Étude d'une Onde Mécanique sur une Corde
Contexte : L'onde mécanique progressivePhénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, avec transport d'énergie mais sans transport de matière..
Cet exercice porte sur l'étude d'une onde sinusoïdale se propageant le long d'une corde tendue. Une telle onde est créée par une source (un vibreur) qui impose une perturbation périodique à une extrémité de la corde. Nous analyserons les propriétés fondamentales de cette onde, telles que sa céléritéVitesse de propagation de l'onde dans le milieu. Elle dépend des propriétés du milieu (tension, masse linéique)., sa longueur d'ondeDistance spatiale sur laquelle le motif de l'onde se répète. C'est la plus petite distance entre deux points vibrant en phase. et sa fréquenceNombre d'oscillations par unité de temps, imposé par la source. Elle se mesure en Hertz (Hz)..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de mobiliser les relations fondamentales des ondes progressives périodiques dans un cas concret. Vous apprendrez à lier les propriétés du milieu de propagation (la corde) aux caractéristiques de l'onde elle-même.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la densité linéique d'une corde.
- Déterminer la célérité d'une onde à partir des propriétés du milieu.
- Appliquer la relation fondamentale entre célérité, longueur d'onde et fréquence.
- Établir l'équation horaire du mouvement d'un point de la corde.
Données de l'étude
Schéma du dispositif expérimental
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Longueur de la corde | \(L\) | \(5.0 \text{ m}\) |
| Masse de la corde | \(m\) | \(10 \text{ g}\) |
| Tension de la corde | \(T\) | \(50 \text{ N}\) |
| Fréquence du vibreur | \(f\) | \(100 \text{ Hz}\) |
| Amplitude de l'onde | \(A\) | \(2.0 \text{ cm}\) |
Questions à traiter
- Calculer la masse linéique (ou densité linéique) \(\mu\) de la corde.
- Déterminer la célérité (vitesse de propagation) \(v\) de l'onde le long de la corde.
- En déduire la longueur d'onde \(\lambda\) de l'onde.
- Donner l'expression de l'élongation \(y(x,t)\) de l'onde, en supposant que la source en \(x=0\) commence son mouvement à \(t=0\) par une élongation nulle et une vitesse verticale positive.
Les bases sur les Ondes Mécaniques
Une onde mécanique progressive est le phénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu matériel. Pour une onde sur une corde, plusieurs grandeurs sont essentielles :
1. Célérité sur une corde
La vitesse de propagation (célérité) d'une onde sur une corde ne dépend que des propriétés de la corde : sa tension \(T\) (en N) et sa masse linéique \(\mu\) (en kg/m).
\[ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
2. Relation Fondamentale des Ondes
La célérité \(v\), la longueur d'onde \(\lambda\) et la fréquence \(f\) (ou la période \(T_p\)) sont liées par la relation :
\[ v = \lambda \cdot f = \frac{\lambda}{T_p} \]
Correction : Étude d'une Onde Mécanique sur une Corde
Question 1 : Calculer la masse linéique \(\mu\) de la corde.
Principe
La masse linéique, notée \(\mu\), représente la masse de la corde par unité de longueur. C'est une caractéristique intrinsèque de la corde qui indique comment sa masse est répartie ; c'est un indicateur de son "poids" relatif à sa longueur.
Mini-Cours
La masse linéique (ou densité linéique) est une propriété cruciale pour l'étude des ondes sur une corde. Elle représente l'inertie du milieu : plus \(\mu\) est grande, plus la corde est "lourde" et plus il sera difficile de la mettre en mouvement, ce qui influencera la vitesse de propagation de l'onde.
Remarque Pédagogique
Pensez à la masse linéique comme un moyen de comparer des cordes de longueurs différentes. Une corde de guitare "fine" aura une masse linéique faible, tandis qu'une corde de basse, beaucoup plus épaisse, aura une masse linéique élevée.
Normes
En physique, la "norme" est le Système International d'Unités (SI). Pour que les formules soient cohérentes, il est impératif de travailler avec les unités de base du SI : le kilogramme (kg) pour la masse et le mètre (m) pour la longueur.
Formule(s)
Définition de la masse linéique
Hypothèses
Pour ce calcul, nous faisons l'hypothèse que la corde est parfaitement homogène, c'est-à-dire que sa masse est uniformément répartie sur toute sa longueur.
Donnée(s)
Les données nécessaires pour ce calcul sont la masse et la longueur totales de la corde.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Masse de la corde | \(m\) | \(10 \text{ g}\) |
| Longueur de la corde | \(L\) | \(5.0 \text{ m}\) |
Astuces
Avant tout calcul, prenez l'habitude de lister vos données et de vérifier leurs unités. Entourez en rouge celles qui ne sont pas dans le Système International pour ne pas oublier de les convertir.
