Calcul du Noyau du Fer
Contexte : La cohésion du noyau atomiqueLe phénomène qui assure que les protons et les neutrons restent assemblés au sein du noyau, malgré la répulsion électrique entre les protons..
Au cœur de chaque atome se trouve un noyau, un assemblage incroyablement dense de protons et de neutrons. Comment ces particules parviennent-elles à rester groupées alors que les protons, tous de charge positive, devraient se repousser violemment ? La réponse se trouve dans l'un des concepts les plus profonds de la physique : l'équivalence masse-énergie, décrite par la célèbre équation d'Albert Einstein, \(E=mc^2\). Il s'avère que la masse d'un noyau est toujours légèrement inférieure à la somme des masses de ses composants isolés. Cette différence, appelée "défaut de masse", est convertie en une formidable énergie, l'énergie de liaison, qui assure la stabilité du noyau. Cet exercice vous guidera pour calculer cette énergie pour l'un des noyaux les plus stables de l'univers : le Fer 56.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il connecte des concepts théoriques (l'équivalence masse-énergie) à une propriété mesurable et cruciale de la matière (la stabilité des atomes). Comprendre ce calcul, c'est comprendre l'origine de l'énergie nucléaire.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le défaut de masse d'un noyau à partir de sa composition.
- Appliquer la relation d'équivalence masse-énergie d'Einstein pour déterminer l'énergie de liaison.
- Calculer l'énergie de liaison par nucléon et interpréter sa signification en termes de stabilité nucléaire.
Données de l'étude
Fiche d'Identité du Noyau
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Isotope étudié | Fer 56 (\(^{56}_{26}Fe\)) |
| Nombre de protons (Z) | 26 |
| Nombre de masse (A) | 56 |
Représentation schématique du noyau de Fer 56
| Donnée Physique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Masse d'un proton | \(m_p\) | 1,007 276 u |
| Masse d'un neutron | \(m_n\) | 1,008 665 u |
| Masse du noyau de Fer 56 | \(m_{\text{noyau}}\) | 55,934 938 u |
| Unité de masse atomique | 1 u | \(1,66054 \times 10^{-27}\) kg |
| Célérité de la lumière dans le vide | c | \(2,99792 \times 10^{8}\) m/s |
| Conversion Électron-volt | 1 eV | \(1,60218 \times 10^{-19}\) J |
Questions à traiter
- Déterminer la composition exacte du noyau de Fer 56 (nombre de protons et de neutrons).
- Calculer la masse théorique du noyau, correspondant à la somme des masses de ses nucléons pris séparément.
- Calculer le défaut de masse (\(\Delta m\)) du noyau de Fer 56 en unité de masse atomique (u) puis en kilogrammes (kg).
- En utilisant la relation d'Einstein, calculer l'énergie de liaison (\(E_l\)) du noyau en Joules (J), puis la convertir en Mégaélectron-volts (MeV).
- Calculer l'énergie de liaison par nucléon (\(E_l/A\)) en MeV/nucléon et conclure sur la stabilité du Fer 56.
Les bases sur la Cohésion Nucléaire
La cohésion du noyau atomique est assurée par l'interaction nucléaire forte, une force fondamentale qui est bien plus intense que la répulsion électrostatique entre les protons, mais qui n'agit qu'à très courte distance.
1. Le Défaut de Masse (\(\Delta m\))
Lorsqu'on mesure précisément la masse d'un noyau, on constate qu'elle est toujours inférieure à la somme des masses des protons et des neutrons qui le constituent. Cette différence est le défaut de masse.
\[ \Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_{\text{noyau}} \]
2. L'Énergie de Liaison (\(E_l\))
Selon la célèbre relation d'Einstein, une masse peut être convertie en énergie et vice-versa. Le défaut de masse est directement lié à l'énergie qui lie les nucléons entre eux. Cette énergie de liaison est l'énergie qu'il faudrait fournir au noyau pour le dissocier en ses nucléons isolés.
\[ E_l = \Delta m \cdot c^2 \]
Correction : Calcul du Noyau du Fer
Question 1 : Déterminer la composition du noyau de Fer 56.
Principe
La notation standard d'un noyau, \(^{A}_{Z}X\), nous donne directement toutes les informations nécessaires. 'Z' est le numéro atomique (nombre de protons) et 'A' est le nombre de masse (nombre total de nucléons).
Mini-Cours
Pour tout noyau \(^{A}_{Z}X\) :
- Nombre de protons = Z (numéro atomique)
- Nombre de nucléons = A (nombre de masse)
- Nombre de neutrons N = A - Z
Remarque Pédagogique
Toujours bien identifier A et Z est la première étape cruciale. Une erreur ici se propage inévitablement à tous les calculs suivants. Prenez le temps de bien lire la notation.
