Analyse de Fréquence et Amplitude

L'amplitude maximale \(U_m\) est la valeur crête du signal sinusoïdal, c'est-à-dire l'écart maximal par rapport à la valeur moyenne (qui est nulle ici).

D'après les données du problème :

La fréquence \(f\) est le nombre de cycles (ou oscillations complètes) par unité de temps. Le signal effectue 50 cycles en 1.00 seconde.

La période \(T\) est la durée d'un cycle complet. Elle est l'inverse de la fréquence \(f\). \[ T = \frac{1}{f} \]

Avec \(f = 50 \text{ Hz}\) :

Conversion en millisecondes (ms) : \(1 \text{ s} = 1000 \text{ ms}\)

La pulsation (ou fréquence angulaire) \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\), ou à la période \(T\) par \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).

Avec \(f = 50 \text{ Hz}\) :

Ou avec \(T = 0.020 \text{ s}\) :

L'expression du signal est \(u(t) = U_m \cos(\omega t + \phi)\). Conditions initiales : \(U_m = 12.0 \text{ V}\), \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\). À \(t=0\), \(u(0) = 6.0 \text{ V}\) et \(\frac{du}{dt}(0) < 0\).

Utilisation de \(u(0)\) :

Les angles \(\phi\) dont le cosinus est 0.5 sont \(\phi = \frac{\pi}{3} \text{ rad}\) (soit \(60^\circ\)) ou \(\phi = -\frac{\pi}{3} \text{ rad}\) (soit \(-60^\circ\)), dans l'intervalle \(]-\pi, \pi]\).

Pour déterminer laquelle de ces deux valeurs est correcte, nous utilisons la condition sur la dérivée. La dérivée de \(u(t)\) est \(\frac{du}{dt} = -U_m \omega \sin(\omega t + \phi)\).

À \(t=0\) :

Nous savons que \(\frac{du}{dt}(0) < 0\). Puisque \(U_m > 0\) et \(\omega > 0\), le signe de \(-U_m \omega\) est négatif. Pour que \(-U_m \omega \sin(\phi) < 0\), il faut que \(\sin(\phi) > 0\).

• Si \(\phi = \frac{\pi}{3}\), \(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 > 0\). Cette solution est possible.
• Si \(\phi = -\frac{\pi}{3}\), \(\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 < 0\). Cette solution est à rejeter.

On rassemble toutes les valeurs déterminées : \(U_m\), \(\omega\), et \(\phi\).

Avec \(U_m = 12.0 \text{ V}\), \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\), et \(\phi = \frac{\pi}{3} \text{ rad}\) :

où \(u(t)\) est en Volts et \(t\) en secondes.

On remplace \(t = t_1 = 5.0 \text{ ms}\) dans l'expression de \(u(t)\). Il faut d'abord convertir \(t_1\) en secondes : \(5.0 \text{ ms} = 5.0 \times 10^{-3} \text{ s}\).

Nous savons que \(\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Réponses Correctes :

Question 1 : b) La valeur maximale atteinte par le signal.

Question 2 : a) 0.01 s (car \(T = 1/f = 1/100\)).

Question 3 : c) \(\omega = 2\pi f\).

Question 4 : b) 0 (car \(\cos(\pi/2) = 0\)).

Signal Sinusoïdal :

Signal périodique dont la forme d'onde est une sinusoïde (cosinus ou sinus). Il est caractérisé par son amplitude, sa fréquence (ou période) et sa phase.

Amplitude Maximale (\(U_m\)) :

Valeur de crête du signal, représentant l'écart maximal par rapport à la valeur moyenne (souvent zéro pour un signal alternatif pur).

Période (\(T\)) :

Durée d'un cycle complet du signal sinusoïdal. Unité : seconde (s).

Fréquence (\(f\)) :

Nombre de cycles du signal par unité de temps. \(f = 1/T\). Unité : Hertz (Hz).

Pulsation (Fréquence Angulaire) (\(\omega\)) :

Vitesse de variation de la phase du signal. \(\omega = 2\pi f = 2\pi/T\). Unité : radian par seconde (rad/s).

Phase à l'origine (\(\phi\)) :

Décalage de la sinusoïde par rapport à l'origine des temps (\(t=0\)). Elle détermine la valeur du signal à \(t=0\). Unité : radian (rad) ou degré (°).

Hertz (Hz) :

Unité de fréquence, équivalant à un cycle par seconde.

Radian (rad) :

Unité de mesure d'angle du Système International. Un tour complet correspond à \(2\pi\) radians.