 kPa ?

Question 4 : Établir la relation littérale donnant \(L_0\) en fonction de \(L_f\) et \(\varepsilon\).

Principe

L'objectif ici n'est pas de calculer une valeur, mais de manipuler des équations littérales (avec des lettres) pour trouver une nouvelle formule qui nous sera utile. C'est une compétence clé en physique, permettant de créer des "outils" pour résoudre des problèmes spécifiques.

Mini-Cours

En physique, on part toujours de définitions ou de lois de base. Ici, les deux briques de départ sont la définition de la déformation relative (\(\varepsilon = \Delta L / L_0\)) et la définition géométrique de la compression (\(\Delta L = L_0 - L_f\)). Le but du jeu est de combiner ces briques pour construire une nouvelle relation.

Remarque Pédagogique

Travaillez toujours avec les lettres le plus longtemps possible avant de remplacer par les chiffres. Cela permet de vérifier la cohérence des unités de votre formule finale (analyse dimensionnelle) et de voir comment le résultat dépend de chaque paramètre.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme, mais d'une démonstration mathématique. Les règles à suivre sont celles de l'algèbre.

Formule(s)

Formules de départ :

1. Définition de la déformation relative

\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}

2. Relation géométrique des longueurs

L_f = L_0 - \Delta L

Hypothèses

Les définitions de \(\varepsilon\), \(L_0\), \(L_f\) et \(\Delta L\) sont supposées correctes et cohérentes entre elles.

Donnée(s)

Aucune donnée numérique n'est nécessaire pour cette question, il s'agit d'un calcul purement littéral.

Astuces

Une fois la formule finale obtenue, \(L_0 = L_f / (1 - \varepsilon)\), faites un test de cohérence. Si il n'y a pas de déformation (\(\varepsilon=0\)), on retrouve bien \(L_0 = L_f\). Si la déformation est positive (compression), \(1-\varepsilon\) est plus petit que 1, donc \(L_0\) est bien plus grand que \(L_f\). La formule semble correcte.

Schéma (Avant les calculs)

Relations entre les longueurs

Calcul(s)

Étape 1 : Isoler la variation de longueur \(\Delta L\)

\Delta L = \varepsilon \cdot L_0

Étape 2 : Remplacer \(\Delta L\) dans la deuxième équation

L_f = L_0 - (\varepsilon \cdot L_0)

Étape 3 : Factoriser par \(L_0\)

L_f = L_0 (1 - \varepsilon)

Étape 4 : Isoler \(L_0\)

L_0 = \frac{L_f}{1 - \varepsilon}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Relation Dérivée

Réflexions

Cette formule est très puissante. Elle est générale et peut être utilisée pour n'importe quel problème de compression élastique. Elle montre que l'épaisseur initiale nécessaire dépend de l'épaisseur finale souhaitée et des propriétés du matériau (cachées dans \(\varepsilon\)).

Points de vigilance

L'erreur typique est une faute d'algèbre en isolant \(L_0\). Faites attention aux signes et à la factorisation.

Points à retenir

La capacité à combiner des formules de base pour en créer une nouvelle, adaptée au problème posé, est une compétence fondamentale en sciences.

Le saviez-vous ?

Le mot "algèbre" vient du titre d'un ouvrage du mathématicien perse Al-Khwarizmi, "Kitab al-jabr wa al-muqabala", écrit vers l'an 820. Le terme "al-jabr" faisait référence à l'opération de "réduction" et de "restauration" des équations.

FAQ

Résultat Final

La relation liant l'épaisseur initiale à l'épaisseur finale et à la déformation est : \[ L_0 = \frac{L_f}{1 - \varepsilon} \]

A vous de jouer

À partir des mêmes formules de base, essayez d'établir la relation littérale qui donne l'épaisseur finale \(L_f\) en fonction de \(L_0\) et \(\varepsilon\).

Question 5 : En déduire l'épaisseur initiale minimale \(L_0\) (en cm).

Principe

C'est l'étape de synthèse. Nous allons utiliser la formule générale que nous venons d'établir et y injecter les valeurs numériques spécifiques à notre problème (la déformation calculée et la contrainte de conception) pour trouver la réponse finale.

Mini-Cours

Cette démarche est typique du travail d'un ingénieur ou d'un technicien : on part de lois physiques générales, on les adapte au problème, puis on les applique pour répondre à une contrainte du cahier des charges (ici, \(L_f \ge 5\) cm) afin de dimensionner un produit.

