Exercices Physique Chimie

Calcul de la Diffraction à travers une Fente

Diffraction de la Lumière par une Fente

Diffraction de la Lumière par une Fente

Comprendre la Diffraction de la Lumière

La diffraction est un phénomène caractéristique des ondes qui se manifeste par l'étalement des directions de propagation de l'onde lorsqu'elle rencontre un obstacle ou une ouverture dont la dimension est du même ordre de grandeur que sa longueur d'onde. Pour la lumière, cela signifie que lorsqu'un faisceau lumineux passe à travers une fente très étroite, il ne continue pas en ligne droite mais s'étale et forme une figure de diffraction composée de taches lumineuses et sombres.

L'importance de la diffraction est d'autant plus marquée que la dimension de l'ouverture (ou de l'obstacle) est petite par rapport à la longueur d'onde de la lumière.

Données de l'étude

Un faisceau de lumière laser rouge, de longueur d'onde \(\lambda\), traverse une fente fine de largeur \(a\). La figure de diffraction est observée sur un écran placé à une distance \(D\) de la fente.

Informations et mesures :

  • Longueur d'onde de la lumière laser (\(\lambda\)) : \(650 \, \text{nm}\) (nanomètres)
  • Largeur de la fente (\(a\)) : \(0,050 \, \text{mm}\) (millimètres)
  • Distance entre la fente et l'écran (\(D\)) : \(2,5 \, \text{m}\) (mètres)

Rappels utiles :

  • \(1 \, \text{nm} = 10^{-9} \, \text{m}\)
  • \(1 \, \text{mm} = 10^{-3} \, \text{m}\)
Schéma : Diffraction par une Fente
Laser Fente (a) Écran L θ D

Schéma de la diffraction de la lumière par une fente de largeur \(a\), observée sur un écran à une distance \(D\). \(L\) est la largeur de la tache centrale et \(\theta\) son demi-angle d'ouverture.

Questions à traiter

  1. Convertir la longueur d'onde \(\lambda\) en mètres et la largeur de la fente \(a\) en mètres.
  2. Rappeler la relation entre l'écart angulaire \(\theta\) (demi-angle d'ouverture de la tache centrale de diffraction), la longueur d'onde \(\lambda\) et la largeur de la fente \(a\). Préciser l'unité de \(\theta\) dans cette formule.
  3. Calculer la valeur de l'écart angulaire \(\theta\) en radians.
  4. Convertir cet écart angulaire \(\theta\) en degrés. (Rappel : \(\pi \, \text{radians} = 180^\circ\)).
  5. Dans l'approximation des petits angles (où \(\tan \theta \approx \theta\) si \(\theta\) est en radians), la largeur de la tache centrale de diffraction \(L\) est donnée par la relation \(L = 2 D \theta\). Calculer la largeur \(L\) de la tache centrale sur l'écran.
  6. Comment la largeur de la tache centrale \(L\) varierait-elle si on utilisait une lumière bleue (longueur d'onde plus courte) tout en gardant \(a\) et \(D\) constants ? Justifier.

Correction : Diffraction de la Lumière par une Fente

Question 1 : Conversion des unités

Principe :

Il est essentiel d'utiliser des unités cohérentes (celles du Système International, SI) dans les calculs physiques. Ici, nous devons convertir les nanomètres (nm) et les millimètres (mm) en mètres (m).

Données spécifiques :
  • Longueur d'onde (\(\lambda\)) : \(650 \, \text{nm}\)
  • Largeur de la fente (\(a\)) : \(0,050 \, \text{mm}\)
Calculs :

Pour la longueur d'onde :

\[ \begin{aligned} \lambda &= 650 \, \text{nm} \\ &= 650 \times 10^{-9} \, \text{m} \\ &= 6,50 \times 10^{-7} \, \text{m} \end{aligned} \]

Pour la largeur de la fente :

\[ \begin{aligned} a &= 0,050 \, \text{mm} \\ &= 0,050 \times 10^{-3} \, \text{m} \\ &= 5,0 \times 10^{-5} \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(\lambda = 6,50 \times 10^{-7} \, \text{m}\) et \(a = 5,0 \times 10^{-5} \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : \(25 \, \mu\text{m}\) (micromètres) est égal à :

Question 2 : Relation pour l'écart angulaire \(\theta\)

Principe :

L'écart angulaire \(\theta\), qui correspond au demi-angle d'ouverture de la tache centrale de diffraction, est lié à la longueur d'onde \(\lambda\) de la lumière et à la largeur \(a\) de la fente.

Formule :

La relation est donnée par :

\[ \theta = \frac{\lambda}{a} \]

Dans cette formule, l'écart angulaire \(\theta\) est exprimé en **radians (rad)**. \(\lambda\) et \(a\) doivent être exprimés dans la même unité de longueur (généralement le mètre).

Résultat Question 2 : La relation est \(\theta = \lambda / a\), où \(\theta\) est en radians.

Quiz Intermédiaire 2 : Pour que le phénomène de diffraction soit bien visible, il faut généralement que la largeur de la fente \(a\) soit :

Question 3 : Calcul de l'écart angulaire \(\theta\) en radians

Principe :

On applique la formule \(\theta = \lambda / a\) en utilisant les valeurs converties en mètres.

