Calcul de la Vitesse et de la Période d’un Satellite
Contexte : La mécanique céleste.
Les satellites, qu'ils soient naturels comme la Lune ou artificiels comme ceux que nous utilisons pour les télécommunications ou le GPS, obéissent aux lois fondamentales de la physique. Leur mouvement autour d'un astre, comme la Terre, est principalement régi par la force de gravitationForce d'attraction mutuelle entre deux corps massifs. Elle est responsable du maintien des planètes en orbite autour du Soleil et des satellites autour des planètes.. Dans cet exercice, nous allons étudier le cas d'un satellite en orbite circulaireTrajectoire circulaire d'un objet autour d'un point central, où la vitesse est constante en norme mais sa direction change continuellement. uniforme, un modèle simple mais très puissant pour comprendre les principes de base du vol spatial.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la deuxième loi de Newton dans un contexte autre que les mouvements terrestres. Il vous permettra de manipuler le repère de Frenet et de faire le lien entre la dynamique (les forces) et la cinématique (vitesse, accélération, période).
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la deuxième loi de Newton à un satellite en orbite circulaire.
- Établir l'expression littérale de la vitesse et de la période de révolution d'un satellite.
- Effectuer des calculs numériques et analyser la cohérence des résultats.
- Comprendre la particularité d'un satellite géostationnaireUn satellite qui orbite la Terre au-dessus de l'équateur à une altitude telle que sa période de révolution est exactement égale à la période de rotation de la Terre (23h 56min 4s). Il apparaît donc fixe depuis le sol..
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Masse de la Terre | \(M_T\) | \(5,97 \times 10^{24} \text{ kg}\) |
| Rayon moyen de la Terre | \(R_T\) | \(6371 \text{ km}\) |
| Altitude du satellite | \(h\) | \(35 \ 786 \text{ km}\) |
| Constante de gravitation universelle | \(G\) | \(6,67 \times 10^{-11} \text{ N.m}^2\text{.kg}^{-2}\) |
Schéma de la situation
Questions à traiter
- Représenter sur un schéma la force d'interaction gravitationnelle \(\vec{F}_{T/s}\) exercée par la Terre sur le satellite.
- Donner l'expression vectorielle de cette force dans le repère de Frenet \((\vec{t}, \vec{n})\), dont l'origine est le satellite.
- En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l'expression de l'accélération \(\vec{a}\) du satellite.
- Montrer que la vitesse \(v\) du satellite a pour expression \(v = \sqrt{\frac{G M_T}{R_T + h}}\) puis calculer sa valeur en m/s.
- Définir la période de révolution \(T\) du satellite et montrer que son expression est \(T = 2\pi \sqrt{\frac{(R_T+h)^3}{G M_T}}\). Calculer sa valeur et conclure sur la nature de ce satellite.
Les bases de la mécanique spatiale
Pour décrire le mouvement des satellites, trois outils principaux sont nécessaires : la loi de la gravitation, la deuxième loi de Newton et la description du mouvement circulaire.
1. Loi de la gravitation universelle
Deux corps ponctuels, A et B, de masses \(m_A\) et \(m_B\), séparés par une distance \(d\), exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction opposées, dirigées par la droite (AB) et de même valeur :
\[ F_{A/B} = F_{B/A} = G \frac{m_A m_B}{d^2} \]
2. Deuxième loi de Newton
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par son vecteur accélération.
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]
3. Mouvement circulaire uniforme
Pour un objet en mouvement circulaire de rayon \(r\) à une vitesse de norme constante \(v\), le vecteur accélération est centripète (dirigé vers le centre du cercle) et sa norme est :
\[ a = \frac{v^2}{r} \]
La période de révolution \(T\) est le temps mis pour faire un tour complet : \(v = \frac{2\pi r}{T}\).
Correction : Calcul de la Vitesse et de la Période d’un Satellite
Question 1 : Représenter sur un schéma la force d'interaction gravitationnelle
Principe
Le concept physique est celui de la gravitation universelle : la Terre attire le satellite. Cette force est donc une flèche (un vecteur) qui part du satellite et qui pointe vers le centre de la Terre.
