Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie

Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie

Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie

Analyser les forces agissant sur un solide en mouvement sur un plan incliné et déterminer l'accélération de son centre d'inertie en appliquant la deuxième loi de Newton.

Le centre d'inertie (ou centre de masse) G d'un solide est un point particulier qui se comporte, du point de vue de la translation, comme si toute la masse du solide y était concentrée et comme si toutes les forces extérieures agissant sur le solide s'appliquaient en ce point.

La deuxième loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique) appliquée au centre d'inertie d'un solide de masse \(m\) s'écrit :

\[ \sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G \]

Où \(\sum \vec{F}_{ext}\) est la somme vectorielle de toutes les forces extérieures agissant sur le solide, et \(\vec{a}_G\) est l'accélération de son centre d'inertie.

Les forces courantes sont le poids \(\vec{P}\), la réaction normale du support \(\vec{N}\), et les forces de frottement \(\vec{f}\).

Données du Problème

Un skieur, assimilé à un solide, glisse sur une piste verglacée inclinée d'un angle \(\alpha\) par rapport à l'horizontale. On étudie le mouvement de son centre d'inertie G.

  • Masse du skieur (équipement compris) : \(m = 75.0 \text{ kg}\)
  • Angle d'inclinaison de la piste : \(\alpha = 25^\circ\)
  • Coefficient de frottement cinétique entre les skis et la glace : \(\mu_k = 0.080\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.80 \text{ m/s}^2\)
  • On donne : \(\sin(25^\circ) \approx 0.423\) et \(\cos(25^\circ) \approx 0.906\)
alpha G Skieur (m) x y P N f
Bilan des forces s'exerçant sur le centre d'inertie d'un skieur.

Questions

  1. Faire le bilan des forces extérieures s'exerçant sur le centre d'inertie G du skieur. Représenter ces forces sur un schéma clair sans souci d'échelle, en indiquant le repère d'étude (axes x et y, l'axe x étant parallèle à la pente et orienté vers le bas).
  2. Calculer la valeur du poids \(P\) du skieur.
  3. Déterminer les expressions littérales des coordonnées des forces dans le repère choisi.
  4. Calculer les valeurs numériques des composantes du poids : \(P_x\) (selon l'axe x) et \(P_y\) (selon l'axe y).
  5. En appliquant la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe y (perpendiculaire au mouvement), déterminer la valeur de la réaction normale \(N\) exercée par la piste.
  6. Calculer la valeur de la force de frottement cinétique \(f_k\).
  7. En appliquant la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe x (parallèle au mouvement), déterminer la valeur de l'accélération \(a_G\) du centre d'inertie du skieur.
  8. Si le skieur part du repos, quelle sera sa vitesse après avoir parcouru une distance \(d = 50 \text{ m}\) sur cette pente ?

Correction : Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie

1. Bilan des Forces et Schéma

Le système étudié est le skieur (assimilé à son centre d'inertie G). Le référentiel est terrestre, supposé galiléen. Les forces extérieures s'exerçant sur le skieur sont :

  • Le poids \(\vec{P}\) : vertical, vers le bas.
  • La réaction normale du support \(\vec{N}\) : perpendiculaire à la piste, vers le haut.
  • La force de frottement cinétique \(\vec{f}_k\) : parallèle à la piste, opposée au mouvement (donc vers le haut de la pente).

Le schéma a été fourni dans l'énoncé. On choisit un axe (Ox) parallèle à la pente, orienté vers le bas, et un axe (Oy) perpendiculaire à la pente, orienté vers le haut.

Forces : Poids (\(\vec{P}\)), Réaction normale (\(\vec{N}\)), Force de frottement (\(\vec{f}_k\)).

2. Calcul de la Valeur du Poids (\(P\))

\(P = m \cdot g\).

Données :

  • \(m = 75.0 \text{ kg}\)
  • \(g = 9.80 \text{ m/s}^2\)
\begin{aligned} P &= 75.0 \text{ kg} \times 9.80 \text{ m/s}^2 \\ &= 735 \text{ N} \end{aligned}

Le poids du skieur est \(P = 735 \text{ N}\).

3. Expressions Littérales des Coordonnées des Forces

On projette chaque force sur les axes (Ox) et (Oy). L'angle \(\alpha\) de la pente se retrouve entre la direction du poids \(\vec{P}\) (verticale) et l'axe (Oy) (perpendiculaire à la pente).

Coordonnées des forces :

  • Poids \(\vec{P}\) :
    • \(P_x = P \sin(\alpha)\)
    • \(P_y = -P \cos(\alpha)\) (dirigé selon -Oy)
  • Réaction normale \(\vec{N}\) :
    • \(N_x = 0\)
    • \(N_y = N\)
  • Force de frottement \(\vec{f}_k\) :
    • \(f_{kx} = -f_k\) (opposée au mouvement, donc selon -Ox)
    • \(f_{ky} = 0\)

\(\vec{P} : (P\sin\alpha, -P\cos\alpha)\)

\(\vec{N} : (0, N)\)

\(\vec{f}_k : (-f_k, 0)\)

Quiz Intermédiaire

Question : Si un vecteur force \(\vec{F}\) fait un angle \(\beta\) avec l'axe Ox, sa composante sur cet axe est :

4. Calcul des Valeurs Numériques des Composantes du Poids

On utilise les valeurs de \(P\) et \(\alpha\).

