Chute d'un météorite - Exercice corrigé

Lorsqu'une météorite pénètre dans l'atmosphère terrestre, elle possède une énergie mécanique initiale importante. En traversant l'atmosphère, elle subit des forces de frottement qui effectuent un travail résistant, entraînant une diminution de son énergie mécanique et une augmentation de son énergie thermique (échauffement).

L'énergie cinétique ($E_c$) est $E_c = \frac{1}{2} m v^2$.

L'énergie potentielle de pesanteur ($E_p$) est $E_p = m \cdot g \cdot h$, où $h$ est l'altitude par rapport à une référence (ici, le sol).

L'énergie mécanique ($E_m$) est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle : $E_m = E_c + E_p$.

Le théorème de l'énergie mécanique stipule que la variation d'énergie mécanique $\Delta E_m$ d'un système entre un état initial et un état final est égale à la somme des travaux $W_{fnc}$ des forces non conservatives (comme les forces de frottement) agissant sur le système :

\Delta E_m = E_{m,final} - E_{m,initial} = W_{fnc}

Si une force de frottement moyenne $F_f$ s'exerce sur une distance $d$, son travail est $W_f = -F_f \cdot d$ (le signe moins indique que la force s'oppose au déplacement).

Données du Problème

On étudie la chute d'une météorite entre deux points A et B de sa trajectoire dans l'atmosphère.

Masse de la météorite : $m = 5.0 \text{ kg}$
Altitude au point A : $h_A = 90 \text{ km}$
Vitesse au point A : $v_A = 2000 \text{ m/s}$
Altitude au point B : $h_B = 40 \text{ km}$
Vitesse au point B : $v_B = 1500 \text{ m/s}$
Accélération de la pesanteur (supposée constante sur cette plage d'altitude) : $g = 9.8 \text{ m/s}^2$

Trajectoire d'une météorite entrant dans l'atmosphère.

Questions

Convertir les altitudes $h_A$ et $h_B$ en mètres.
Calculer l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pA}$ de la météorite au point A.
Calculer l'énergie cinétique $E_{cA}$ de la météorite au point A.
En déduire l'énergie mécanique initiale $E_{mA}$ de la météorite au point A.
Calculer l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pB}$ de la météorite au point B.
Calculer l'énergie cinétique $E_{cB}$ de la météorite au point B.
En déduire l'énergie mécanique finale $E_{mB}$ de la météorite au point B.
Calculer la variation d'énergie mécanique $\Delta E_m$ de la météorite entre les points A et B.
Interpréter le signe de cette variation. En déduire le travail $W_f$ des forces de frottement de l'air.
Si la distance parcourue par la météorite entre A et B le long de sa trajectoire est $d_{AB} = 55 \text{ km}$, calculer la valeur moyenne de la force de frottement $F_f$.

Correction : Chute d'une Météorite

1. Conversion des Altitudes en Mètres

$1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$.

Données :

$h_A = 90 \text{ km}$
$h_B = 40 \text{ km}$

Altitude $h_A$ en mètres :

\begin{aligned} h_A &= 90 \times 1000 \text{ m} \\ &= 90000 \text{ m} \end{aligned}

Altitude $h_B$ en mètres :

\begin{aligned} h_B &= 40 \times 1000 \text{ m} \\ &= 40000 \text{ m} \end{aligned}

$h_A = 90000 \text{ m}$

$h_B = 40000 \text{ m}$

2. Calcul de l'Énergie Potentielle Initiale ($E_{pA}$)

$E_p = m \cdot g \cdot h$.

Données :

$m = 5.0 \text{ kg}$
$g = 9.8 \text{ m/s}^2$
$h_A = 90000 \text{ m}$

\begin{aligned} E_{pA} &= 5.0 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 90000 \text{ m} \\ &= 4410000 \text{ J} \\ &= 4.41 \times 10^6 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie potentielle initiale est $E_{pA} = 4.41 \text{ MJ}$.

Quiz Intermédiaire

3. Calcul de l'Énergie Cinétique Initiale ($E_{cA}$)

$E_c = \frac{1}{2} m v^2$.