Normes
Il ne s'agit pas d'une norme réglementaire au sens de l'ingénierie, mais d'une convention d'écriture universelle établie par l'Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (UICPA). Cette notation garantit que tous les scientifiques lisent et écrivent la même information sans ambiguïté.
Formule(s)
Formule du nombre de neutrons
Hypothèses
On suppose que la notation \(^{56}_{26}Fe\) fournie dans l'énoncé est exacte et suit la convention standard. Aucune autre hypothèse n'est nécessaire pour cette question descriptive.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Notation de l'isotope | \(^{56}_{26}Fe\) |
Astuces
Le nom de l'élément (ici, Fer) vous donne Z (26) si vous avez accès à un tableau périodique. Le nombre qui suit le nom (Fer 56) est toujours le nombre de masse A.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons la notation pour extraire les informations.
Lecture de la notation
Calcul(s)
Identification du nombre de protons
Calcul du nombre de neutrons
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est une description de la composition du noyau.
Composition du Noyau de Fer 56
Réflexions
Cette première étape est purement descriptive mais absolument essentielle. Elle pose les bases pour tous les calculs de masse qui vont suivre. On note que pour le Fer 56, le nombre de neutrons (30) est supérieur au nombre de protons (26), une tendance commune pour les noyaux stables au-delà des éléments les plus légers.
Points de vigilance
Ne pas confondre A et N : L'erreur classique est de prendre le nombre en haut (A) pour le nombre de neutrons. A est toujours le total (protons + neutrons).
Points à retenir
La notation \(^{A}_{Z}X\) est la clé de voûte de la physique nucléaire. Maîtriser sa lecture est non-négociable. Z en bas = protons, A en haut = total.
Le saviez-vous ?
Le nombre de protons (Z) définit l'identité chimique d'un élément. Si on change Z, on change d'élément. En revanche, si on ne change que le nombre de neutrons (N), on obtient un isotope du même élément (par exemple, le Carbone 12 et le Carbone 14 sont deux isotopes du carbone).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la composition du noyau d'Uranium \(^{235}_{92}U\) ?
Question 2 : Calculer la masse théorique des nucléons séparés.
Principe
Il s'agit de calculer la masse qu'aurait l'ensemble des 26 protons et 30 neutrons s'ils étaient des particules libres, avant d'être assemblées dans le noyau. On additionne simplement les masses individuelles de chaque constituant.
Mini-Cours
La masse d'un système de particules non-liées est simplement la somme des masses de chaque particule. C'est un principe de base de la physique classique qui nous sert ici de point de départ avant de considérer les effets relativistes de la liaison.
Remarque Pédagogique
Cette étape est un calcul "fictif" mais indispensable. Il établit la masse de référence à partir de laquelle on va pouvoir quantifier la "masse perdue" lors de la formation du noyau. C'est le point de comparaison essentiel.
Normes
Les valeurs des masses du proton et du neutron sont des constantes fondamentales de la physique, déterminées expérimentalement et maintenues par des organismes internationaux comme le CODATA (Committee on Data for Science and Technology).
Formule(s)
Formule de la masse théorique
Hypothèses
On utilise les valeurs des masses au repos pour le proton et le neutron. On néglige les effets relativistes liés à leur vitesse éventuelle avant la liaison, car on s'intéresse à la masse intrinsèque des particules.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Nombre de protons | Z | 26 |
| Nombre de neutrons | N | 30 |
| Masse d'un proton | \(m_p\) | 1,007 276 u |
| Masse d'un neutron | \(m_n\) | 1,008 665 u |
Astuces
Pour éviter les erreurs de calcul, calculez séparément la masse totale des protons (\(Z \cdot m_p\)) et la masse totale des neutrons (\(N \cdot m_n\)) avant de les additionner. Gardez un maximum de chiffres significatifs pendant les calculs intermédiaires.
Schéma (Avant les calculs)
On peut se représenter cette étape comme la mise sur une balance de tous les constituants du noyau, mais avant qu'ils ne soient assemblés.
"Pesée" des nucléons isolés
Calcul(s)
Masse totale des protons
Masse totale des neutrons
Somme des masses (masse théorique)
Schéma (Après les calculs)
Le calcul est terminé, nous avons notre masse de référence.
Résultat de la pesée théorique
Réflexions
Cette masse théorique est la référence à laquelle nous allons comparer la masse réelle du noyau. Il est logique et attendu qu'elle soit supérieure à la masse du noyau de Fer 56 donnée dans l'énoncé (55,934 938 u).
