Voyage Interstellaire et Relativité Restreinte
Comprendre et appliquer les concepts de dilatation du temps et de contraction des longueurs dans le cadre d'un voyage spatial à une vitesse proche de celle de la lumière.
La théorie de la relativité restreinte, formulée par Albert Einstein en 1905, a révolutionné notre compréhension de l'espace et du temps. Deux de ses conséquences les plus surprenantes sont la dilatation du temps et la contraction des longueurs pour les objets se déplaçant à des vitesses proches de celle de la lumière (\(c\)).
Le facteur de Lorentz \(\gamma\) (gamma) est central dans ces calculs :
Où \(v\) est la vitesse de l'objet et \(c\) la vitesse de la lumière dans le vide.
- Dilatation du temps : Le temps mesuré dans un référentiel en mouvement (\(\Delta t'\)) est plus long que le temps propre (\(\Delta t_0\)) mesuré dans le référentiel où l'événement est au repos : \(\Delta t' = \gamma \Delta t_0\). Un observateur fixe voit le temps s'écouler plus lentement pour un voyageur en mouvement rapide.
- Contraction des longueurs : La longueur d'un objet en mouvement (\(L'\)) mesurée par un observateur fixe est plus courte que sa longueur propre (\(L_0\)) mesurée dans son propre référentiel : \(L' = \frac{L_0}{\gamma}\).
Données du Problème
Une équipe d'astronautes entreprend un voyage vers l'étoile Proxima du Centaure. On considère que le voyage se fait en ligne droite à vitesse constante.
- Distance Terre - Proxima du Centaure (mesurée depuis la Terre, \(D_0\)) : \(4.24 \text{ années-lumière (al)}\)
- Vitesse du vaisseau spatial par rapport à la Terre (\(v\)) : \(0.80c\) (où \(c\) est la vitesse de la lumière)
- Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \text{ m/s}\)
- Conversion : \(1 \text{ année-lumière (al)} \approx 9.461 \times 10^{15} \text{ m}\)
Questions
- Calculer le facteur de Lorentz \(\gamma\) pour le vaisseau spatial.
- Calculer la durée du voyage \(\Delta t_{Terre}\) mesurée par un observateur sur Terre, en années.
- Calculer la durée du voyage \(\Delta t_{Vaisseau}\) (temps propre) mesurée par les astronautes à bord du vaisseau, en années.
- Calculer la distance Terre - Proxima du Centaure \(D_{Vaisseau}\) telle que mesurée par les astronautes dans leur référentiel, en années-lumière.
- Si un des astronautes a 30 ans au début du voyage, quel âge aura-t-il à son arrivée sur Proxima du Centaure selon sa propre horloge ?
- Un jumeau de cet astronaute est resté sur Terre. Quel âge aura ce jumeau terrestre lorsque le vaisseau atteindra Proxima du Centaure ?
- Commenter brièvement la différence d'âge (le "paradoxe" des jumeaux dans ce contexte simplifié d'aller simple).
Correction : Voyage Interstellaire et Relativité Restreinte
1. Calcul du Facteur de Lorentz \(\gamma\)
Le facteur de Lorentz \(\gamma\) est donné par la formule \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\). Il quantifie l'importance des effets relativistes.
Données : \(v = 0.80c\).
Le facteur de Lorentz est \(\gamma = \frac{5}{3} \approx 1.67\).
2. Durée du Voyage \(\Delta t_{Terre}\) (Référentiel Terrestre)
Dans le référentiel de la Terre, la distance à parcourir est \(D_0\) et la vitesse du vaisseau est \(v\). La durée du voyage \(\Delta t_{Terre}\) est simplement \(D_0 / v\). Comme la distance est en années-lumière et la vitesse est une fraction de \(c\), le temps sera directement obtenu en années. Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en un an (\(1 \text{ al} = c \times 1 \text{ an}\)).
Données : \(D_0 = 4.24 \text{ al}\), \(v = 0.80c\).
La durée du voyage mesurée depuis la Terre est \(\Delta t_{Terre} = 5.30 \text{ ans}\).
3. Durée du Voyage \(\Delta t_{Vaisseau}\) (Temps Propre des Astronautes)
La durée mesurée par les astronautes dans leur vaisseau est le temps propre, \(\Delta t_0\) (ici noté \(\Delta t_{Vaisseau}\)). Elle est liée à la durée mesurée sur Terre (\(\Delta t'\), ici \(\Delta t_{Terre}\)) par la formule de dilatation du temps : \(\Delta t' = \gamma \Delta t_0\). Donc, \(\Delta t_{Vaisseau} = \frac{\Delta t_{Terre}}{\gamma}\).
Données : \(\Delta t_{Terre} = 5.30 \text{ ans}\), \(\gamma = 5/3 \approx 1.6667\).
La durée du voyage mesurée par les astronautes est \(\Delta t_{Vaisseau} = 3.18 \text{ ans}\).
Quiz Intermédiaire : Dilatation du Temps
4. Distance Terre - Proxima du Centaure \(D_{Vaisseau}\) (Référentiel du Vaisseau)
La distance \(D_0\) est la longueur propre, mesurée dans le référentiel où la Terre et Proxima du Centaure sont (approximativement) immobiles. Pour les astronautes en mouvement, cette distance apparaît contractée selon la formule de contraction des longueurs : \(L' = \frac{L_0}{\gamma}\). Ici, \(L_0 = D_0\) et \(L' = D_{Vaisseau}\).
Données : \(D_0 = 4.24 \text{ al}\), \(\gamma = 5/3\).