Données :

$m = 5.0 \text{ kg}$
$v_A = 2000 \text{ m/s}$

\begin{aligned} E_{cA} &= \frac{1}{2} \times 5.0 \text{ kg} \times (2000 \text{ m/s})^2 \\ &= 2.5 \text{ kg} \times 4000000 \text{ m}^2/\text{s}^2 \\ &= 10000000 \text{ J} \\ &= 10.0 \times 10^6 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie cinétique initiale est $E_{cA} = 10.0 \text{ MJ}$.

4. Énergie Mécanique Initiale ($E_{mA}$)

$E_m = E_p + E_c$.

Données calculées :

$E_{pA} = 4.41 \times 10^6 \text{ J}$
$E_{cA} = 10.0 \times 10^6 \text{ J}$

\begin{aligned} E_{mA} &= E_{pA} + E_{cA} \\ &= (4.41 \times 10^6 \text{ J}) + (10.0 \times 10^6 \text{ J}) \\ &= 14.41 \times 10^6 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie mécanique initiale est $E_{mA} = 14.41 \text{ MJ}$.

Quiz Intermédiaire

5. Calcul de l'Énergie Potentielle de Pesanteur au Point B ($E_{pB}$)

$E_p = m \cdot g \cdot h$.

Données :

$m = 5.0 \text{ kg}$
$g = 9.8 \text{ m/s}^2$
$h_B = 40000 \text{ m}$

\begin{aligned} E_{pB} &= 5.0 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 40000 \text{ m} \\ &= 1960000 \text{ J} \\ &= 1.96 \times 10^6 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie potentielle de pesanteur au point B est $E_{pB} = 1.96 \text{ MJ}$.

6. Calcul de l'Énergie Cinétique au Point B ($E_{cB}$)

$E_c = \frac{1}{2} m v^2$.

Données :

$m = 5.0 \text{ kg}$
$v_B = 1500 \text{ m/s}$

\begin{aligned} E_{cB} &= \frac{1}{2} \times 5.0 \text{ kg} \times (1500 \text{ m/s})^2 \\ &= 2.5 \text{ kg} \times 2250000 \text{ m}^2/\text{s}^2 \\ &= 5625000 \text{ J} \\ &= 5.625 \times 10^6 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie cinétique au point B est $E_{cB} = 5.625 \text{ MJ}$.

7. Énergie Mécanique Finale ($E_{mB}$)

$E_m = E_p + E_c$.

Données calculées :

$E_{pB} = 1.96 \times 10^6 \text{ J}$
$E_{cB} = 5.625 \times 10^6 \text{ J}$

\begin{aligned} E_{mB} &= E_{pB} + E_{cB} \\ &= (1.96 \times 10^6 \text{ J}) + (5.625 \times 10^6 \text{ J}) \\ &= 7.585 \times 10^6 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie mécanique finale est $E_{mB} = 7.585 \text{ MJ}$.

8. Variation d'Énergie Mécanique ($\Delta E_m$)

$\Delta E_m = E_{mB} - E_{mA}$.

Données calculées :

$E_{mA} = 14.41 \times 10^6 \text{ J}$
$E_{mB} = 7.585 \times 10^6 \text{ J}$

Note : La valeur de $E_{mA}$ utilisée ici est celle calculée à la question 4 avec les données de l'énoncé actuel.

\begin{aligned} \Delta E_m &= E_{mB} - E_{mA} \\ &= (7.585 \times 10^6 \text{ J}) - (14.41 \times 10^6 \text{ J}) \\ &= -6.825 \times 10^6 \text{ J} \end{aligned}

La variation d'énergie mécanique est $\Delta E_m = -6.825 \text{ MJ}$.

Quiz Intermédiaire

9. Interprétation et Travail des Forces de Frottement ($W_f$)

Une variation d'énergie mécanique négative signifie que le système a perdu de l'énergie mécanique. Cette perte est due au travail des forces non conservatives, ici les forces de frottement de l'air.

D'après le théorème de l'énergie mécanique, $W_f = \Delta E_m$.

W_f = -6.825 \times 10^6 \text{ J}

Le travail des forces de frottement est négatif, ce qui est cohérent car ces forces s'opposent au mouvement et dissipent de l'énergie.

Le signe négatif de $\Delta E_m$ indique une perte d'énergie mécanique. Le travail des forces de frottement est $W_f = -6.825 \text{ MJ}$.