Mini-Cours
Une force en physique est modélisée par un vecteur, qui possède quatre caractéristiques : un point d'application (où la force agit), une direction (la droite sur laquelle elle agit), un sens (vers où elle pointe) et une norme (son intensité, en Newtons). Pour la gravitation, le point d'application est le satellite, la direction est la droite reliant le satellite au centre de la Terre, et le sens est vers la Terre.
Remarque Pédagogique
Un schéma propre est la moitié du travail accompli. Il permet de poser ses idées et de s'assurer qu'on a bien compris la situation physique avant de commencer à écrire des équations.
Hypothèses
On suppose que le satellite peut être représenté par un point, et la Terre par une sphère. La force s'applique donc au centre du satellite et est dirigée vers le centre de la sphère terrestre.
Astuces
Pour un dessin clair, il n'est pas nécessaire de respecter les échelles de taille ou de distance, mais il est crucial de bien représenter les directions et les sens des vecteurs.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de la force gravitationnelle
Réflexions
Ce schéma montre que la force est toujours perpendiculaire à la trajectoire (si on l'imagine un instant plus tard). C'est cette force "centripète" qui courbe la trajectoire et maintient le satellite en orbite sans changer sa vitesse.
Schéma (Après les calculs)
Schéma de la force gravitationnelle
Points de vigilance
Assurez-vous que la flèche représentant la force part bien du satellite (l'objet qui subit la force) et non de la Terre.
Points à retenir
La force gravitationnelle exercée par un astre sur un satellite est une force centrale (dirigée vers le centre de l'astre) et attractive (le satellite est attiré, pas repoussé).
Le saviez-vous ?
Selon la légende, Isaac Newton aurait eu l'idée de la gravitation universelle en voyant une pomme tomber d'un arbre. Il aurait fait le rapprochement entre la chute de la pomme et le mouvement de la Lune, réalisant que la même force était en jeu.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
Le résultat est le schéma demandé, qui a été produit dans les sections précédentes.
Question 2 : Donner l'expression vectorielle de la force
Principe
Un vecteur est défini par le produit de sa norme (son intensité) et d'un vecteur unitaire qui donne sa direction et son sens. Ici, la norme est donnée par la loi de la gravitation, et la direction est celle du vecteur \(\vec{n}\) du repère de Frenet.
Mini-Cours
Le repère de Frenet \((\vec{t}, \vec{n})\) est un repère mobile idéal pour les trajectoires courbes. En tout point de la trajectoire :
- \(\vec{t}\) est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.
- \(\vec{n}\) est le vecteur unitaire normal à la trajectoire, dirigé vers l'intérieur de la courbure.
Remarque Pédagogique
Écrire une expression vectorielle est une compétence fondamentale. Cela permet de condenser en une seule équation toutes les informations sur une force : son intensité, sa direction et son sens.
Formule(s)
Norme de la force gravitationnelle
Définition d'un vecteur
Hypothèses
On se place dans le cadre d'une orbite circulaire. Dans ce cas, le centre de la courbure est confondu avec le centre de la Terre, ce qui simplifie l'orientation du vecteur \(\vec{n}\).
Donnée(s)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(G, M_T, m_s, R_T, h\) | Symboles littéraux des constantes et variables du problème |
Astuces
Identifiez toujours en premier le vecteur unitaire qui porte la force. Ici, la force est "normale" à la trajectoire (elle la courbe), donc elle est portée par \(\vec{n}\).
Schéma (Avant les calculs)
Repère de Frenet
Calcul(s)
La force \(\vec{F}_{T/s}\) a la direction et le sens de \(\vec{n}\). Son expression vectorielle est donc sa norme multipliée par le vecteur unitaire \(\vec{n}\).