Vérification : Les astronautes peuvent aussi calculer cette distance en utilisant leur vitesse \(v\) et leur temps de voyage propre \(\Delta t_{Vaisseau}\) :
Les deux calculs sont cohérents.
La distance Terre - Proxima du Centaure mesurée par les astronautes est \(D_{Vaisseau} \approx 2.54 \text{ al}\).
5. Âge de l'Astronaute à l'Arrivée
L'âge de l'astronaute évolue selon son temps propre, c'est-à-dire le temps mesuré par son horloge à bord du vaisseau (\(\Delta t_{Vaisseau}\)).
Âge initial = 30 ans. Durée du voyage pour l'astronaute = \(\Delta t_{Vaisseau} = 3.18 \text{ ans}\).
L'astronaute aura 33.18 ans à son arrivée sur Proxima du Centaure.
6. Âge du Jumeau Terrestre à l'Arrivée du Vaisseau
Le jumeau resté sur Terre vieillit selon le temps mesuré dans le référentiel terrestre (\(\Delta t_{Terre}\)).
Âge initial du jumeau terrestre = 30 ans. Durée du voyage mesurée sur Terre = \(\Delta t_{Terre} = 5.30 \text{ ans}\).
Le jumeau resté sur Terre aura 35.30 ans lorsque le vaisseau atteindra Proxima du Centaure.
7. Commentaire sur la Différence d'Âge
Cet exercice illustre une conséquence directe de la dilatation du temps : le voyageur (astronaute) vieillit moins que la personne restée sur Terre.
L'astronaute aura vieilli de 3.18 ans, tandis que son jumeau sur Terre aura vieilli de 5.30 ans. La différence d'âge sera de \(5.30 - 3.18 = 2.12\) ans. L'astronaute sera plus jeune que son jumeau terrestre.
Ce n'est pas un paradoxe au sens d'une contradiction logique, mais un effet prédit par la relativité restreinte. La situation n'est pas symétrique car le vaisseau spatial doit accélérer pour atteindre sa vitesse, puis décélérer pour s'arrêter (ou faire demi-tour dans le cas du paradoxe des jumeaux complet), ce qui implique des changements de référentiels inertiels pour le voyageur, alors que le jumeau terrestre reste (approximativement) dans un seul référentiel inertiel. Pour un aller simple à vitesse constante, la différence d'écoulement du temps est une conséquence directe de la mesure du temps dans deux référentiels inertiels en mouvement relatif.
L'astronaute est plus jeune de 2.12 ans que son jumeau resté sur Terre, en raison de la dilatation du temps subie pendant le voyage à vitesse relativiste.
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Glossaire des Termes Clés
Relativité Restreinte :
Théorie physique proposée par Albert Einstein qui décrit la physique du mouvement en l'absence de champs de gravitation. Elle repose sur deux postulats : le principe de relativité et la constance de la vitesse de la lumière.
Référentiel Inertiel :
Référentiel dans lequel un corps non soumis à des forces reste immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (première loi de Newton).
Vitesse de la Lumière (\(c\)) :
Vitesse de propagation de la lumière (et de toutes les ondes électromagnétiques) dans le vide, constante universelle valant environ \(3.00 \times 10^8 \text{ m/s}\).
Facteur de Lorentz (\(\gamma\)) :
Facteur \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\) qui apparaît dans les transformations de Lorentz et quantifie les effets relativistes.
Dilatation du Temps :
Phénomène relativiste où le temps mesuré entre deux événements est plus court dans le référentiel où ces événements se produisent au même endroit (temps propre \(\Delta t_0\)) que dans tout autre référentiel inertiel en mouvement (\(\Delta t' = \gamma \Delta t_0\)).
Temps Propre (\(\Delta t_0\)) :
Intervalle de temps mesuré par une horloge au repos par rapport aux événements qu'elle mesure, ou dans le référentiel où les deux événements se produisent au même point spatial.
Contraction des Longueurs :
Phénomène relativiste où la longueur d'un objet en mouvement (\(L'\)) est mesurée comme étant plus courte que sa longueur propre (\(L_0\)) dans la direction de son mouvement : \(L' = L_0/\gamma\).
Longueur Propre (\(L_0\)) :
Longueur d'un objet mesurée dans le référentiel où l'objet est au repos.
Année-Lumière (al) :
Unité de distance correspondant à la distance parcourue par la lumière dans le vide en une année julienne (365.25 jours).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Le "paradoxe des jumeaux" implique un voyage aller-retour. Quelles sont les phases du voyage qui rendent la situation non symétrique entre les deux jumeaux ?
2. Si les astronautes pouvaient observer la Terre depuis leur vaisseau en mouvement, comment verraient-ils le temps s'écouler sur Terre ?
3. Quelles sont les limitations technologiques actuelles qui rendent les voyages interstellaires à des vitesses proches de \(c\) extrêmement difficiles, voire impossibles pour l'humanité ?
4. La relativité restreinte prédit également une augmentation de la masse relativiste d'un objet avec la vitesse. Comment cela affecterait-il l'énergie nécessaire pour accélérer un vaisseau à des vitesses proches de \(c\) ? (Note : ce concept de "masse relativiste" est parfois remplacé par la relation \(E=\gamma m_0 c^2\)).
5. Si un signal lumineux est envoyé depuis la Terre vers le vaisseau, et un autre depuis le vaisseau vers la Terre, comment la vitesse de ces signaux lumineux serait-elle mesurée par chaque observateur ?
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