Points de vigilance
Attention à ne pas utiliser la masse de l'atome d'hydrogène à la place de celle du proton. L'atome d'hydrogène contient un électron, dont la masse est faible mais non nulle et fausserait le calcul.
Points à retenir
La masse théorique d'un noyau est la somme arithmétique des masses de ses constituants. C'est une valeur de référence, pas une masse physique observable pour un noyau lié.
Le saviez-vous ?
La différence entre la masse du neutron et celle du proton (le neutron est légèrement plus lourd) est cruciale. Elle explique pourquoi un neutron isolé peut se désintégrer en un proton (et d'autres particules), alors que l'inverse n'est pas possible spontanément.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la masse théorique d'un noyau d'Hélium 4 (\(^{4}_{2}He\)), composé de 2 protons et 2 neutrons.
Question 3 : Calculer le défaut de masse (\(\Delta m\)) en u, puis en kg.
Principe
Le défaut de masse est la différence concrète entre la masse théorique des composants (calculée à la question 2) et la masse réellement mesurée du noyau assemblé. C'est cette "masse disparue" qui s'est transformée en énergie de liaison.
Mini-Cours
Le concept de défaut de masse est une conséquence directe de la relativité restreinte. La masse n'est pas une quantité absolument conservée ; c'est le couple masse-énergie qui l'est. En se liant, le système (le noyau) atteint un état d'énergie plus faible, et cette perte d'énergie se traduit par une perte de masse équivalente.
Remarque Pédagogique
C'est le moment clé où l'on quantifie le phénomène. Le chiffre que vous allez trouver, bien que petit, est la source de l'immense énergie libérée par les réactions nucléaires. Chaque étape doit être menée avec précision.
Normes
La conversion entre l'unité de masse atomique (u) et le kilogramme (kg) est une constante physique fondamentale dont la valeur est fixée par le CODATA.
Formule(s)
Formule du défaut de masse
Hypothèses
On suppose que les masses fournies dans l'énoncé sont des masses au repos et suffisamment précises pour nos calculs. On utilise la valeur de conversion u-kg fournie.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Masse théorique | \(m_{\text{théorique}}\) | 56,449 126 u |
| Masse du noyau de Fer 56 | \(m_{\text{noyau}}\) | 55,934 938 u |
| Conversion u vers kg | 1 u | \(1,66054 \times 10^{-27}\) kg |
Astuces
Pour la conversion, rappelez-vous que vous passez d'une unité "grande" (u) à une unité "petite" (kg) en termes de valeur numérique, donc le résultat en kg sera un très petit nombre, avec une grande puissance négative de 10.
Schéma (Avant les calculs)
On compare la masse des pièces détachées à la masse du produit fini.
Comparaison des Masses
Calcul(s)
Calcul du défaut de masse en unité de masse atomique (u)
Conversion du défaut de masse en kilogrammes (kg)
Schéma (Après les calculs)
Nous avons quantifié la masse "perdue".
Valeur du Défaut de Masse
Réflexions
Le défaut de masse est positif, ce qui confirme que le noyau lié est moins massif que ses constituants. Bien que la valeur en kg semble infime, la puissance de la relation \(E=mc^2\) (avec \(c^2\) étant un nombre gigantesque) va transformer cette petite masse en une énergie considérable.
Points de vigilance
L'inversion des termes : C'est l'erreur la plus fréquente. Assurez-vous de faire (Masse théorique) - (Masse réelle). Un défaut de masse négatif est un signe d'erreur.
Précision : Conservez tous les chiffres significatifs des masses données pour le calcul du défaut de masse. Arrondir trop tôt peut entraîner une erreur importante sur le résultat final.
Points à retenir
Le défaut de masse est la manifestation physique du concept d'énergie de liaison. Il est la preuve tangible que masse et énergie sont deux facettes d'une même réalité.
Le saviez-vous ?
Même les réactions chimiques ordinaires (comme une combustion) s'accompagnent d'un défaut de masse infime, bien trop petit pour être mesuré. En revanche, dans les réactions nucléaires, la variation de masse est environ un million de fois plus grande et devient significative.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
La masse du noyau d'Hélium 4 est de 4,002602 u. En utilisant la masse théorique de 4,031882 u (calculée précédemment), quel est son défaut de masse en u ?
Question 4 : Calculer l'énergie de liaison (\(E_l\)) en Joules (J) et en Mégaélectron-volts (MeV).
