Calcul de la Différence de Pression Hydrostatique
Comprendre et calculer la pression hydrostatique à différentes profondeurs dans un fluide et la force pressante résultante.
La pression hydrostatique est la pression exercée par un fluide au repos en un point donné, due au poids de la colonne de fluide située au-dessus de ce point. Elle augmente avec la profondeur.
La pression absolue \(P\) à une profondeur \(h\) dans un fluide de masse volumique \(\rho\) est donnée par la loi fondamentale de l'hydrostatique :
Où :
- \(P_0\) est la pression à la surface libre du fluide (souvent la pression atmosphérique \(P_{atm}\)).
- \(\rho\) (rho) est la masse volumique du fluide (en kg/m³).
- \(g\) est l'accélération due à la pesanteur (en m/s²).
- \(h\) est la profondeur à partir de la surface libre (en m).
La force pressante \(\vec{F}\) exercée par un fluide sur une surface plane \(S\) est perpendiculaire à cette surface et sa norme est \(F = P \times S\), où \(P\) est la pression moyenne sur la surface.
Données du Problème
On considère un réservoir ouvert à l'air libre, rempli d'eau.
- Masse volumique de l'eau (\(\rho_{eau}\)) : \(1000 \text{ kg/m}^3\)
- Accélération due à la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \text{ m/s}^2\)
- Pression atmosphérique à la surface de l'eau (\(P_{atm}\)) : \(1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\) (Pascals)
- Profondeur du point A (\(h_A\)) : \(2.0 \text{ m}\)
- Profondeur du point B (\(h_B\)) : \(5.0 \text{ m}\)
- Surface d'un petit clapet horizontal situé à la profondeur \(h_A\) (\(S_{clapet}\)) : \(10 \text{ cm}^2\)
Questions
- Rappeler la formule donnant la pression absolue \(P\) à une profondeur \(h\) dans un fluide.
- Convertir la surface du clapet \(S_{clapet}\) en mètres carrés (m²).
- Calculer la pression absolue \(P_A\) au point A (à la profondeur \(h_A\)).
- Calculer la pression absolue \(P_B\) au point B (à la profondeur \(h_B\)).
- Calculer la différence de pression \(\Delta P = P_B - P_A\) entre les points B et A.
- Cette différence de pression \(\Delta P\) dépend-elle de la pression atmosphérique \(P_{atm}\) ? Justifier.
- Calculer la norme de la force pressante \(\vec{F}_{clapet}\) exercée par l'eau sur la surface supérieure du clapet situé à la profondeur \(h_A\).
Correction : Calcul de la Différence de Pression Hydrostatique
1. Formule de la Pression Absolue
La pression absolue \(P\) à une profondeur \(h\) dans un fluide incompressible de masse volumique \(\rho\), dont la surface libre est soumise à une pression \(P_0\), est donnée par la loi fondamentale de l'hydrostatique.
Où \(g\) est l'accélération de la pesanteur.
La formule est \(P = P_0 + \rho g h\).
2. Conversion de la Surface du Clapet \(S_{clapet}\)
La surface est donnée en cm². Pour les calculs de force où la pression est en Pascals (N/m²), la surface doit être en m². Rappel : \(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\), donc \(1 \text{ m}^2 = (100 \text{ cm})^2 = 10000 \text{ cm}^2 = 10^4 \text{ cm}^2\). Donc, \(1 \text{ cm}^2 = 10^{-4} \text{ m}^2\).
Donnée : \(S_{clapet} = 10 \text{ cm}^2\).
La surface du clapet est \(S_{clapet} = 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^2\).
3. Calcul de la Pression Absolue \(P_A\) au Point A
On applique la loi fondamentale de l'hydrostatique au point A. La pression à la surface libre est la pression atmosphérique \(P_{atm}\).
Données : \(P_{atm} = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\), \(\rho_{eau} = 1000 \text{ kg/m}^3\), \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\), \(h_A = 2.0 \text{ m}\).
La pression absolue au point A est \(P_A \approx 1.209 \times 10^5 \text{ Pa}\).
Quiz Intermédiaire : Pression Hydrostatique
4. Calcul de la Pression Absolue \(P_B\) au Point B
On applique la même loi au point B, situé à la profondeur \(h_B\).
