Calcul de la Force Exerçant sur un Solide
Analyser les forces agissant sur un solide en mouvement sur un plan horizontal et déterminer son accélération en appliquant la deuxième loi de Newton.
Lorsqu'un solide est soumis à plusieurs forces, son mouvement est déterminé par la résultante de ces forces. La deuxième loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique) relie cette force résultante à l'accélération du solide.
Les forces couramment rencontrées sont :
- Le poids (\(\vec{P}\)) : force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre, verticale, vers le bas, de valeur \(P = mg\).
- La réaction normale du support (\(\vec{N}\)) : force exercée par le support sur le solide, perpendiculaire au support.
- La force de frottement (\(\vec{f}\)) : force qui s'oppose au mouvement relatif (ou à la tendance au mouvement) entre deux surfaces en contact. Pour un solide en mouvement, on parle de frottement cinétique, dont la valeur est souvent modélisée par \(f_k = \mu_k \cdot N\), où \(\mu_k\) est le coefficient de frottement cinétique.
- Une force appliquée (\(\vec{F}_{app}\)) : force extérieure qui tend à mettre l'objet en mouvement ou à modifier son mouvement.
La deuxième loi de Newton s'écrit :
Où \(\sum \vec{F}_{ext}\) est la somme vectorielle de toutes les forces extérieures agissant sur le solide de masse \(m\), et \(\vec{a}\) est son accélération.
Données du Problème
Une caisse est tirée sur un sol horizontal par une force \(\vec{F}_{app}\) faisant un angle avec l'horizontale.
- Masse de la caisse : \(m = 10.0 \text{ kg}\)
- Intensité de la force appliquée : \(F_{app} = 50.0 \text{ N}\)
- Angle de la force appliquée par rapport à l'horizontale : \(\alpha = 30^\circ\)
- Coefficient de frottement cinétique entre la caisse et le sol : \(\mu_k = 0.25\)
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
- On donne : \(\sin(30^\circ) = 0.500\) et \(\cos(30^\circ) \approx 0.866\)
Questions
- Calculer la valeur du poids \(P\) de la caisse.
- Calculer les valeurs des composantes horizontale \(F_{app,x}\) et verticale \(F_{app,y}\) de la force appliquée \(\vec{F}_{app}\).
- En appliquant la deuxième loi de Newton selon l'axe vertical (perpendiculaire au mouvement), déterminer la valeur de la réaction normale \(N\) du support.
- Calculer la valeur de la force de frottement cinétique \(f_k\).
- Calculer la valeur de la force résultante horizontale \(F_{res,x}\) agissant sur la caisse.
- En déduire l'accélération \(a\) de la caisse.
- Si la caisse part du repos, quelle sera sa vitesse après avoir parcouru une distance \(d = 5.0 \text{ m}\) ?
Correction : Calcul de la Force Exerçant sur un Solide
1. Calcul du Poids (\(P\)) de la Caisse
Le poids est donné par la formule \(P = m \cdot g\).
Données :
- \(m = 10.0 \text{ kg}\)
- \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
Le poids de la caisse est \(P = 98.0 \text{ N}\).
2. Calcul des Composantes de la Force Appliquée (\(F_{app,x}\) et \(F_{app,y}\))
La force \(\vec{F}_{app}\) fait un angle \(\alpha\) avec l'horizontale. Composante horizontale : \(F_{app,x} = F_{app} \cos(\alpha)\). Composante verticale (dirigée vers le haut) : \(F_{app,y} = F_{app} \sin(\alpha)\).
Données :
- \(F_{app} = 50.0 \text{ N}\)
- \(\alpha = 30^\circ\)
- \(\cos(30^\circ) \approx 0.866\)
- \(\sin(30^\circ) = 0.500\)
Composante horizontale :
Composante verticale :
La composante horizontale de la force appliquée est \(F_{app,x} \approx 43.3 \text{ N}\).
La composante verticale de la force appliquée est \(F_{app,y} = 25.0 \text{ N}\).
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3. Détermination de la Réaction Normale (\(N\))
La caisse ne se déplace pas verticalement, donc la somme des forces verticales est nulle. Les forces verticales sont : le poids \(\vec{P}\) (vers le bas), la réaction normale \(\vec{N}\) (vers le haut), et la composante verticale de la force appliquée \(\vec{F}_{app,y}\) (vers le haut). \(\sum F_y = 0 \Rightarrow N + F_{app,y} - P = 0\).
