Exercices et corrigés

Exercices Physique Chimie

Onde Mécanique sur une Corde

Onde Mécanique sur une Corde

Onde Mécanique sur une Corde

Comprendre les Ondes sur une Corde

Les ondes mécaniques se propagent dans un milieu matériel. Une corde tendue est un exemple classique de milieu permettant la propagation d'ondes transversales. Lorsqu'une extrémité de la corde est mise en vibration, une perturbation se propage le long de la corde, transportant de l'énergie. La vitesse de propagation de cette onde (célérité) dépend des caractéristiques de la corde (sa masse linéique) et de la tension à laquelle elle est soumise. Cet exercice explore ces relations et les propriétés fondamentales des ondes périodiques sur une corde.

Données de l'étude

Une corde de guitare, de longueur \(\text{L} = 65,0 \, \text{cm}\), a une masse \(\text{m}_{\text{corde}} = 2,60 \, \text{g}\). Elle est tendue entre deux points fixes et soumise à une tension \(\text{F}_{\text{T}} = 57,6 \, \text{N}\). Un musicien pince la corde, créant une vibration à une fréquence fondamentale \(\text{f}\).

Constantes et rappels :

  • Conversion : \(1 \, \text{cm} = 10^{-2} \, \text{m}\) ; \(1 \, \text{g} = 10^{-3} \, \text{kg}\)
  • Formule de la célérité d'une onde sur une corde : \(\text{c} = \sqrt{\frac{\text{F}_{\text{T}}}{\mu}}\), où \(\mu\) est la masse linéique de la corde.
  • Relation entre célérité, longueur d'onde et fréquence : \(\text{c} = \lambda \times \text{f}\)
Schéma : Onde sur une Corde Tendue
Onde sur une Corde L = 65,0 cm FT FT λ/2

Schéma simplifié d'une onde stationnaire (mode fondamental) sur une corde tendue.

Questions à traiter

  1. Calculer la masse linéique (\(\mu\)) de la corde en \(\text{kg/m}\).
  2. Calculer la célérité (\(\text{c}\)) de l'onde se propageant sur cette corde.
  3. Pour le mode fondamental de vibration (un seul fuseau), la longueur de la corde \(\text{L}\) est égale à une demi-longueur d'onde (\(\text{L} = \lambda/2\)). Calculer la longueur d'onde (\(\lambda\)) de l'onde.
  4. En déduire la fréquence fondamentale (\(\text{f}\)) de vibration de cette corde.
  5. Calculer la période (\(\text{T}\)) de cette vibration.
  6. Si la tension de la corde était augmentée à \(\text{F}_{\text{T}}' = 80,0 \, \text{N}\) (la masse linéique restant la même), quelle serait la nouvelle célérité \(\text{c}'\) de l'onde ? Comment cela affecterait-il la fréquence fondamentale (qualitativement) ?

Correction : Onde Mécanique sur une Corde

Question 1 : Calcul de la masse linéique (\(\mu\))

Principe :

La masse linéique (\(\mu\)) d'une corde est sa masse par unité de longueur. Elle se calcule par la formule \(\mu = \text{m}_{\text{corde}} / \text{L}\). Les unités doivent être cohérentes (kg et m pour obtenir kg/m).

Données spécifiques et conversions :
  • Masse de la corde (\(\text{m}_{\text{corde}}\)) : \(2,60 \, \text{g} = 2,60 \times 10^{-3} \, \text{kg}\)
  • Longueur de la corde (\(\text{L}\)) : \(65,0 \, \text{cm} = 0,650 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \mu &= \frac{\text{m}_{\text{corde}}}{\text{L}} \\ &= \frac{2,60 \times 10^{-3} \, \text{kg}}{0,650 \, \text{m}} \\ &= 0,004 \, \text{kg/m} = 4,00 \times 10^{-3} \, \text{kg/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La masse linéique de la corde est \(\mu = 4,00 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}\).

Question 2 : Calcul de la célérité (\(\text{c}\)) de l'onde

Principe :

La célérité d'une onde sur une corde tendue est donnée par la formule \(\text{c} = \sqrt{\frac{\text{F}_{\text{T}}}{\mu}}\).

Données spécifiques :
  • Tension de la corde (\(\text{F}_{\text{T}}\)) : \(57,6 \, \text{N}\)
  • Masse linéique (\(\mu\)) : \(4,00 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}\) (calculée à la question 1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{c} &= \sqrt{\frac{\text{F}_{\text{T}}}{\mu}} \\ &= \sqrt{\frac{57,6 \, \text{N}}{4,00 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}}} \\ &= \sqrt{14400 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \\ &= 120 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Note : L'unité \(\text{N/(kg/m)}\) est équivalente à \(\text{(kg} \cdot \text{m/s}^2\text{)/(kg/m)} = \text{m}^2/\text{s}^2\). La racine carrée donne bien des \(\text{m/s}\).

Résultat Question 2 : La célérité de l'onde sur la corde est \(\text{c} = 120 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Calcul de la longueur d'onde (\(\lambda\))

Principe :

Pour le mode fondamental de vibration d'une corde fixée à ses deux extrémités, la longueur de la corde \(\text{L}\) correspond à une demi-longueur d'onde (\(\lambda/2\)). Donc, \(\lambda = 2\text{L}\).

Données spécifiques :
  • Longueur de la corde (\(\text{L}\)) : \(0,650 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda &= 2 \times \text{L} \\ &= 2 \times 0,650 \, \text{m} \\ &= 1,30 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La longueur d'onde de l'onde fondamentale est \(\lambda = 1,30 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le mode fondamental d'une corde vibrante correspond au son :

Question 4 : Calcul de la fréquence fondamentale (\(\text{f}\))

Principe :

La fréquence (\(\text{f}\)), la longueur d'onde (\(\lambda\)) et la célérité (\(\text{c}\)) sont liées par la relation \(\text{c} = \lambda \times \text{f}\). On peut donc calculer \(\text{f} = \text{c} / \lambda\).