Schéma (Après les calculs)
Repère de Frenet
Réflexions
Cette expression mathématique confirme que la force n'a pas de composante selon \(\vec{t}\). Une force sans composante tangentielle ne modifie pas la norme de la vitesse, ce qui est cohérent avec une orbite circulaire à vitesse constante (mouvement uniforme).
Points de vigilance
Attention à bien utiliser \((R_T+h)\) au carré dans la norme de la force, car c'est la distance totale au centre de la Terre.
Points à retenir
Un vecteur est le produit de sa norme (un scalaire positif) et d'un vecteur unitaire (sans dimension, de norme 1).
Le saviez-vous ?
Le repère de Frenet est aussi appelé trièdre de Serret-Frenet. Il a été développé indépendamment par les mathématiciens français Jean-Frédéric Frenet en 1847 et Joseph-Alfred Serret en 1851.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Imaginez un virage relevé sur une route. La force de réaction du support \(\vec{R}\) n'est plus verticale. Essayez de dessiner cette force et de la décomposer sur un repère de Frenet pour une voiture.
Question 3 : Expression de l'accélération
Principe
On applique la deuxième loi de Newton au satellite dans le référentiel géocentrique, considéré comme galiléen. La somme des forces se réduit à la seule force de gravitation. La loi permet de relier la cause du mouvement (la force) à son effet (l'accélération).
Mini-Cours
La deuxième loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique) est le pilier de la mécanique classique. Elle postule que l'accélération subie par un corps est directement proportionnelle à la force résultante qui lui est appliquée, et inversement proportionnelle à sa masse. C'est une loi vectorielle, ce qui signifie que l'accélération a la même direction et le même sens que la force résultante.
Remarque Pédagogique
L'étape la plus importante ici est de bien poser l'équation vectorielle. La simplification qui suit est purement mathématique. Notez comment on passe d'une égalité entre vecteurs à une égalité entre leurs normes (ou composantes).
Formule(s)
Deuxième loi de Newton
Hypothèses
On reprend les mêmes hypothèses que précédemment, notamment le fait que le référentiel géocentrique est galiléen, ce qui est une condition indispensable pour appliquer la deuxième loi de Newton sous cette forme.
Donnée(s)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(\vec{F}_{T/s}\) | Expression de la force de gravitation trouvée à la question 2. |
Astuces
Remarquez que la masse du satellite \(m_s\) apparaît des deux côtés de l'équation. Elle va donc se simplifier. C'est une astuce de calcul courante en mécanique céleste et cela a une signification physique profonde.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de la force appliquée
Calcul(s)
Application de la loi de Newton
Remplacement de la somme des forces
En simplifiant par la masse du satellite \(m_s\), on obtient l'expression du vecteur accélération.
Schéma (Après les calculs)
Vecteurs Force et Accélération
Réflexions
L'accélération du satellite ne dépend pas de sa propre masse, mais uniquement de la masse de l'astre attracteur (la Terre) et de sa distance au centre de cet astre. Cela signifie qu'un petit satellite CubeSat et la Station Spatiale Internationale, à la même altitude, auraient exactement la même accélération.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier le caractère vectoriel de la loi. La simplification par \(m_s\) est une division de scalaires, qui est possible car les deux vecteurs de l'équation sont colinéaires.
Points à retenir
La deuxième loi de Newton est l'outil qui permet de passer des forces (la cause) à l'accélération (l'effet cinématique).
Le saviez-vous ?
Le fait que l'accélération dans un champ de gravité ne dépende pas de la masse de l'objet est connu sous le nom de principe d'équivalence. C'est l'une des idées fondamentales qui a conduit Einstein à développer la théorie de la relativité générale.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
L'expression du vecteur accélération est :
A vous de jouer
Calculez la norme de l'accélération \(a\) pour le satellite de l'énoncé. Comparez-la à l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre, \(g \approx 9,8 \text{ m/s}^2\).
