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Exercices Physique Chimie

Analyse de l’Angle de Déviation Minimale

Analyse de l’Angle de Déviation Minimale par un Prisme

Analyse de l’Angle de Déviation Minimale par un Prisme

Comprendre la Déviation de la Lumière par un Prisme

Un prisme est un milieu transparent, généralement en verre, limité par deux faces planes non parallèles (les faces d'entrée et de sortie) et une base. Lorsqu'un faisceau de lumière monochromatique traverse un prisme, il subit deux réfractions successives (une à l'entrée et une à la sortie) et est dévié par rapport à sa direction initiale. L'angle de déviation \(\text{D}\) dépend de l'angle d'incidence \(\text{i}\), de l'angle \(\text{A}\) du prisme et de l'indice de réfraction \(\text{n}\) du matériau du prisme (qui dépend lui-même de la longueur d'onde de la lumière). Pour un prisme et une lumière donnés, il existe un angle d'incidence particulier pour lequel la déviation est minimale. Cet angle est appelé angle de déviation minimale, noté \(\text{D}_{\text{min}}\). Cet exercice explore les conditions et le calcul de cet angle.

Données de l'étude

On utilise un prisme en verre d'angle au sommet \(\text{A} = 60,0°\). Un faisceau de lumière jaune monochromatique, provenant d'une lampe à vapeur de sodium, est dirigé vers l'une des faces du prisme.

Constantes et informations :

  • Angle du prisme (\(\text{A}\)) : \(60,0°\)
  • Indice de réfraction du verre du prisme pour la lumière jaune utilisée (\(\text{n}\)) : \(1,52\)
  • L'indice de réfraction de l'air est considéré égal à \(1,00\).

Formules relatives au prisme (angles en degrés ou radians selon le contexte) :

  • Lois de Snell-Descartes : \(n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)\)
  • Relations angulaires dans le prisme : \(\text{A} = \text{r} + \text{r}'\) et \(\text{D} = \text{i} + \text{i}' - \text{A}\)
  • Conditions de déviation minimale : \(\text{i} = \text{i}'\) et \(\text{r} = \text{r}'\)
  • Relation au minimum de déviation : \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right) = \text{n} \sin\left(\frac{\text{A}}{2}\right)\)
Schéma : Trajet de la Lumière dans un Prisme au Minimum de Déviation
Déviation Minimale par un Prisme A I N₁ J N₂ i r r' i' Dmin

Trajet symétrique d'un rayon lumineux à travers un prisme au minimum de déviation.

Questions à traiter

  1. Quelles sont les deux conditions spécifiques sur les angles qui caractérisent le minimum de déviation pour un prisme ?
  2. En utilisant ces conditions et les relations angulaires du prisme (\(\text{A} = \text{r} + \text{r}'\) et \(\text{D} = \text{i} + \text{i}' - \text{A}\)), exprimer l'angle de réfraction \(\text{r}\) à la première face et l'angle d'incidence \(\text{i}\) à la première face en fonction de \(\text{A}\) et de l'angle de déviation minimale \(\text{D}_{\text{min}}\).
  3. Appliquer la loi de Snell-Descartes à la première réfraction (passage air-verre) pour établir la relation : \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right) = \text{n} \sin\left(\frac{\text{A}}{2}\right)\).
  4. Calculer la valeur de l'angle de déviation minimale \(\text{D}_{\text{min}}\) pour ce prisme et cette lumière jaune.
  5. Calculer la valeur de l'angle d'incidence \(\text{i}\) pour lequel cette déviation minimale est observée.
  6. Si l'on utilisait une lumière bleue (pour laquelle l'indice du verre est légèrement supérieur, par exemple \(\text{n}_{\text{bleu}} = 1,53\)), comment l'angle de déviation minimale \(\text{D}_{\text{min, bleu}}\) serait-il affecté par rapport à celui de la lumière jaune ? Justifier sans refaire le calcul complet.

Correction : Analyse de l’Angle de Déviation Minimale par un Prisme

Question 1 : Conditions du minimum de déviation

Principe :

Le minimum de déviation est une situation particulière de la traversée d'un prisme par la lumière, caractérisée par une symétrie du trajet lumineux à l'intérieur du prisme.

Réponse :

Les deux conditions spécifiques qui caractérisent le minimum de déviation sont :

  • L'angle d'incidence sur la première face (\(\text{i}\)) est égal à l'angle d'émergence de la deuxième face (\(\text{i}'\)) : \(\text{i} = \text{i}'\).
  • L'angle de réfraction sur la première face (\(\text{r}\)) est égal à l'angle d'incidence sur la deuxième face (à l'intérieur du prisme, \(\text{r}'\)) : \(\text{r} = \text{r}'\).

Cela implique que le trajet du rayon lumineux à l'intérieur du prisme est parallèle à la base du prisme si le prisme est isocèle et que les faces d'entrée et de sortie sont les faces non parallèles.

