Calcul de la Vitesse et de la Période d’un Satellite
Comprendre les principes du mouvement circulaire uniforme des satellites en orbite et calculer leur vitesse et période de révolution.
Les satellites, qu'ils soient naturels (comme la Lune) ou artificiels, orbitent autour d'un corps céleste (comme la Terre) sous l'effet de la force de gravitation. Pour une orbite circulaire, cette force gravitationnelle est la force centripète qui maintient le satellite sur sa trajectoire.
La force de gravitation exercée par un corps de masse \(M\) sur un corps de masse \(m\) distant de \(r\) (distance entre leurs centres) est donnée par la loi de Newton :
Où \(G\) est la constante gravitationnelle universelle.
Pour un objet de masse \(m\) en mouvement circulaire uniforme à une vitesse \(v\) sur une orbite de rayon \(r\), la force centripète nécessaire est :
En égalant ces deux forces, on peut déterminer la vitesse orbitale. La période de révolution \(T\) est le temps mis par le satellite pour effectuer un tour complet de son orbite.
Données du Problème
Un satellite artificiel de masse \(m_s\) est en orbite circulaire autour de la Terre à une altitude \(h\) au-dessus de la surface terrestre.
- Masse de la Terre (\(M_T\)) : \(5.97 \times 10^{24} \text{ kg}\)
- Rayon équatorial de la Terre (\(R_T\)) : \(6378 \text{ km}\)
- Constante gravitationnelle universelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
- Altitude du satellite (\(h\)) : \(500 \text{ km}\)
- Masse du satellite (\(m_s\)) : \(1200 \text{ kg}\) (Note : cette masse ne sera pas nécessaire pour calculer la vitesse et la période pour une orbite donnée, mais elle est fournie pour information).
Questions
- Convertir le rayon de la Terre \(R_T\) et l'altitude \(h\) du satellite en mètres.
- Calculer le rayon \(r\) de l'orbite circulaire du satellite.
- Écrire l'expression littérale de la force de gravitation \(F_g\) exercée par la Terre sur le satellite en fonction de \(G, M_T, m_s\) et \(r\).
- En appliquant la deuxième loi de Newton au satellite en mouvement circulaire uniforme, établir l'expression littérale de sa vitesse orbitale \(v\) en fonction de \(G, M_T\) et \(r\). Montrer que cette vitesse ne dépend pas de la masse du satellite \(m_s\).
- Calculer la valeur numérique de la vitesse orbitale \(v\) du satellite en m/s, puis en km/h.
- Donner l'expression littérale de la période de révolution \(T\) du satellite en fonction de \(r\) et \(v\), puis en fonction de \(G, M_T\) et \(r\).
- Calculer la valeur numérique de la période de révolution \(T\) en secondes, puis en heures et minutes.
Correction : Calcul de la Vitesse et de la Période d’un Satellite
1. Conversion des Distances en Mètres
Les constantes et les formules utilisent généralement les unités du Système International (SI). Il est donc nécessaire de convertir les kilomètres en mètres. Rappel : \(1 \text{ km} = 1000 \text{ m} = 10^3 \text{ m}\).
Rayon de la Terre :
Altitude du satellite :
\(R_T = 6.378 \times 10^6 \text{ m}\) et \(h = 0.500 \times 10^6 \text{ m}\).
2. Calcul du Rayon de l'Orbite \(r\)
Le rayon de l'orbite \(r\) est la distance entre le centre de la Terre et le satellite. Il est égal à la somme du rayon de la Terre \(R_T\) et de l'altitude \(h\) du satellite.
Le rayon de l'orbite du satellite est \(r = 6.878 \times 10^6 \text{ m}\).
3. Expression de la Force de Gravitation \(F_g\)
La force de gravitation exercée par la Terre (masse \(M_T\)) sur le satellite (masse \(m_s\)) lorsque leurs centres sont séparés par une distance \(r\) est donnée par la loi de la gravitation universelle de Newton.
Cette force est attractive et dirigée du satellite vers le centre de la Terre.
L'expression de la force de gravitation est \(F_g = G \frac{M_T m_s}{r^2}\).
4. Expression de la Vitesse Orbitale \(v\)
Le satellite est en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre. La force de gravitation \(F_g\) est la force centripète \(F_c\) qui maintient le satellite sur son orbite. L'accélération centripète est \(a_c = \frac{v^2}{r}\). D'après la deuxième loi de Newton, \(\Sigma \vec{F}_{ext} = m_s \vec{a}\). Ici, la seule force est \(\vec{F}_g\).