Question 4 : Expression et calcul de la vitesse
Principe
Le mouvement est circulaire et uniforme. L'accélération est donc centripète. On peut identifier l'expression de l'accélération trouvée par la dynamique (loi de Newton) avec l'expression cinématique de l'accélération pour un mouvement circulaire (\(a=v^2/r\)), ce qui permet de trouver la vitesse.
Mini-Cours
Dans un mouvement circulaire uniforme, bien que la norme de la vitesse soit constante, le vecteur vitesse change constamment de direction. Ce changement de direction est causé par une accélération, appelée accélération centripète. Elle est toujours dirigée vers le centre du cercle et sa norme est \(a_n = v^2/r\), où \(v\) est la vitesse et \(r\) le rayon de la trajectoire.
Remarque Pédagogique
C'est le moment clé où l'on connecte deux mondes : celui des forces (dynamique) et celui du mouvement (cinématique). En égalant les deux expressions de l'accélération, on trouve une condition sur la vitesse pour que le mouvement circulaire soit possible à ce rayon donné.
Formule(s)
On a deux expressions pour la norme de l'accélération, qui est purement normale (\(a=a_n\)) :
Expression cinématique
Expression dynamique (résultat Q3)
Hypothèses
On utilise l'hypothèse cruciale que le mouvement est circulaire et uniforme. C'est ce qui nous autorise à utiliser l'expression cinématique \(a = v^2/r\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Constante de gravitation | \(G\) | \(6,67 \times 10^{-11}\) | \(\text{N.m}^2\text{.kg}^{-2}\) |
| Masse de la Terre | \(M_T\) | \(5,97 \times 10^{24}\) | \(\text{kg}\) |
| Rayon de la Terre | \(R_T\) | \(6371\) | \(\text{km}\) |
| Altitude | \(h\) | \(35786\) | \(\text{km}\) |
Astuces
Avant de faire l'application numérique, on peut analyser la formule \(v = \sqrt{G M_T/r}\). Elle montre que plus \(r\) est grand (plus le satellite est loin), plus la vitesse \(v\) est faible. C'est un bon moyen de vérifier la cohérence de ses résultats.
Schéma (Avant les calculs)
Rayon de la trajectoire orbitale
Calcul(s)
Égalisation des expressions de l'accélération
Dérivation de la vitesse
Calcul du rayon orbital
Calcul de la vitesse
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le résultat montre qu'à une altitude donnée, il n'existe qu'une seule vitesse possible pour maintenir une orbite circulaire. Si le satellite allait plus vite, il s'éloignerait (orbite elliptique ou hyperbolique). S'il allait moins vite, il tomberait vers la Terre.
Points de vigilance
L'erreur la plus classique est l'unité du rayon. Le rayon de la Terre \(R_T\) et l'altitude \(h\) sont souvent donnés en km. Il faut impérativement les convertir en mètres pour être cohérent avec l'unité de G (N.m².kg⁻²).
Points à retenir
La vitesse d'un satellite en orbite circulaire est inversement proportionnelle à la racine carrée de son rayon orbital : \(v \propto 1/\sqrt{r}\).
Le saviez-vous ?
La Station Spatiale Internationale (ISS), en orbite basse (h ≈ 400 km), se déplace à environ 7,7 km/s, soit plus de 27 000 km/h ! Elle fait le tour de la Terre en 90 minutes environ.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la vitesse de l'ISS en orbite à 400 km d'altitude. (Réponse attendue en m/s)
Question 5 : Période de révolution et conclusion
Principe
La période de révolution est le temps que met le satellite pour effectuer un tour complet de son orbite. Pendant ce temps \(T\), il parcourt une distance égale au périmètre du cercle (\(2\pi r\)) à la vitesse constante \(v\). La relation est donc simplement \(\text{distance} = \text{vitesse} \times \text{temps}\).
Mini-Cours
La relation \(T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}\) est connue sous le nom de troisième loi de Kepler (adaptée au cas d'une orbite circulaire). Elle énonce que le carré de la période de révolution (\(T^2\)) est proportionnel au cube du rayon de l'orbite (\(r^3\)). Cette loi est universelle et s'applique à tout objet en orbite autour d'un corps central (planètes autour du Soleil, lunes autour de Jupiter, etc.).