Résultat Question 1 : Au minimum de déviation, \(\text{i} = \text{i}'\) et \(\text{r} = \text{r}'\).

Question 2 : Expressions de \(\text{r}\) et \(\text{i}\) en fonction de \(\text{A}\) et \(\text{D}_{\text{min}}\)

Principe :

On utilise les relations générales du prisme et les conditions spécifiques du minimum de déviation.

Relations générales :

\(1) \quad \text{A} = \text{r} + \text{r}'\)

\(2) \quad \text{D} = \text{i} + \text{i}' - \text{A}\)

Au minimum de déviation :

\(\text{r} = \text{r}'\) et \(\text{i} = \text{i}'\). La déviation est \(\text{D}_{\text{min}}\).

En utilisant \(\text{r} = \text{r}'\) dans l'équation (1) :

\[ \begin{aligned} \text{A} &= \text{r} + \text{r} \\ \text{A} &= 2\text{r} \\ \text{Donc, } \quad \text{r} &= \frac{\text{A}}{2} \end{aligned} \]

En utilisant \(\text{i} = \text{i}'\) et \(\text{D} = \text{D}_{\text{min}}\) dans l'équation (2) :

\[ \begin{aligned} \text{D}_{\text{min}} &= \text{i} + \text{i} - \text{A} \\ \text{D}_{\text{min}} &= 2\text{i} - \text{A} \\ \text{Donc, } \quad 2\text{i} &= \text{A} + \text{D}_{\text{min}} \\ \text{i} &= \frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Au minimum de déviation, \(\text{r} = \frac{\text{A}}{2}\) et \(\text{i} = \frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\).

Question 3 : Établissement de la relation au minimum de déviation

Principe :

On applique la loi de Snell-Descartes pour la réfraction à la première face du prisme (passage de l'air, indice \(n_1=1\), au verre du prisme, indice \(\text{n}\)).

Loi de Snell-Descartes à la première face :
\[n_1 \sin(\text{i}) = n_2 \sin(\text{r})\]

Avec \(n_1 = 1\) (air) et \(n_2 = \text{n}\) (prisme) :

\[1 \times \sin(\text{i}) = \text{n} \sin(\text{r})\]

En remplaçant \(\text{i}\) et \(\text{r}\) par leurs expressions trouvées à la question 2 pour le cas du minimum de déviation :

\[ \sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right) = \text{n} \sin\left(\frac{\text{A}}{2}\right) \]
Résultat Question 3 : La relation est bien \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right) = \text{n} \sin\left(\frac{\text{A}}{2}\right)\).

Question 4 : Calcul de l'angle de déviation minimale \(\text{D}_{\text{min}}\)

Principe :

On utilise la relation établie à la question 3 pour isoler et calculer \(\text{D}_{\text{min}}\).

Données spécifiques :
  • Angle du prisme (\(\text{A}\)) : \(60,0°\)
  • Indice de réfraction (\(\text{n}\)) : \(1,52\)
Calcul :

D'abord, calculons \(\sin(\text{A}/2)\) :

\[ \frac{\text{A}}{2} = \frac{60,0°}{2} = 30,0° \]
\[ \sin\left(\frac{\text{A}}{2}\right) = \sin(30,0°) = 0,500 \]

La relation devient :

\[ \sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right) = 1,52 \times 0,500 = 0,760 \]

Pour trouver \(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\), on prend l'arcsinus (ou \(\sin^{-1}\)) :

\[ \frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2} = \arcsin(0,760) \]

En utilisant une calculatrice (assurez-vous qu'elle est en mode degrés) :

\[ \arcsin(0,760) \approx 49,46° \]

Donc :

\[ \begin{aligned} \frac{60,0° + \text{D}_{\text{min}}}{2} &\approx 49,46° \\ 60,0° + \text{D}_{\text{min}} &\approx 2 \times 49,46° \\ 60,0° + \text{D}_{\text{min}} &\approx 98,92° \\ \text{D}_{\text{min}} &\approx 98,92° - 60,0° \\ \text{D}_{\text{min}} &\approx 38,92° \end{aligned} \]

En arrondissant à une décimale (cohérent avec A) : \(\text{D}_{\text{min}} \approx 38,9°\).

Résultat Question 4 : L'angle de déviation minimale est \(\text{D}_{\text{min}} \approx 38,9°\).

Question 5 : Calcul de l'angle d'incidence \(\text{i}\) au minimum de déviation

Principe :

On utilise l'expression de \(\text{i}\) en fonction de \(\text{A}\) et \(\text{D}_{\text{min}}\) trouvée à la question 2.