Principe
On applique la célèbre relation d'équivalence masse-énergie d'Einstein au défaut de masse. L'énergie de liaison est l'équivalent énergétique de cette "masse manquante", multipliée par le facteur de conversion colossal \(c^2\).
Mini-Cours
L'équation \(E=mc^2\) est au cœur de la physique moderne. Elle stipule que l'énergie (E) d'un système au repos est égale à sa masse (m) multipliée par le carré de la vitesse de la lumière (c). Dans notre cas, l'énergie de liaison (\(E_l\)) correspond à l'énergie associée au défaut de masse (\(\Delta m\)).
Remarque Pédagogique
C'est ici que la magie opère. Vous allez voir comment une masse qui paraissait insignifiante se transforme en une quantité d'énergie énorme à l'échelle de la particule. Faites très attention aux unités et aux puissances de dix.
Normes
La valeur de la célérité de la lumière, \(c\), est une constante fondamentale universelle, définie comme exacte par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). La valeur de la charge élémentaire utilisée pour la conversion J-eV est également une constante CODATA.
Formule(s)
Relation d'Einstein
Hypothèses
On effectue le calcul dans le cadre de la relativité restreinte. On suppose que toute la masse manquante est convertie en énergie de liaison, sans autres pertes.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Défaut de masse en kg | \(\Delta m\) | \(8,5382 \times 10^{-28}\) kg |
| Célérité de la lumière | c | \(2,99792 \times 10^{8}\) m/s |
| Conversion eV vers J | 1 eV | \(1,60218 \times 10^{-19}\) J |
Astuces
Un raccourci utile : 1 u de masse correspond à environ 931,5 MeV d'énergie (\(1\text{ u} \cdot c^2 \approx 931,5 \text{ MeV}\)). Vous pouvez multiplier directement le défaut de masse en u par 931,5 pour obtenir l'énergie en MeV et vérifier votre calcul complet.
Schéma (Avant les calculs)
Le défaut de masse entre dans la "machine à convertir" d'Einstein.
Conversion Masse-Énergie
Calcul(s)
Calcul de l'énergie de liaison en Joules (J)
Conversion en Mégaélectron-volts (MeV)
Schéma (Après les calculs)
Le résultat de la conversion.
Énergie de Liaison Obtenue
Réflexions
Une énergie de 479 MeV est absolument colossale pour un seul noyau atomique. À titre de comparaison, l'énergie libérée par la rupture d'une liaison chimique typique est de l'ordre de quelques eV seulement. L'énergie nucléaire est donc environ 100 millions de fois plus concentrée que l'énergie chimique.
Points de vigilance
Unités du Système International : Pour utiliser \(E=mc^2\) et obtenir un résultat en Joules, la masse DOIT être en kilogrammes (kg) et la vitesse en mètres par seconde (m/s). Ne jamais faire le calcul avec la masse en 'u'.
Carré de c : N'oubliez pas d'élever la vitesse de la lumière au carré. C'est une erreur fréquente.
Points à retenir
\(E_l = \Delta m \cdot c^2\) est la formule qui quantifie l'énergie de cohésion du noyau. Le passage du Joule au MeV est une conversion standard en physique nucléaire.
Le saviez-vous ?
La première vérification expérimentale de \(E=mc^2\) a été réalisée en 1932 par Cockcroft et Walton, en bombardant une cible de Lithium avec des protons. Ils ont mesuré l'énergie des particules produites et ont constaté qu'elle correspondait précisément au défaut de masse de la réaction.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant l'astuce (1 u \(\approx\) 931,5 MeV), calculez l'énergie de liaison de l'Hélium 4, dont le défaut de masse est de 0,02928 u.
Question 5 : Calculer l'énergie de liaison par nucléon (\(E_l/A\)) et conclure.
Principe
Pour comparer équitablement la stabilité de différents noyaux, on ne peut pas se contenter de leur énergie de liaison totale (un gros noyau aura toujours une \(E_l\) plus grande). On calcule donc l'énergie de liaison moyenne par particule (nucléon). C'est le véritable indicateur de la force de cohésion du noyau.
Mini-Cours
La courbe représentant \(E_l/A\) en fonction de A est appelée courbe d'Aston. Elle montre que la stabilité augmente rapidement pour les noyaux légers (fusion), atteint un maximum autour de A=60 (comme le Fer), puis décroît lentement pour les noyaux lourds (fission). Cette courbe est la clé pour comprendre pourquoi la fusion et la fission libèrent de l'énergie.
Remarque Pédagogique
C'est la conclusion de notre étude. Le chiffre que vous obtiendrez n'est pas juste un résultat, c'est une information physique profonde sur la place du Fer dans l'univers. C'est l'étape de l'interprétation.