Données : \(P_{atm} = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\), \(\rho_{eau} = 1000 \text{ kg/m}^3\), \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\), \(h_B = 5.0 \text{ m}\).
La pression absolue au point B est \(P_B \approx 1.504 \times 10^5 \text{ Pa}\).
5. Différence de Pression \(\Delta P = P_B - P_A\)
La différence de pression entre les points B et A est simplement la soustraction de leurs pressions absolues. Alternativement, \(\Delta P = (P_{atm} + \rho g h_B) - (P_{atm} + \rho g h_A) = \rho g (h_B - h_A)\).
En utilisant les valeurs calculées :
En utilisant la formule alternative : \(h_B - h_A = 5.0 \text{ m} - 2.0 \text{ m} = 3.0 \text{ m}\).
La différence de pression entre les points B et A est \(\Delta P = 29430 \text{ Pa}\).
6. Dépendance de \(\Delta P\) par rapport à \(P_{atm}\)
Nous avons vu que \(\Delta P = \rho g (h_B - h_A)\). Cette expression ne contient pas le terme \(P_{atm}\).
La différence de pression hydrostatique entre deux points dans un même fluide incompressible ne dépend que de la différence de profondeur verticale entre ces points, de la masse volumique du fluide et de l'accélération de la pesanteur. Elle est indépendante de la pression exercée à la surface libre du fluide (pression atmosphérique).
Non, la différence de pression \(\Delta P\) entre deux points d'un fluide au repos ne dépend pas de la pression atmosphérique.
7. Norme de la Force Pressante \(\vec{F}_{clapet}\)
La force pressante \(F\) exercée par un fluide sur une surface \(S\) est donnée par \(F = P \times S\), où \(P\) est la pression du fluide sur cette surface. Le clapet est situé à la profondeur \(h_A\), où la pression est \(P_A\).
Données : \(P_A \approx 120920 \text{ Pa}\), \(S_{clapet} = 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^2\).
La norme de la force pressante exercée par l'eau sur le clapet est \(F_{clapet} \approx 120.9 \text{ N}\).
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Glossaire des Termes Clés
Pression (\(P\)) :
Force exercée par unité de surface. \(P = F/S\). Unité SI : Pascal (Pa).
Pression Hydrostatique :
Pression exercée par un fluide au repos en un point, due au poids de la colonne de fluide au-dessus de ce point.
Masse Volumique (\(\rho\)) :
Masse d'une substance par unité de volume. Unité SI : kg/m³.
Pascal (Pa) :
Unité de pression du Système International, équivalant à un Newton par mètre carré (1 Pa = 1 N/m²).
Pression Atmosphérique (\(P_{atm}\)) :
Pression exercée par l'atmosphère terrestre. Au niveau de la mer, elle est en moyenne de \(101325 \text{ Pa}\).
Pression Absolue :
Pression totale en un point, incluant la pression atmosphérique si la surface du fluide est ouverte à l'air.
Pression Relative (ou Manométrique) :
Différence entre la pression absolue et la pression atmosphérique. \(P_{relative} = P_{absolue} - P_{atm}\).
Force Pressante :
Force totale exercée par un fluide sur une surface. Elle est perpendiculaire à la surface et sa norme est \(F = P \times S\).
Loi Fondamentale de l'Hydrostatique :
Relation qui lie la différence de pression entre deux points d'un fluide au repos à la différence de profondeur et à la masse volumique du fluide : \(\Delta P = \rho g \Delta h\).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la pression varie-t-elle dans un gaz, par rapport à un liquide, en fonction de l'altitude ou de la profondeur ? Pourquoi cette différence ?
2. Expliquer le principe de fonctionnement d'un baromètre à mercure pour mesurer la pression atmosphérique.
3. Qu'est-ce que la poussée d'Archimède et comment est-elle liée à la différence de pression hydrostatique ?
4. Comment la pression est-elle utilisée dans les systèmes hydrauliques (par exemple, les freins d'une voiture ou un cric hydraulique) ? Quel principe est fondamental ici ?
5. Si le réservoir était fermé et qu'une pression différente de la pression atmosphérique était appliquée à la surface du liquide, comment cela affecterait-il la pression aux points A et B, ainsi que la différence de pression \(\Delta P\) ?
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