Données spécifiques :
  • Célérité (\(\text{c}\)) : \(120 \, \text{m/s}\) (calculée à la question 2)
  • Longueur d'onde (\(\lambda\)) : \(1,30 \, \text{m}\) (calculée à la question 3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{f} &= \frac{\text{c}}{\lambda} \\ &= \frac{120 \, \text{m/s}}{1,30 \, \text{m}} \\ &\approx 92,307... \, \text{Hz} \end{aligned} \]

En arrondissant avec un nombre approprié de chiffres significatifs (par exemple 3, comme les données initiales) : \(\text{f} \approx 92,3 \, \text{Hz}\).

Résultat Question 4 : La fréquence fondamentale de vibration de la corde est \(\text{f} \approx 92,3 \, \text{Hz}\).

Question 5 : Calcul de la période (\(\text{T}\)) de la vibration

Principe :

La période (\(\text{T}\)) est l'inverse de la fréquence (\(\text{f}\)) : \(\text{T} = 1/\text{f}\).

Données spécifiques :
  • Fréquence (\(\text{f}\)) : \(92,307... \, \text{Hz}\) (valeur non arrondie de la question 4 pour plus de précision)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{T} &= \frac{1}{\text{f}} \\ &= \frac{1}{92,307... \, \text{Hz}} \\ &\approx 0,01083... \, \text{s} \end{aligned} \]

En arrondissant : \(\text{T} \approx 0,0108 \, \text{s}\) ou \(10,8 \, \text{ms}\).

Résultat Question 5 : La période de la vibration est \(\text{T} \approx 0,0108 \, \text{s}\) (soit \(10,8 \, \text{ms}\)).

Question 6 : Effet d'une augmentation de la tension

Principe :

La célérité de l'onde sur la corde dépend de la tension \(\text{F}_{\text{T}}\) et de la masse linéique \(\mu\) selon \(\text{c} = \sqrt{\text{F}_{\text{T}}/\mu}\). La fréquence fondamentale est liée à la célérité et à la longueur d'onde (\(\text{f} = \text{c}/\lambda\)).

Nouvelle célérité \(\text{c}'\) :
  • Nouvelle tension (\(\text{F}_{\text{T}}'\)) : \(80,0 \, \text{N}\)
  • Masse linéique (\(\mu\)) : \(4,00 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}\) (inchangée)
\[ \begin{aligned} \text{c}' &= \sqrt{\frac{\text{F}_{\text{T}}'}{\mu}} \\ &= \sqrt{\frac{80,0 \, \text{N}}{4,00 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}}} \\ &= \sqrt{20000 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \\ &\approx 141,4 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Effet sur la fréquence fondamentale (qualitativement) :

La longueur de la corde \(\text{L}\) ne change pas, donc la longueur d'onde \(\lambda = 2\text{L}\) du mode fondamental reste la même.

Puisque \(\text{f} = \text{c}/\lambda\) et que \(\lambda\) est constant :

  • Si la tension \(\text{F}_{\text{T}}\) augmente, la célérité \(\text{c} = \sqrt{\text{F}_{\text{T}}/\mu}\) augmente.
  • Si la célérité \(\text{c}\) augmente et que \(\lambda\) reste constante, alors la fréquence fondamentale \(\text{f}\) augmente également.

Le son produit par la corde sera donc plus aigu.

Résultat Question 6 : La nouvelle célérité est \(\text{c}' \approx 141 \, \text{m/s}\). Une augmentation de la tension augmente la célérité et donc la fréquence fondamentale (son plus aigu).

Quiz Intermédiaire 2 : Si on utilise une corde plus lourde (masse linéique \(\mu\) plus grande) avec la même tension et la même longueur, la fréquence fondamentale sera :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La masse linéique d'une corde s'exprime en :

2. La célérité d'une onde sur une corde augmente si :

3. Pour une onde périodique, la longueur d'onde est :

Glossaire

Onde Mécanique
Propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, avec transport d'énergie mais sans transport de matière à grande échelle.
Onde Transversale
Onde pour laquelle la perturbation du milieu est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde (ex: onde sur une corde, vagues).
Masse Linéique (\(\mu\))
Masse par unité de longueur d'un objet filiforme comme une corde. Unité SI : kilogramme par mètre (\(\text{kg/m}\)).
Tension (\(\text{F}_{\text{T}}\) ou \(\text{T}\))
Force exercée par une corde ou un fil tendu. Unité SI : Newton (\(\text{N}\)).
Célérité (\(\text{c}\) ou \(\text{v}\))
Vitesse de propagation d'une onde. Unité SI : mètre par seconde (\(\text{m/s}\)).
Fréquence (\(\text{f}\))
Nombre de cycles (ou d'oscillations) d'une onde par unité de temps. Unité SI : Hertz (\(\text{Hz}\)).
Période (\(\text{T}\))
Durée d'un cycle complet d'une onde. C'est l'inverse de la fréquence (\(\text{T} = 1/\text{f}\)). Unité SI : seconde (\(\text{s}\)).
Longueur d'Onde (\(\lambda\))
Distance parcourue par une onde pendant une période. C'est aussi la distance entre deux points successifs de l'onde vibrant en phase. Unité SI : mètre (\(\text{m}\)).
Mode Fondamental
Mode de vibration d'une corde (ou d'un autre système oscillant) correspondant à la plus basse fréquence possible (et donc à la plus grande longueur d'onde possible dans les conditions données).
Onde Mécanique sur une Corde - Exercice d'Application (Niveau Première)

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