En norme, pour un mouvement circulaire uniforme :
On peut simplifier par \(m_s\) (la masse du satellite) et par \(r\) (si \(r \neq 0\)) :
On constate que la vitesse orbitale \(v\) ne dépend pas de la masse du satellite \(m_s\), mais uniquement de la masse du corps central (\(M_T\)), de la constante gravitationnelle (\(G\)), et du rayon de l'orbite (\(r\)).
L'expression de la vitesse orbitale est \(v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}\). Elle ne dépend pas de la masse du satellite.
Quiz Intermédiaire : Force Centripète
5. Calcul de la Vitesse Orbitale \(v\)
On utilise l'expression \(v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}\) avec les valeurs numériques.
Données : \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\), \(M_T = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}\), \(r = 6.878 \times 10^6 \text{ m}\).
Conversion en km/h : \(1 \text{ m/s} = 3.6 \text{ km/h}\)
La vitesse orbitale du satellite est \(v \approx 7611 \text{ m/s}\), soit environ \(27400 \text{ km/h}\).
6. Expression Littérale de la Période de Révolution \(T\)
La période \(T\) est le temps mis pour parcourir la circonférence de l'orbite (\(2\pi r\)) à la vitesse \(v\). \[ T = \frac{2\pi r}{v} \] On peut aussi l'exprimer en fonction de \(G, M_T\) et \(r\) en substituant l'expression de \(v\).
En substituant \(v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}\) :
Cette dernière expression est une forme de la troisième loi de Kepler (\(T^2 \propto r^3\)).
Expressions littérales de la période : \(T = \frac{2\pi r}{v}\) ou \(T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}\).
7. Calcul Numérique de la Période de Révolution \(T\)
On utilise l'une des expressions de \(T\) avec les valeurs numériques. Utilisons \(T = \frac{2\pi r}{v}\) pour simplifier.
Données : \(r = 6.878 \times 10^6 \text{ m}\), \(v \approx 7611.26 \text{ m/s}\), \(\pi \approx 3.1416\).
Conversion en heures et minutes :
\(1 \text{ heure} = 3600 \text{ s}\)
Donc, \(T \approx 1 \text{ heure et } 34.6 \text{ minutes}\).
La période de révolution du satellite est \(T \approx 5678 \text{ s}\), soit environ 1 heure et 34.6 minutes.
Quiz Intermédiaire : Période Orbitale
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Glossaire des Termes Clés
Satellite :
Corps céleste naturel ou artificiel qui orbite autour d'un autre corps céleste plus massif (planète, étoile).
Orbite Circulaire :
Trajectoire d'un satellite qui décrit un cercle autour du corps central.
Force de Gravitation :
Force d'attraction mutuelle entre deux corps massifs, décrite par la loi de Newton.
Force Centripète :
Force dirigée vers le centre d'une trajectoire circulaire, nécessaire pour maintenir un objet en mouvement circulaire.
Vitesse Orbitale (\(v\)) :
Vitesse d'un satellite sur son orbite.
Période de Révolution (\(T\)) :
Temps mis par un satellite pour effectuer un tour complet de son orbite.
Constante Gravitationnelle (\(G\)) :
Constante fondamentale de la physique qui intervient dans la loi de la gravitation universelle.
Altitude (\(h\)) :
Hauteur d'un satellite par rapport à la surface du corps central.
Rayon de l'Orbite (\(r\)) :
Distance entre le centre du corps central et le satellite. Pour une orbite autour de la Terre, \(r = R_T + h\).
Lois de Kepler :
Lois décrivant le mouvement des planètes autour du Soleil (et par extension, des satellites). La troisième loi relie la période et le demi-grand axe de l'orbite.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la masse du satellite influence-t-elle l'énergie nécessaire pour le mettre en orbite, même si elle n'influence pas sa vitesse ou sa période une fois en orbite ?
2. Qu'est-ce qu'une orbite géostationnaire ? Quelles sont ses caractéristiques (altitude, période) et ses applications ?
3. Si l'orbite d'un satellite n'est pas parfaitement circulaire mais elliptique, comment sa vitesse varie-t-elle au cours de son orbite (deuxième loi de Kepler ou loi des aires) ?
4. Comment la présence de l'atmosphère terrestre affecte-t-elle les satellites en orbite basse ?
5. Quelle est l'énergie mécanique totale d'un satellite en orbite circulaire ? Est-elle positive ou négative ? Qu'est-ce que cela signifie ?
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