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser la corde comme un objet à une dimension (une ligne) possédant une masse \(m\) répartie sur sa longueur \(L\).
Représentation de la corde
Calcul(s)
Conversion de la masse
La masse est en grammes, nous devons la convertir en kilogrammes pour respecter le Système International.
Calcul de la masse linéique
On applique la définition avec les valeurs dans les bonnes unités.
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est une propriété intrinsèque de la corde. On peut le visualiser en imaginant un segment de 1 mètre de cette corde sur une balance indiquant 2 grammes.
Visualisation de la masse linéique
Réflexions
Une masse linéique de \(0.0020 \text{ kg/m}\), soit 2 grammes par mètre, correspond à une corde très légère, ce qui est typique pour les expériences de laboratoire ou les cordes d'instruments comme le violon ou la guitare.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est d'oublier la conversion des grammes en kilogrammes. Un calcul avec \(m=10 \text{ g}\) aurait donné un résultat 1000 fois trop grand et physiquement incohérent.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez :
- Définition : La masse linéique est la masse par unité de longueur.
- Formule : \(\mu = m/L\).
- Unités : Toujours utiliser le \(\text{kg/m}\) dans les calculs d'ondes.
Le saviez-vous ?
Les fabricants de cordes de guitare classent leurs cordes par "tirant" (ex: 9-42, 10-46), qui est une mesure du diamètre. Ce diamètre est directement lié à la masse linéique : un plus gros tirant signifie une corde plus lourde (grand \(\mu\)), produisant un son plus grave à tension égale.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la masse linéique d'une corde de 2 mètres pesant 25 grammes ?
Question 2 : Déterminer la célérité \(v\) de l'onde.
Principe
La célérité (ou vitesse de propagation) d'une onde sur une corde dépend de l'équilibre entre la force de rappel qui tend à ramener la corde à sa position d'équilibre (la tension) et l'inertie de la corde qui résiste au mouvement (la masse linéique).
Mini-Cours
La célérité d'une onde est une propriété du milieu de propagation. Elle ne dépend pas de la source (fréquence, amplitude). Une corde plus tendue (\(T\) élevé) permettra une propagation plus rapide. Une corde plus "lourde" (\(\mu\) élevé) ralentira la propagation de l'onde.
Remarque Pédagogique
Imaginez une chaîne de dominos. La vitesse de leur chute dépend de leur espacement et de leur poids (le milieu), pas de la force avec laquelle vous avez poussé le premier domino (la source).
Normes
Le Système International est à nouveau la référence. La tension \(T\) doit être en Newtons (N) et la masse linéique \(\mu\) en \(\text{kg/m}\) pour obtenir une célérité en mètres par seconde (\(\text{m/s}\)).
Formule(s)
Formule de Taylor
Hypothèses
Cette formule est valable en supposant que l'amplitude de l'onde est faible par rapport à sa longueur d'onde, que la corde est parfaitement flexible et qu'il n'y a pas d'amortissement.
Donnée(s)
Les données nécessaires pour ce calcul sont la tension de la corde et sa masse linéique.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension | \(T\) | \(50 \text{ N}\) |
| Masse linéique | \(\mu\) | \(0.0020 \text{ kg/m}\) |
Astuces
Une analyse dimensionnelle rapide permet de vérifier la formule : \(T\) est une force (\(MLT^{-2}\)) et \(\mu\) est une masse par longueur (\(ML^{-1}\)). Le rapport \(T/\mu\) a la dimension \(L^2T^{-2}\), et sa racine carrée a bien la dimension d'une vitesse (\(LT^{-1}\)).
Schéma (Avant les calculs)
On représente la tension comme une force tirant sur la corde, responsable de sa rigidité.
Mise en tension de la corde
Calcul(s)
Calcul de la célérité
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre la propagation d'une perturbation (un front d'onde) le long de la corde à la vitesse calculée.
Propagation de l'onde
Réflexions
Une vitesse de 160 m/s est très rapide, près de la moitié de la vitesse du son dans l'air (environ 340 m/s). Cela explique pourquoi le son d'un instrument à cordes nous parvient quasi instantanément après avoir pincé la corde.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier la racine carrée dans la formule. C'est une erreur fréquente. De plus, si l'énoncé donnait une masse suspendue pour créer la tension, il faudrait calculer la force (le poids \(P=mg\)) et ne pas utiliser la masse directement.
Points à retenir
Ce qu'il faut absolument maîtriser :
- Concept : La célérité dépend du milieu (Tension et masse linéique).
- Formule de Taylor : \(v = \sqrt{T/\mu}\).
- Indépendance : \(v\) ne dépend ni de \(f\) ni de \(A\).
Le saviez-vous ?