Normes
Il n'y a pas de norme ici, mais le résultat de ce calcul est une donnée fondamentale en astrophysique et en physique nucléaire, qui explique la composition des étoiles et la distribution des éléments dans l'univers.
Formule(s)
Formule de l'énergie de liaison par nucléon
Hypothèses
On suppose que l'énergie de liaison est répartie de manière égale entre tous les nucléons pour obtenir cette valeur moyenne. En réalité, les nucléons en surface sont un peu moins liés que ceux au centre, mais cette moyenne est un excellent indicateur.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Énergie de liaison totale | \(E_l\) | 479,0 MeV |
| Nombre de masse (nucléons) | A | 56 |
Astuces
Le calcul est une simple division. L'important est de ne pas oublier l'unité finale : "MeV par nucléon" (MeV/nucléon).
Schéma (Avant les calculs)
On répartit l'énergie totale sur l'ensemble des constituants.
Répartition de l'Énergie
Calcul(s)
Calcul de l'énergie de liaison par nucléon
Schéma (Après les calculs)
Ce résultat place le Fer 56 au sommet de la courbe de stabilité (courbe d'Aston).
Position sur la Courbe d'Aston
Réflexions
Avec environ 8,55 MeV par nucléon, le Fer 56 est l'un des noyaux les plus fortement liés. Cela signifie qu'il faut une quantité d'énergie considérable pour arracher un nucléon de ce noyau. C'est cette très grande stabilité qui explique pourquoi le fer est un "cul-de-sac" énergétique : la fusion des éléments plus légers et la fission des éléments plus lourds tendent toutes deux à produire des noyaux dont la stabilité se rapproche de celle du fer.
Points de vigilance
Ne pas oublier de diviser par A ! Une erreur fréquente est de s'arrêter à l'énergie de liaison totale (\(E_l\)) et de conclure à partir de cette valeur, ce qui n'a pas de sens pour comparer la stabilité entre différents atomes.
Points à retenir
L'énergie de liaison par nucléon (\(E_l/A\)) est LA mesure de la stabilité d'un noyau. Plus elle est élevée, plus le noyau est stable. Le Fer 56 est proche du maximum de cette courbe.
Le saviez-vous ?
Bien que le Fer 56 soit souvent cité comme le noyau le plus stable, c'est en réalité l'isotope Nickel 62 qui possède l'énergie de liaison par nucléon la plus élevée. Cependant, les conditions dans le cœur des étoiles favorisent la production de Fer 56, ce qui en fait l'élément lourd le plus abondant.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
L'énergie de liaison de l'Hélium 4 est de 27,27 MeV. Quelle est son énergie de liaison par nucléon ? Est-il plus ou moins stable que le Fer 56 ?
Outil Interactif : Calculateur de Défaut de Masse
Utilisez ce simulateur pour calculer rapidement le défaut de masse et l'énergie de liaison pour n'importe quel noyau. Entrez le nombre de protons (Z), de neutrons (N) et la masse mesurée du noyau en unité de masse atomique (u).
Paramètres du Noyau
Résultats Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Le défaut de masse représente...
2. Quelle relation lie le défaut de masse \(\Delta m\) à l'énergie de liaison \(E_l\) ?
3. Une énergie de liaison par nucléon élevée est un indicateur d'un noyau...
4. Pour calculer l'énergie en Joules avec \(E_l = \Delta m \cdot c^2\), l'unité de \(\Delta m\) doit être le...
5. Le Fer 56 est un des éléments les plus stables car...
- Nucléon
- Nom générique donné aux particules constituant le noyau atomique : les protons et les neutrons.
- Défaut de Masse
- Différence entre la masse totale des nucléons isolés et la masse réelle du noyau. Cette "masse manquante" est convertie en énergie de liaison.
- Énergie de Liaison
- L'énergie qu'il faudrait fournir à un noyau pour le séparer en ses protons et neutrons constitutifs. Elle mesure la cohésion du noyau.
- Unité de masse atomique (u)
- Unité de masse standard utilisée en physique nucléaire, définie comme le douzième de la masse d'un atome de Carbone 12. Elle est pratique pour manipuler les masses très faibles des particules subatomiques.
- Électron-volt (eV)
- Unité d'énergie adaptée à l'échelle atomique et nucléaire. 1 eV est l'énergie acquise par un électron accéléré par une différence de potentiel de 1 volt. On utilise souvent son multiple, le Mégaélectron-volt (1 MeV = \(10^6\) eV).
D’autres exercices de physique terminale:
0 commentaires