Étude d’un gaz parfait sous pression variable
Comprendre l’Étude d’un gaz parfait sous pression variable
Dans une usine chimique, un technicien doit effectuer une analyse sur un récipient scellé contenant de l’azote (N₂), un gaz considéré comme parfait sous les conditions de travail.
Le récipient cylindrique est équipé d’un piston mobile pour permettre des variations de volume. Le système est isolé et ne peut échanger de la chaleur avec l’extérieur.
Initialement, le récipient a un volume de 50 litres et la température du gaz est de 20°C. Une pression extérieure constante est appliquée via le piston.
Pour comprendre le Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait, cliquez sur le lien.
Données :
- Volume initial (V₁) = 50 litres
- Température initiale (T₁) = 20°C (293 K, car T(K) = T(°C) + 273.15)
- Pression initiale (P₁) = 1 atm
- Masse molaire de l’azote (N₂) = 28 g/mol
- Constante des gaz parfaits (R) = 0.0821 atm·L/(mol·K)
Processus :
Le technicien augmente la pression extérieure lentement jusqu’à ce que le volume du gaz diminue de 40%. L’exercice consiste à déterminer la nouvelle température du gaz sous cette nouvelle pression, en supposant que le processus est adiabatique (sans transfert de chaleur).
Questions:
1. Calcul du volume final (V₂):
Sachant que le volume diminue de 40%, calculez le volume final du gaz.
2. Utilisation de la loi des gaz parfaits:
Utilisez la loi des gaz parfaits pour calculer la pression finale (P₂) en supposant que la quantité de gaz reste constante et que le processus est adiabatique.
3. Relation adiabatique entre pression et volume:
Pour un processus adiabatique, la relation entre pression et volume peut être exprimée par \( P V^\gamma = \text{constante} \), où \( \gamma \) (indice adiabatique) pour l’azote est de 1.4. Utilisez cette information pour vérifier la cohérence de la pression calculée à la question 2.
4. Calcul de la nouvelle température (T₂)
En utilisant la relation adiabatique et la loi des gaz parfaits, calculez la nouvelle température du gaz après compression.
Correction : Étude d’un gaz parfait sous pression variable
1. Calcul du volume final (V₂)
Le volume du gaz est réduit suite à l’augmentation de la pression exercée par un piston, ce qui est un cas courant dans les applications industrielles.
Formule:
\[ V_2 = V_1 \times (1 – \text{taux de réduction}) \]
Données:
- Volume initial \( V_1 = 50 \) litres,
- Taux de réduction = 40% (0.40).
Calcul:
\[ V_2 = 50 \times (1 – 0.40) \] \[ V_2 = 50 \times 0.60 \] \[ V_2 = 30 \text{ litres} \]
2. Utilisation de la loi des gaz parfaits pour calculer la pression finale (P₂)
La loi des gaz parfaits indique que le produit de la pression et du volume d’un gaz parfait est proportionnel à sa température, \(PV = nRT\). Ici, nous supposons que la température ne change pas initialement pour simplifier le calcul de la pression.
Formule:
\[ P_2 = \frac{P_1 \times V_1}{V_2} \]
Données:
- \( P_1 = 1 \) atm,
- \( V_1 = 50 \) litres,
- \( V_2 = 30 \) litres.
Calcul:
\[ P_2 = \frac{1 \times 50}{30} \] \[ P_2 = \frac{50}{30} \] \[ P_2 \approx 1.67 \text{ atm} \]
3. Relation adiabatique entre pression et volume
En réalité, la compression adiabatique ne conserve pas la température, elle augmente la température du gaz, affectant ainsi la pression.
Formule:
\[ P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma \]
Données:
- \( \gamma = 1.4 \)
Calcul pour \( P_2 \) ajusté:
\[ P_2 = P_1 \times \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma \] \[ P_2 = 1 \times \left(\frac{50}{30}\right)^{1.4} \] \[ P_2 \approx 2.04 \text{ atm} \]
4. Calcul de la nouvelle température (T₂)
Avec la compression adiabatique, la température augmente. Nous utilisons la loi des gaz parfaits pour trouver la nouvelle température, ayant trouvé la nouvelle pression et connaissant le volume final.
Formule:
\[ T_2 = \frac{P_2 \times V_2}{n \times R} \]
- Calcul du nombre de moles \( n \):
\[ n = \frac{P_1 \times V_1}{R \times T_1} \] \[ n = \frac{1 \times 50}{0.0821 \times 293} \] \[ n \approx 2.08 \text{ moles} \]
Calcul de \( T_2 \):
\[ T_2 = \frac{2.04 \times 30}{2.08 \times 0.0821} \] \[ T_2 \approx 359.61 \text{ K} \]
(ce qui équivaut à environ 86.46°C)
Étude d’un gaz parfait sous pression variable
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