Données spécifiques :
  • Angle du prisme (\(\text{A}\)) : \(60,0°\)
  • Angle de déviation minimale (\(\text{D}_{\text{min}}\)) : \(38,92°\) (valeur non arrondie pour plus de précision)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{i} &= \frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2} \\ &= \frac{60,0° + 38,92°}{2} \\ &= \frac{98,92°}{2} \\ &= 49,46° \end{aligned} \]

En arrondissant : \(\text{i} \approx 49,5°\).

Résultat Question 5 : L'angle d'incidence pour la déviation minimale est \(\text{i} \approx 49,5°\).

Quiz Intermédiaire 1 : Au minimum de déviation, le trajet du rayon lumineux à l'intérieur du prisme est :

Question 6 : Effet d'un changement de longueur d'onde (lumière bleue)

Principe :

L'indice de réfraction \(\text{n}\) d'un milieu dispersif comme le verre dépend de la longueur d'onde de la lumière. En général, pour le verre, l'indice est plus élevé pour les courtes longueurs d'onde (comme le bleu) que pour les longues longueurs d'onde (comme le rouge). La relation \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right) = \text{n} \sin\left(\frac{\text{A}}{2}\right)\) montre comment \(\text{D}_{\text{min}}\) dépend de \(\text{n}\).

Justification qualitative :

La relation est \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right) = \text{n} \sin\left(\frac{\text{A}}{2}\right)\).

L'angle du prisme \(\text{A}\) est constant, donc \(\sin(\text{A}/2)\) est constant et positif.

Si l'indice \(\text{n}\) augmente (cas de la lumière bleue, \(\text{n}_{\text{bleu}} = 1,53 > \text{n}_{\text{jaune}} = 1,52\)), alors le terme de droite \(\text{n} \sin(\text{A}/2)\) augmente.

Par conséquent, le terme de gauche \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right)\) doit aussi augmenter.

Comme la fonction sinus est croissante pour les angles entre \(0°\) et \(90°\) (ce qui est le cas pour \(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\) dans une situation physique réelle de prisme), si \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right)\) augmente, alors l'angle \(\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right)\) doit augmenter.

Puisque \(\text{A}\) est constant, si \(\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right)\) augmente, alors \(\text{D}_{\text{min}}\) doit augmenter.

Ainsi, la lumière bleue sera plus déviée que la lumière jaune au minimum de déviation. C'est le principe de la dispersion de la lumière par un prisme.

Résultat Question 6 : Si l'indice de réfraction \(\text{n}\) augmente (lumière bleue), l'angle de déviation minimale \(\text{D}_{\text{min}}\) augmente également. La lumière bleue sera plus déviée.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Au minimum de déviation, le trajet du rayon lumineux à l'intérieur du prisme :

2. L'indice de réfraction \(\text{n}\) d'un milieu transparent comme le verre :

3. La relation \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right) = \text{n} \sin\left(\frac{\text{A}}{2}\right)\) est valable :

Glossaire

Prisme
Milieu transparent (souvent en verre) limité par deux surfaces planes non parallèles (faces) et une base. Il dévie et disperse la lumière.
Réfraction
Changement de direction que subit un rayon lumineux en traversant la surface de séparation (dioptre) entre deux milieux transparents d'indices de réfraction différents.
Lois de Snell-Descartes
Lois qui décrivent le comportement de la lumière à l'interface entre deux milieux : 1. Le rayon réfracté est dans le plan d'incidence. 2. Pour un rayon passant d'un milieu d'indice \(n_1\) avec un angle d'incidence \(i_1\) à un milieu d'indice \(n_2\) avec un angle de réfraction \(i_2\), on a \(n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)\).
Angle d'incidence (\(\text{i}\))
Angle entre le rayon lumineux incident et la normale (perpendiculaire) à la surface au point d'incidence.
Angle de réfraction (\(\text{r}\))
Angle entre le rayon lumineux réfracté et la normale à la surface au point d'incidence.
Angle du prisme (\(\text{A}\))
Angle formé par les deux faces du prisme par lesquelles la lumière entre et sort.
Angle de déviation (\(\text{D}\))
Angle entre la direction du rayon incident (avant le prisme) et la direction du rayon émergent (après le prisme).
Angle de déviation minimale (\(\text{D}_{\text{min}}\))
La plus petite valeur que peut prendre l'angle de déviation pour un prisme et une longueur d'onde donnés. Elle est obtenue pour un angle d'incidence spécifique.
Indice de réfraction (\(\text{n}\))
Grandeur sans dimension qui caractérise la vitesse de la lumière dans un milieu par rapport à sa vitesse dans le vide. \(\text{n} = \text{c}/\text{v}_{\text{milieu}}\). Il dépend de la longueur d'onde de la lumière (dispersion).
Lumière Monochromatique
Lumière constituée d'une seule longueur d'onde (et donc d'une seule couleur).
Analyse de l’Angle de Déviation Minimale par un Prisme - Exercice d'Application (Niveau Terminale)

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