Analyse de l’Angle de Déviation Minimale

Principe :

Le minimum de déviation est une situation particulière de la traversée d'un prisme par la lumière, caractérisée par une symétrie du trajet lumineux à l'intérieur du prisme.

Réponse :

Les deux conditions spécifiques qui caractérisent le minimum de déviation sont :

• L'angle d'incidence sur la première face (\(\text{i}\)) est égal à l'angle d'émergence de la deuxième face (\(\text{i}'\)) : \(\text{i} = \text{i}'\).
• L'angle de réfraction sur la première face (\(\text{r}\)) est égal à l'angle d'incidence sur la deuxième face (à l'intérieur du prisme, \(\text{r}'\)) : \(\text{r} = \text{r}'\).

Cela implique que le trajet du rayon lumineux à l'intérieur du prisme est parallèle à la base du prisme si le prisme est isocèle et que les faces d'entrée et de sortie sont les faces non parallèles.

Principe :

On utilise les relations générales du prisme et les conditions spécifiques du minimum de déviation.

Relations générales :

\(1) \quad \text{A} = \text{r} + \text{r}'\)

\(2) \quad \text{D} = \text{i} + \text{i}' - \text{A}\)

Au minimum de déviation :

\(\text{r} = \text{r}'\) et \(\text{i} = \text{i}'\). La déviation est \(\text{D}_{\text{min}}\).

En utilisant \(\text{r} = \text{r}'\) dans l'équation (1) :

En utilisant \(\text{i} = \text{i}'\) et \(\text{D} = \text{D}_{\text{min}}\) dans l'équation (2) :

Principe :

On applique la loi de Snell-Descartes pour la réfraction à la première face du prisme (passage de l'air, indice \(n_1=1\), au verre du prisme, indice \(\text{n}\)).

Loi de Snell-Descartes à la première face :

Avec \(n_1 = 1\) (air) et \(n_2 = \text{n}\) (prisme) :

En remplaçant \(\text{i}\) et \(\text{r}\) par leurs expressions trouvées à la question 2 pour le cas du minimum de déviation :

Principe :

On utilise la relation établie à la question 3 pour isoler et calculer \(\text{D}_{\text{min}}\).

Données spécifiques :

• Angle du prisme (\(\text{A}\)) : \(60,0°\)
• Indice de réfraction (\(\text{n}\)) : \(1,52\)

Calcul :

D'abord, calculons \(\sin(\text{A}/2)\) :

La relation devient :

Pour trouver \(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\), on prend l'arcsinus (ou \(\sin^{-1}\)) :

En utilisant une calculatrice (assurez-vous qu'elle est en mode degrés) :

Donc :

En arrondissant à une décimale (cohérent avec A) : \(\text{D}_{\text{min}} \approx 38,9°\).

Principe :

On utilise l'expression de \(\text{i}\) en fonction de \(\text{A}\) et \(\text{D}_{\text{min}}\) trouvée à la question 2.

Données spécifiques :

• Angle du prisme (\(\text{A}\)) : \(60,0°\)
• Angle de déviation minimale (\(\text{D}_{\text{min}}\)) : \(38,92°\) (valeur non arrondie pour plus de précision)

Calcul :

En arrondissant : \(\text{i} \approx 49,5°\).

Principe :

L'indice de réfraction \(\text{n}\) d'un milieu dispersif comme le verre dépend de la longueur d'onde de la lumière. En général, pour le verre, l'indice est plus élevé pour les courtes longueurs d'onde (comme le bleu) que pour les longues longueurs d'onde (comme le rouge). La relation \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right) = \text{n} \sin\left(\frac{\text{A}}{2}\right)\) montre comment \(\text{D}_{\text{min}}\) dépend de \(\text{n}\).

Justification qualitative :

La relation est \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right) = \text{n} \sin\left(\frac{\text{A}}{2}\right)\).

L'angle du prisme \(\text{A}\) est constant, donc \(\sin(\text{A}/2)\) est constant et positif.

Si l'indice \(\text{n}\) augmente (cas de la lumière bleue, \(\text{n}_{\text{bleu}} = 1,53 > \text{n}_{\text{jaune}} = 1,52\)), alors le terme de droite \(\text{n} \sin(\text{A}/2)\) augmente.

Par conséquent, le terme de gauche \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right)\) doit aussi augmenter.

Comme la fonction sinus est croissante pour les angles entre \(0°\) et \(90°\) (ce qui est le cas pour \(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\) dans une situation physique réelle de prisme), si \(\sin\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right)\) augmente, alors l'angle \(\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right)\) doit augmenter.

Puisque \(\text{A}\) est constant, si \(\left(\frac{\text{A} + \text{D}_{\text{min}}}{2}\right)\) augmente, alors \(\text{D}_{\text{min}}\) doit augmenter.

Ainsi, la lumière bleue sera plus déviée que la lumière jaune au minimum de déviation. C'est le principe de la dispersion de la lumière par un prisme.