Données spécifiques (converties) :
  • \(\lambda = 6,50 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
  • \(a = 5,0 \times 10^{-5} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \theta &= \frac{6,50 \times 10^{-7} \, \text{m}}{5,0 \times 10^{-5} \, \text{m}} \\ &= \frac{6,50}{5,0} \times 10^{-7 - (-5)} \\ &= 1,3 \times 10^{-2} \, \text{rad} \\ &= 0,013 \, \text{rad} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'écart angulaire est \(\theta = 0,013 \, \text{rad}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Si \(\lambda = 5 \times 10^{-7}\) m et \(a = 1 \times 10^{-4}\) m, alors \(\theta\) vaut :

Question 4 : Conversion de \(\theta\) en degrés

Principe :

Pour convertir un angle de radians en degrés, on utilise la relation de proportionnalité \(\pi \, \text{rad} = 180^\circ\).

Formule(s) de conversion :
\[ \theta_{\text{degrés}} = \theta_{\text{radians}} \times \frac{180^\circ}{\pi} \]
Données spécifiques :
  • \(\theta = 0,013 \, \text{rad}\)
  • \(\pi \approx 3,14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \theta_{\text{degrés}} &= 0,013 \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &\approx 0,013 \times \frac{180^\circ}{3,14159} \\ &\approx 0,013 \times 57,2958^\circ \\ &\approx 0,745^\circ \end{aligned} \]

(Arrondi à trois chiffres significatifs, \(\theta \approx 0,745^\circ\))

Résultat Question 4 : L'écart angulaire est \(\theta \approx 0,745^\circ\).

Quiz Q4 : Un angle de \(\pi/2\) radians correspond à :

Question 5 : Calcul de la largeur de la tache centrale (\(L\))

Principe :

Pour les petits angles (ce qui est généralement le cas en diffraction), on peut utiliser l'approximation \(\tan \theta \approx \theta\) (avec \(\theta\) en radians). La largeur \(L\) de la tache centrale est alors \(L = 2 \times \frac{L}{2} = 2 \times D \tan \theta \approx 2 D \theta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[L \approx 2 D \theta\]

(Avec \(\theta\) en radians)

Données spécifiques :
  • Distance fente-écran (\(D\)) : \(2,5 \, \text{m}\)
  • Écart angulaire (\(\theta\)) : \(0,013 \, \text{rad}\) (calculé à la question 3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L &\approx 2 \times 2,5 \, \text{m} \times 0,013 \, \text{rad} \\ &= 5,0 \, \text{m} \times 0,013 \\ &= 0,065 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en centimètres : \(0,065 \, \text{m} = 6,5 \, \text{cm}\).

Résultat Question 5 : La largeur de la tache centrale sur l'écran est \(L \approx 0,065 \, \text{m}\) (soit \(6,5 \, \text{cm}\)).

Quiz Q5 : Si \(\theta = 0,02\) rad et \(D = 3\) m, alors \(L\) vaut approximativement :

Question 6 : Effet d'une longueur d'onde plus courte

Principe :

L'écart angulaire \(\theta\) est directement proportionnel à la longueur d'onde \(\lambda\) (\(\theta = \lambda/a\)). La largeur de la tache centrale \(L\) est directement proportionnelle à \(\theta\) (\(L \approx 2D\theta\)).

Analyse :

La lumière bleue a une longueur d'onde plus courte que la lumière rouge.

Si \(\lambda\) diminue (passage au bleu) et que \(a\) et \(D\) restent constants :

  • L'écart angulaire \(\theta = \lambda/a\) diminuera.
  • Par conséquent, la largeur de la tache centrale \(L \approx 2D\theta\) diminuera également.
Résultat Question 6 : Si on utilisait une lumière bleue (longueur d'onde plus courte), l'écart angulaire \(\theta\) serait plus petit, et donc la largeur de la tache centrale \(L\) serait plus petite. La figure de diffraction serait moins étalée.

Quiz Q6 : Pour obtenir une tache centrale de diffraction plus large, avec la même distance D et la même lumière, il faut :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. La diffraction est un phénomène qui montre le caractère :

8. Dans la formule \(\theta = \lambda / a\), si \(\lambda\) est en mètres et \(a\) est en mètres, \(\theta\) est en :

9. Si la largeur de la fente \(a\) diminue, l'écart angulaire \(\theta\) de la tache centrale :

Glossaire

Diffraction
Phénomène par lequel une onde (lumineuse, sonore, etc.) passant par une ouverture ou contournant un obstacle s'étale et change de direction de propagation.
Onde Lumineuse
Propagation d'une perturbation électromagnétique. La lumière visible est une petite partie du spectre électromagnétique.
Longueur d'onde (\(\lambda\))
Distance spatiale sur laquelle le profil d'une onde périodique se répète. Pour la lumière, elle est souvent exprimée en nanomètres (nm).
Fente
Ouverture étroite par laquelle une onde peut passer.
Écart Angulaire (\(\theta\))
Dans le contexte de la diffraction par une fente, c'est le demi-angle d'ouverture de la tache centrale de diffraction, mesuré par rapport à la direction de propagation initiale de l'onde.
Tache Centrale de Diffraction
Région la plus large et la plus lumineuse de la figure de diffraction obtenue lorsqu'une onde passe par une fente.
Radian (rad)
Unité de mesure d'angle du Système International. Un tour complet correspond à \(2\pi\) radians, et \(180^\circ = \pi\) radians.
Nanomètre (nm)
Unité de longueur valant \(10^{-9}\) mètres. Souvent utilisée pour les longueurs d'onde de la lumière visible.
Millimètre (mm)
Unité de longueur valant \(10^{-3}\) mètres.
Diffraction de la Lumière par une Fente - Exercice d'Application (Physique Seconde)

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