10. Calcul de la Force de Frottement Moyenne ($F_f$)

Le travail des forces de frottement est $W_f = -F_f \cdot d_{AB}$. La distance parcourue $d_{AB}$ est la différence d'altitude si la chute est verticale, soit $d = h_A - h_B = 50000 \text{ m}$. L'énoncé précise $d_{AB} = 55 \text{ km}$ le long de la trajectoire. Nous utiliserons cette valeur.

Données :

$W_f = -6.825 \times 10^6 \text{ J}$
$d_{AB} = 55 \text{ km} = 55000 \text{ m}$

\begin{aligned} F_f &= -\frac{W_f}{d_{AB}} \\ &= -\frac{-6.825 \times 10^6 \text{ J}}{55000 \text{ m}} \\ &= \frac{6825000}{55000} \text{ N} \\ &\approx 124.09 \text{ N} \end{aligned}

Cette valeur est différente des 80 N donnés initialement, ce qui est normal car les vitesses $v_A$ et $v_B$ ont été fixées, imposant une certaine perte d'énergie et donc une certaine force de frottement moyenne sur la distance donnée.

La force de frottement moyenne, basée sur la perte d'énergie calculée et la distance de trajectoire, est $F_f \approx 124.09 \text{ N}$.

Quiz Intermédiaire

Glossaire des Termes Clés

Météorite :

Fragment d'un corps céleste (astéroïde, comète) qui atteint la surface de la Terre après avoir traversé l'atmosphère.

Énergie Cinétique ($E_c$) :

Énergie possédée par un corps en raison de son mouvement.

Énergie Potentielle de Pesanteur ($E_p$) :

Énergie stockée par un corps en raison de sa position dans un champ de pesanteur.

Énergie Mécanique ($E_m$) :

Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système.

Force de Frottement (Résistance de l'air) :

Force qui s'oppose au mouvement d'un objet se déplaçant dans un fluide (comme l'air).

Travail d'une Force ($W$) :

Transfert d'énergie effectué par une force lorsque son point d'application se déplace. Un travail résistant (négatif) enlève de l'énergie mécanique au système.

Théorème de l'Énergie Mécanique :

La variation de l'énergie mécanique d'un système est égale à la somme des travaux des forces non conservatives appliquées au système.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. La force de frottement de l'air sur une météorite dépend-elle de sa vitesse ? Si oui, comment cela compliquerait-il les calculs ?

2. Pourquoi les météorites s'échauffent-elles et deviennent-elles lumineuses (étoiles filantes) en entrant dans l'atmosphère ?

3. Si la météorite se fragmentait en plusieurs morceaux pendant sa descente, comment cela affecterait-il l'énergie totale des fragments par rapport à l'énergie de la météorite initiale (en négligeant la perte de masse par vaporisation) ?

4. Comment l'angle d'entrée de la météorite dans l'atmosphère influencerait-il sa trajectoire et la distance parcourue dans l'atmosphère ?

5. Recherchez ce qu'est la "vitesse de libération" pour la Terre. Quel est le lien avec l'énergie des objets qui s'approchent de la Terre depuis l'espace lointain ?

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Chute d’un météorite

Chute d'une Météorite

Données du Problème

Questions

Correction : Chute d'une Météorite

1. Conversion des Altitudes en Mètres

2. Calcul de l'Énergie Potentielle Initiale (\(E_{pA}\))

Quiz Intermédiaire

3. Calcul de l'Énergie Cinétique Initiale (\(E_{cA}\))

4. Énergie Mécanique Initiale (\(E_{mA}\))

Quiz Intermédiaire

5. Calcul de l'Énergie Potentielle de Pesanteur au Point B (\(E_{pB}\))

6. Calcul de l'Énergie Cinétique au Point B (\(E_{cB}\))

7. Énergie Mécanique Finale (\(E_{mB}\))

8. Variation d'Énergie Mécanique (\(\Delta E_m\))

Quiz Intermédiaire

9. Interprétation et Travail des Forces de Frottement (\(W_f\))

10. Calcul de la Force de Frottement Moyenne (\(F_f\))

Quiz Intermédiaire

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Réponses Correctes :

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