Calcul de l’énergie cinétique

Comprendre le Calcul de l’énergie cinétique

Un cycliste participe à une course et atteint une vitesse de 12 m/s. La masse du cycliste et de son vélo est de 80 kg.

Questions:

1. Calcul de l’énergie cinétique:

Calculez l’énergie cinétique du cycliste et de son vélo à cette vitesse.

2. Impact de la vitesse sur l’énergie cinétique:

Si la vitesse du cycliste double, quelle serait sa nouvelle énergie cinétique ? Expliquez comment et pourquoi l’énergie cinétique change avec la vitesse.

3. Réflexion sur la masse:

Supposons que la masse du cycliste et de son vélo soit réduite à 70 kg, mais que la vitesse reste la même (12 m/s). Calculez la nouvelle énergie cinétique et comparez-la à celle calculée en 1. Discutez de l’effet de la masse sur l’énergie cinétique.

Correction : Calcul de l’énergie cinétique

1. Calcul de l’énergie cinétique

Formule de l’énergie cinétique :

\[ E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^2 \]

Données :

Masse \( m = 80 \, \text{kg} \)
Vitesse \( v = 12 \, \text{m/s} \)

Calcul :

1. Calculer \( v^2 \) :

\[ 12^2 = 144 \, \text{(m/s)}^2 \]

2. Substituer dans la formule :

\[ E_c = \frac{1}{2} \times 80 \times 144 \]

3. Effectuer le calcul :

\[ \frac{1}{2} \times 80 = 40 \quad \Rightarrow \quad 40 \times 144 = 5760 \, \text{J} \]

Résultat :
L’énergie cinétique du cycliste et de son vélo est de 5760 Joules.

2. Impact de la vitesse sur l’énergie cinétique:

Nouvelle donnée de vitesse :

Nouvelle vitesse \( v_{\text{nouvelle}} = 2 \times 12 = 24 \, \text{m/s} \)

Formule appliquée avec la nouvelle vitesse :

\[ E_{c_{\text{nouvelle}}} = \frac{1}{2} \times m \times (v_{\text{nouvelle}})^2 \]

Calcul :

1. Calculer \( (24)^2 \) :

\[ 24^2 = 576 \, \text{(m/s)}^2 \]

2. Substituer dans la formule (avec \( m = 80 \, \text{kg} \)) :

\[ E_{c_{\text{nouvelle}}} = \frac{1}{2} \times 80 \times 576 \]

3. Simplifier le calcul :

\[ \frac{1}{2} \times 80 = 40 \quad \Rightarrow \quad 40 \times 576 = 23040 \, \text{J} \]

Interprétation :

En doublant la vitesse, l’énergie cinétique devient 23040 Joules.
L’énergie cinétique varie avec le carré de la vitesse (\( v^2 \)). Ainsi, si la vitesse double, l’énergie est multipliée par \(2^2 = 4\). Ici, \( 5760 \, \text{J} \times 4 = 23040 \, \text{J} \), ce qui confirme le résultat obtenu.

3. Réflexion sur la masse:

Nouvelle donnée de masse :

Masse réduite \( m_{\text{nouvelle}} = 70 \, \text{kg} \)
Vitesse inchangée \( v = 12 \, \text{m/s} \)

Formule avec la nouvelle masse :

\[ E_c = \frac{1}{2} \times m_{\text{nouvelle}} \times v^2 \]

Calcul :

1. Rappel de \( v^2 \) :

\[ 12^2 = 144 \, \text{(m/s)}^2 \]

2. Substituer dans la formule :

\[ E_c = \frac{1}{2} \times 70 \times 144 \]

3. Effectuer le calcul :

\[ \frac{1}{2} \times 70 = 35 \quad \Rightarrow \quad 35 \times 144 = 5040 \, \text{J} \]

Comparaison :

Énergie cinétique avec \( m = 80 \, \text{kg} \) : 5760 Joules
Énergie cinétique avec \( m = 70 \, \text{kg} \) : 5040 Joules

Discussion :

La réduction de la masse entraîne une diminution de l’énergie cinétique.
En effet, l’énergie cinétique est directement proportionnelle à la masse. Une diminution de la masse de 80 kg à 70 kg diminue l’énergie de manière proportionnelle :

\[ \frac{70}{80} = 0,875 \] soit une réduction d’environ 12,5%.