Remarque Pédagogique
La manipulation algébrique pour passer de l'expression de \(T\) en fonction de \(v\) à celle en fonction de \(r\) est un bon exercice. Souvenez-vous que diviser par une racine carrée revient à multiplier par la racine carrée de l'inverse, et que \(r = \sqrt{r^2}\).
Formule(s)
Définition de la période
Expression de la vitesse (résultat Q4)
Hypothèses
Les hypothèses sont inchangées. Le résultat dépend directement de la validité de l'expression de la vitesse calculée auparavant.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Constante de gravitation | \(G\) | \(6,67 \times 10^{-11}\) | \(\text{N.m}^2\text{.kg}^{-2}\) |
| Masse de la Terre | \(M_T\) | \(5,97 \times 10^{24}\) | \(\text{kg}\) |
| Rayon de la trajectoire | \(r\) | \(42,157 \times 10^6\) | \(\text{m}\) |
Astuces
Pour l'application numérique, il est souvent plus précis de repartir de la formule littérale avec \(r^3\) que d'utiliser la valeur arrondie de \(v\) de la question précédente, afin d'éviter la propagation des erreurs d'arrondi.
Schéma (Avant les calculs)
Distance parcourue en une période T
Calcul(s)
Dérivation de la période
Calcul numérique de la période en secondes
Conversion en heures
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La période de révolution du satellite est d'environ 24 heures (plus précisément 23h 56min, la durée d'un jour sidéral), ce qui correspond à la période de rotation de la Terre sur elle-même. Comme le satellite orbite dans le plan équatorial, il est géostationnaire. Vu depuis la Terre, il apparaît comme un point fixe dans le ciel. C'est essentiel pour les antennes de réception fixes (par exemple, pour la télévision par satellite).
Points de vigilance
Ne pas oublier de convertir le résultat final en secondes vers une unité plus parlante comme les heures ou les jours pour pouvoir l'interpréter correctement.
Points à retenir
La troisième loi de Kepler (\(T^2/r^3 = \text{constante}\)) est un résultat fondamental qui lie la dimension d'une orbite à sa durée.
Le saviez-vous ?
Le concept de satellite géostationnaire pour les télécommunications a été popularisé par l'écrivain de science-fiction Arthur C. Clarke en 1945. C'est pourquoi l'orbite géostationnaire est parfois appelée "l'orbite de Clarke".
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la période de révolution de l'ISS (h = 400 km). (Réponse attendue en minutes)
Outil Interactif : Simulateur d'Orbite
Utilisez le curseur ci-dessous pour modifier l'altitude du satellite et observez comment sa vitesse orbitale et sa période de révolution changent. Le graphique montre la relation entre l'altitude et la vitesse.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la principale force responsable du maintien d'un satellite en orbite autour de la Terre ?
2. Si un satellite augmente son altitude (s'éloigne de la Terre), comment sa vitesse orbitale évolue-t-elle ?
3. Un satellite géostationnaire a une période de révolution d'environ :
4. De quoi la vitesse orbitale d'un satellite ne dépend-elle PAS ?
5. Laquelle de ces lois est fondamentale pour dériver l'expression de la vitesse du satellite ?
Glossaire
- Force de gravitation
- Force d'attraction mutuelle entre deux corps massifs. Elle est responsable du maintien des planètes en orbite autour du Soleil et des satellites autour des planètes.
- Orbite circulaire
- Trajectoire circulaire d'un objet autour d'un point central, où la vitesse est constante en norme mais sa direction change continuellement.
- Période de révolution
- Durée nécessaire pour qu'un objet en orbite effectue un tour complet autour de son corps central.
- Satellite géostationnaire
- Un satellite qui orbite la Terre au-dessus de l'équateur à une altitude telle que sa période de révolution est exactement égale à la période de rotation de la Terre (environ 24h). Il apparaît donc fixe depuis le sol.
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