Données :

  • \(P = 735 \text{ N}\)
  • \(\alpha = 25^\circ\)
  • \(\sin(25^\circ) \approx 0.423\)
  • \(\cos(25^\circ) \approx 0.906\)

Composante \(P_x\) :

\begin{aligned} P_x &= P \sin(\alpha) \\ &\approx 735 \text{ N} \times 0.423 \\ &\approx 310.805 \text{ N} \end{aligned}

Composante \(P_y\) (sa valeur, la coordonnée est \(-P_y\)) :

\begin{aligned} P_y &= P \cos(\alpha) \\ &\approx 735 \text{ N} \times 0.906 \\ &\approx 665.91 \text{ N} \end{aligned}

Les composantes du poids sont :

  • \(P_x \approx 310.8 \text{ N}\)
  • \(P_y \approx 665.9 \text{ N}\) (valeur absolue)

5. Calcul de la Réaction Normale (\(N\))

Le mouvement se fait le long de la pente (axe Ox). Il n'y a pas de mouvement perpendiculaire à la pente (selon Oy). Donc, la somme des forces selon Oy est nulle : \(\sum F_y = 0\). D'après les projections : \(N_y + P_y = 0 \Rightarrow N - P\cos(\alpha) = 0\).

\begin{aligned} N &= P \cos(\alpha) \\ &\approx 665.91 \text{ N} \end{aligned}

La réaction normale est \(N \approx 665.9 \text{ N}\).

6. Calcul de la Force de Frottement Cinétique (\(f_k\))

\(f_k = \mu_k \cdot N\).

Données :

  • \(\mu_k = 0.080\)
  • \(N \approx 665.91 \text{ N}\)
\begin{aligned} f_k &\approx 0.080 \times 665.91 \text{ N} \\ &\approx 53.2728 \text{ N} \end{aligned}

La force de frottement cinétique est \(f_k \approx 53.27 \text{ N}\).

Quiz Intermédiaire

Question : La force de frottement cinétique s'exerçant sur un objet qui glisse sur un plan :

7. Calcul de l'Accélération (\(a_G\)) du Centre d'Inertie

On applique la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe (Ox) : \(\sum F_x = m \cdot a_G\). Les forces selon (Ox) sont \(P_x\) (positive) et \(f_k\) (négative). Donc \(P_x - f_k = m \cdot a_G\).

Données :

  • \(P_x \approx 310.805 \text{ N}\)
  • \(f_k \approx 53.2728 \text{ N}\)
  • \(m = 75.0 \text{ kg}\)
\begin{aligned} a_G &= \frac{P_x - f_k}{m} \\ &\approx \frac{310.805 \text{ N} - 53.2728 \text{ N}}{75.0 \text{ kg}} \\ &\approx \frac{257.5322 \text{ N}}{75.0 \text{ kg}} \\ &\approx 3.43376 \text{ m/s}^2 \end{aligned}

L'accélération du centre d'inertie du skieur est \(a_G \approx 3.43 \text{ m/s}^2\).

8. Vitesse en Bas de la Pente (\(v_f\))

Le skieur part du repos (\(v_0 = 0\)). On utilise la relation cinématique \(v_f^2 = v_0^2 + 2ad\), donc \(v_f = \sqrt{2ad}\).

Données :

  • \(a_G \approx 3.43376 \text{ m/s}^2\)
  • \(d = 100 \text{ m}\)
\begin{aligned} v_f^2 &\approx 2 \times 3.43376 \text{ m/s}^2 \times 100 \text{ m} \\ v_f^2 &\approx 686.752 \text{ (m/s)}^2 \\ v_f &\approx \sqrt{686.752} \\ v_f &\approx 26.20595 \text{ m/s} \end{aligned}

La vitesse du skieur en bas de la pente est \(v_f \approx 26.21 \text{ m/s}\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Le centre d'inertie d'un solide est un point :

Question 2 : La deuxième loi de Newton relie :

Question 3 : Si un objet glisse sans frottement sur un plan incliné, son accélération :

Question 4 : La force de frottement cinétique est proportionnelle à :

Glossaire des Termes Clés

Centre d'Inertie (G) :

Point d'un solide (ou d'un système de points matériels) qui se déplace comme si toute la masse du système y était concentrée et que la résultante des forces extérieures s'y appliquait.

Deuxième Loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie : \(\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G\).

Référentiel Galiléen :

Référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié. Le référentiel terrestre est souvent considéré comme galiléen pour des mouvements de courte durée.

Poids (\(\vec{P}\)) :

Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet.

Réaction Normale (\(\vec{N}\)) :

Force exercée par un support sur un objet, perpendiculaire à la surface de contact.

Force de Frottement Cinétique (\(\vec{f}_k\)) :

Force qui s'oppose au glissement d'un objet sur une surface. Sa norme est \(f_k = \mu_k N\).

Accélération (\(\vec{a}\)) :

Taux de variation du vecteur vitesse par rapport au temps.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment le choix du repère d'étude (orientation des axes) peut-il simplifier la résolution d'un problème de dynamique ?

2. Si le skieur n'était pas sur une piste verglacée mais sur une neige fraîche (\(\mu_k\) plus élevé), comment cela affecterait-il son accélération et sa vitesse finale ?

3. Quelles autres forces pourraient agir sur le skieur dans une situation plus réaliste (par exemple, la résistance de l'air) ? Comment affecteraient-elles le mouvement ?

4. Le centre d'inertie d'un skieur est-il toujours situé au même endroit par rapport à son corps, quelle que soit sa posture ? Expliquez.

5. Comment pourrait-on utiliser le théorème de l'énergie cinétique pour résoudre la question 7 de cet exercice ?

Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie

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