La formule de la célérité a été établie par le mathématicien britannique Brook Taylor au début du 18ème siècle. C'est l'une des premières applications du calcul différentiel à un problème de physique des ondes.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec la même corde, quelle serait la célérité si la tension était de 20 N ?
Question 3 : En déduire la longueur d'onde \(\lambda\) de l'onde.
Principe
La longueur d'onde \(\lambda\) est la distance spatiale sur laquelle le motif de l'onde se répète. C'est la distance parcourue par l'onde pendant une période temporelle \(T_p\) de la source. Elle caractérise la périodicité spatiale de l'onde.
Mini-Cours
La fréquence est une caractéristique de la source, elle est "fixée" par le vibreur. La célérité est une caractéristique du milieu, elle est "fixée" par la corde et sa tension. La longueur d'onde est la conséquence des deux : c'est l'empreinte spatiale de l'onde qui résulte de sa vitesse et de sa fréquence.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous marchez sur le sable (vitesse constante) en faisant un pas chaque seconde (fréquence constante). La distance entre vos empreintes (longueur d'onde) dépendra de votre vitesse de marche. Si vous marchez plus vite, vos empreintes seront plus espacées.
Normes
Dans le Système International, la célérité \(v\) est en \(\text{m/s}\), la fréquence \(f\) en Hertz (\(\text{Hz}\)), et la longueur d'onde \(\lambda\) en mètres (\(\text{m}\)).
Formule(s)
Relation fondamentale des ondes
Hypothèses
Ce calcul suppose que le milieu est non dispersif, c'est-à-dire que la célérité de l'onde ne dépend pas de sa fréquence, ce qui est une excellente approximation pour les ondes sur une corde.
Donnée(s)
Les données nécessaires sont la célérité de l'onde et la fréquence du vibreur.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Célérité (non arrondie) | \(v\) | \(158.11... \text{ m/s}\) |
| Fréquence | \(f\) | \(100 \text{ Hz}\) |
Astuces
Pour le calcul, il est préférable d'utiliser la valeur non arrondie de la célérité pour limiter les erreurs d'arrondi intermédiaires. Le résultat final sera, lui, arrondi au nombre correct de chiffres significatifs.
Schéma (Avant les calculs)
La longueur d'onde est la distance entre deux crêtes (ou deux creux) consécutifs de l'onde.
Visualisation de la longueur d'onde
Calcul(s)
Calcul de la longueur d'onde
Schéma (Après les calculs)
On peut maintenant annoter le schéma de la longueur d'onde avec la valeur numérique obtenue.
Longueur d'onde calculée
Réflexions
Une longueur d'onde de 1.6 m signifie que si on prenait une "photo" de la corde à un instant t, la forme de la corde se répéterait tous les 1.6 mètres. C'est une distance assez grande, ce qui est cohérent avec la vitesse de propagation élevée.
Points de vigilance
Ne pas confondre la période temporelle \(T_p\) (en secondes) et la tension \(T\) (en Newtons). De même, ne pas confondre la fréquence \(f\) (en Hz) et la pulsation \(\omega\) (en rad/s).
Points à retenir
La relation \(v = \lambda \cdot f\) est l'une des plus importantes de la physique des ondes. Elle est valable pour tous les types d'ondes périodiques (mécaniques, électromagnétiques, etc.).
Le saviez-vous ?
En musique, la hauteur d'un son (grave ou aigu) est déterminée par la fréquence. Sur une guitare, pour jouer une note plus aiguë (fréquence plus haute), le musicien raccourcit la longueur de la corde en la pinçant sur le manche. Cela crée des ondes stationnaires avec une longueur d'onde plus courte, et donc une fréquence plus élevée.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec la même corde et la même tension (\(v=158.1 \text{ m/s}\)), quelle serait la longueur d'onde si le vibreur oscillait à 250 Hz ?
Question 4 : Donner l'expression de l'élongation \(y(x,t)\).
Principe
L'équation (ou fonction) d'onde \(y(x,t)\) est un modèle mathématique qui décrit la position verticale (élongation \(y\)) de n'importe quel point de la corde (d'abscisse \(x\)) à n'importe quel instant \(t\).
Mini-Cours
L'équation d'une onde sinusoïdale progressive se propageant dans le sens des \(x\) positifs s'écrit : \(y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \phi)\).
- \(A\) est l'amplitude (en m).
- \(\omega = 2\pi f\) est la pulsation ou fréquence angulaire (en rad/s).
- \(k = 2\pi/\lambda\) est le nombre d'onde (en rad/m).
- \(\phi\) est la phase à l'origine (en rad), qui cale l'onde dans le temps et l'espace.
Remarque Pédagogique
Le terme \((\omega t - kx + \phi)\) est la "phase" de l'onde. Le signe "$-$" devant \(kx\) indique une propagation dans le sens des \(x\) croissants. Un signe "$+$" indiquerait une propagation dans le sens inverse.