Données :
- \(P = 98.0 \text{ N}\)
- \(F_{app,y} = 25.0 \text{ N}\)
La valeur de la réaction normale du support est \(N = 73.0 \text{ N}\).
4. Calcul de la Force de Frottement Cinétique (\(f_k\))
On utilise \(f_k = \mu_k \cdot N\).
Données :
- \(\mu_k = 0.25\)
- \(N = 73.0 \text{ N}\)
La force de frottement cinétique est \(f_k = 18.25 \text{ N}\).
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5. Calcul de la Force Résultante Horizontale (\(F_{res,x}\))
La force résultante horizontale est la somme des forces agissant horizontalement. \(\vec{F}_{res,x} = \vec{F}_{app,x} + \vec{f}_k\). En considérant un axe horizontal orienté dans le sens du mouvement (sens de \(F_{app,x}\)), la force de frottement \(\vec{f}_k\) est opposée. Donc, \(F_{res,x} = F_{app,x} - f_k\).
Données calculées :
- \(F_{app,x} \approx 43.3 \text{ N}\)
- \(f_k = 18.25 \text{ N}\)
La force résultante horizontale est \(F_{res,x} \approx 25.05 \text{ N}\).
6. Calcul de l'Accélération (\(a\)) de la Caisse
Selon la deuxième loi de Newton appliquée horizontalement : \(F_{res,x} = m \cdot a\). Donc \(a = F_{res,x} / m\).
Données :
- \(F_{res,x} \approx 25.05 \text{ N}\)
- \(m = 10.0 \text{ kg}\)
L'accélération de la caisse est \(a \approx 2.51 \text{ m/s}^2\).
7. Vitesse après avoir parcouru \(d = 5.0 \text{ m}\)
La caisse part du repos (\(v_0 = 0\)). On utilise la relation \(v_f^2 = v_0^2 + 2ad\), donc \(v_f = \sqrt{2ad}\).
Données :
- \(a \approx 2.505 \text{ m/s}^2\)
- \(d = 5.0 \text{ m}\)
La vitesse de la caisse après avoir parcouru 5.0 m est \(v_f \approx 5.01 \text{ m/s}\).
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Glossaire des Termes Clés
Force (\(\vec{F}\)) :
Action mécanique capable de modifier l'état de mouvement ou de repos d'un corps, ou de le déformer. Unité SI : Newton (N).
Poids (\(\vec{P}\)) :
Force de gravitation exercée par la Terre sur un objet. \(P = mg\).
Réaction Normale (\(\vec{N}\)) :
Force exercée par un support sur un objet, perpendiculaire à la surface de contact. Elle s'oppose à l'enfoncement de l'objet dans le support.
Force de Frottement Cinétique (\(\vec{f}_k\)) :
Force qui s'oppose au glissement d'un objet sur une surface. Sa valeur est \(f_k = \mu_k N\).
Coefficient de Frottement Cinétique (\(\mu_k\)) :
Nombre sans unité qui caractérise l'adhérence entre deux surfaces en mouvement relatif.
Deuxième Loi de Newton :
Principe fondamental de la dynamique qui stipule que la somme vectorielle des forces extérieures agissant sur un objet est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération (\(\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\)).
Accélération (\(\vec{a}\)) :
Variation de la vitesse par unité de temps. Unité SI : m/s².
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment l'accélération de la caisse changerait-elle si l'angle \(\alpha\) de la force appliquée était de \(0^\circ\) (force horizontale) ? Et s'il était de \(90^\circ\) (force verticale) ?
2. Si le coefficient de frottement statique était \(\mu_s = 0.40\), la caisse se mettrait-elle en mouvement avec la force appliquée de 50 N à 30° ?
3. Comment le travail de chaque force (poids, réaction normale, force appliquée, frottement) contribue-t-il à la variation de l'énergie cinétique de la caisse ?
4. Si la surface était inclinée, comment cela modifierait-il le calcul de la réaction normale et des composantes du poids ?
5. Dans la vie réelle, le coefficient de frottement peut parfois dépendre de la vitesse. Comment cela affecterait-il la nature du mouvement ?
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