Remarque Pédagogique

La physique nous permet de prédire le comportement d'un système. Ici, grâce aux questions précédentes, nous avons tous les outils pour prédire l'épaisseur initiale nécessaire sans avoir à la mesurer ou à faire des essais coûteux.

Normes

La contrainte "l'épaisseur finale doit être supérieure à 5 cm" est une "spécification technique" ou une "exigence du cahier des charges". Dans un contexte industriel, ce genre d'exigence est formalisé dans des documents normatifs.

Formule(s)

Nous utilisons la formule dérivée à la question précédente :

L_{0_{\text{min}}} = \frac{L_{f_{\text{min}}}}{1 - \varepsilon}

Hypothèses

Nous supposons que toutes les hypothèses faites dans les questions précédentes (matériau élastique, \(g\) constant, répartition uniforme de la charge, etc.) sont valides.

Donnée(s)

On utilise la déformation calculée et la condition sur l'épaisseur finale.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Déformation relative	\(\varepsilon\)	0.0224	-
Épaisseur finale minimale	\(L_{f_{\text{min}}}\)	5	cm

Astuces

Puisque la déformation est faible (environ 2%), on s'attend à ce que l'épaisseur initiale soit juste un peu plus grande que l'épaisseur finale. Si vous trouvez une valeur très différente (ex: 10 cm ou 3 cm), revoyez votre calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Dimensionnement Final

Calcul(s)

Application numérique de la formule

\begin{aligned} L_{0_{\text{min}}} &= \frac{5 \text{ cm}}{1 - 0.0224} \end{aligned}

Calcul du dénominateur

\begin{aligned} L_{0_{\text{min}}} &= \frac{5 \text{ cm}}{0.9776} \end{aligned}

Résultat final de l'épaisseur

L_{0_{\text{min}}} \approx 5.1145 \text{ cm}

Schéma (Après les calculs)

Dimensions finales

Réflexions

Le résultat nous indique qu'un matelas d'une épaisseur d'environ 5.11 cm serait théoriquement suffisant. En pratique, les fabricants prennent des marges de sécurité et proposent des épaisseurs bien plus importantes (15, 20, 25 cm) pour le confort, la durabilité et pour s'adapter à une large gamme de morphologies.

Points de vigilance

L'erreur à ne pas commettre est d'utiliser la déformation en pourcentage (2.24) directement dans la formule. Il faut impérativement utiliser sa valeur décimale (0.0224).

Points à retenir

Cet exercice illustre la démarche complète de l'ingénierie : 1. Comprendre le phénomène physique (force, contrainte). 2. Le modéliser avec des lois (Hooke). 3. L'utiliser pour dimensionner un produit qui répond à un besoin (ne pas s'écraser plus d'une certaine limite).

Le saviez-vous ?

La mousse à mémoire de forme a été développée par le centre de recherche Ames de la NASA en 1966 pour améliorer la sécurité et le confort des sièges d'avions. Elle a la particularité d'être "viscoélastique", c'est-à-dire que sa rigidité dépend aussi de la température.

FAQ

Résultat Final

L'épaisseur initiale minimale du matelas doit être d'environ 5.11 cm.

A vous de jouer

Si la contrainte du fabricant était plus sévère, imposant une épaisseur finale minimale de 10 cm, quelle devrait être l'épaisseur initiale ?

Outil Interactif : Simulateur d'Épaisseur de Matelas

Utilisez les curseurs ci-dessous pour voir comment la masse de l'utilisateur et la souplesse de la mousse (un Module de Young plus faible signifie une mousse plus souple) influencent l'épaisseur minimale requise pour le matelas, en gardant une épaisseur finale de 5 cm.

Paramètres d'Entrée

Masse de l'utilisateur (kg) 80 kg

Module de Young de la mousse (kPa) 50 kPa

Résultats Clés

Contrainte exercée (kPa) -

Épaisseur initiale minimale (cm) -

Contrainte (\(\sigma\)): Force interne par unité de surface au sein d'un matériau. Dans ce cas, elle est équivalente à la pression exercée par le corps. Son unité est le Pascal (Pa).
Déformation (\(\varepsilon\)): Modification de la forme ou de la taille d'un objet sous l'effet d'une contrainte. La déformation relative est le rapport de la variation de longueur sur la longueur initiale, c'est une grandeur sans dimension.
Module de Young (E): Propriété intrinsèque d'un matériau qui mesure sa rigidité ou sa raideur. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation dans le domaine élastique. Plus E est élevé, plus le matériau est rigide.
Poids (P): Force exercée par la gravité sur un objet de masse m. C'est une force, mesurée en Newtons (N). \(P = m \cdot g\).

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