Normes
Pour que l'argument du sinus soit adimensionné (comme il se doit), toutes les grandeurs doivent être exprimées en unités SI : \(t\) en secondes, \(x\) en mètres, \(\omega\) en \(\text{rad/s}\), et \(k\) en \(\text{rad/m}\). L'amplitude \(A\) doit être en mètres.
Formule(s)
Équation générale de l'onde
Relations des paramètres
Hypothèses
On suppose que l'onde est parfaitement sinusoïdale, qu'elle se propage sans se déformer ni s'amortir, et que la source est située en \(x=0\). Les conditions initiales sont données dans l'énoncé.
Donnée(s)
Les paramètres de l'onde nécessaires pour établir son équation sont les suivants.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Amplitude | \(A\) | \(2.0 \text{ cm}\) |
| Fréquence | \(f\) | \(100 \text{ Hz}\) |
| Longueur d'onde | \(\lambda\) | \(1.5811... \text{ m}\) |
Astuces
Pour déterminer la phase \(\phi\), testez toujours les deux cas simples (\(\phi=0\) et \(\phi=\pi\)) sur les conditions initiales de position ET de vitesse. C'est la condition sur la vitesse qui permet souvent de trancher.
Schéma (Avant les calculs)
On cherche l'équation qui décrit la forme et le mouvement de la courbe bleue ci-dessous.
Représentation de l'onde \(y(x,t)\)
Calcul(s)
Conversion de l'amplitude
Calcul de la pulsation \(\omega\)
Calcul du nombre d'onde \(k\)
Détermination de la phase à l'origine \(\phi\)
L'énoncé précise : \(y(0,0)=0\) et \(v_y(0,0) > 0\).
La position en \((0,0)\) donne : \(y(0,0) = A\sin(\phi) = 0 \Rightarrow \phi=0 \text{ ou } \phi=\pi\).
La vitesse verticale est la dérivée : \(v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega \cos(\omega t - kx + \phi)\).
La vitesse en \((0,0)\) donne : \(v_y(0,0) = A\omega\cos(\phi) > 0\). Puisque \(A\omega > 0\), il faut \(\cos(\phi)>0\).
Seule la valeur \(\phi=0\) vérifie cette condition. Donc \(\phi=0\).
Schéma (Après les calculs)
La condition \(\phi=0\) signifie qu'à \(t=0\), l'onde part de l'origine en montant, comme une fonction sinus classique.
Forme de l'onde à t=0
Réflexions
Avec l'équation finale, on peut prédire le futur ! Par exemple, pour connaître la position du point situé à \(x=0.5 \text{ m}\) à l'instant \(t=0.01 \text{ s}\), il suffirait de remplacer \(x\) et \(t\) par ces valeurs dans l'expression.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "radians" lorsque vous évaluez la fonction sinus ou cosinus. Toutes les phases et pulsations en physique sont en radians.
Points à retenir
La méthode pour établir une équation d'onde est toujours la même :
- Calculer les paramètres (\(A, \omega, k\)).
- Déterminer la phase à l'origine (\(\phi\)) avec les conditions initiales.
- Assembler le tout dans l'équation.
Le saviez-vous ?
L'équation d'onde générale (une équation aux dérivées partielles) a été formulée pour la première fois par Jean le Rond d'Alembert au 18ème siècle, précisément en étudiant le problème de la corde vibrante.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant l'équation finale, quelle est l'élongation (en cm) du point à \(x=0.2 \text{ m}\) à l'instant \(t=0.005 \text{ s}\) ? (N'oubliez pas le mode radians !)
Outil Interactif : Influence de la Tension et de la Fréquence
Utilisez les curseurs pour faire varier la tension de la corde et la fréquence du vibreur. Observez comment la célérité de l'onde et sa longueur d'onde sont affectées.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (pour \(\mu=0.002\) kg/m)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la tension d'une corde, par quel facteur sa célérité est-elle multipliée ?
2. Une onde sonore est une onde...
3. Si on double la fréquence d'une onde sur une corde (sans changer la corde ni sa tension), que devient sa longueur d'onde ?
- Célérité
- Vitesse à laquelle la perturbation se propage dans le milieu matériel. Elle est notée \(v\) et s'exprime en \(\text{m/s}\).
- Masse (ou densité) linéique
- Masse par unité de longueur d'un objet filiforme comme une corde. Elle est notée \(\mu\) et s'exprime en \(\text{kg/m}\).
- Longueur d'onde
- Plus petite distance séparant deux points du milieu qui vibrent en phase. Elle est notée \(\lambda\) et s'exprime en mètres (\(\text{m}\)).
- Fréquence
- Nombre d'oscillations de la source (et donc de chaque point du milieu) par seconde. Elle est notée \(f\) et s'exprime en Hertz (\(\text{Hz}\)).
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