Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie

Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie

Comprendre l’Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie

Dans le cadre d’une étude sur la dynamique des systèmes en mouvement, une expérience est menée avec deux chariots sur une piste de glissement à air.

Les chariots, qui sont initialement au repos, sont reliés par un ressort léger. Un petit moteur électrique installé sur le premier chariot (chariot A) est activé pour tirer un troisième objet (une petite masse \(m\)) attachée par une corde passant par une poulie au bout de la piste, exerçant une force constante.

L’objectif de l’exercice est de déterminer comment le centre d’inertie du système évolue à partir du moment où le moteur est activé.

Pour comprendre le Calcul de la Force Gravitationnelle sur Mars, cliquez sur le lien.

Données:

  • Masse du chariot A, \(m_A = 500\) g
  • Masse du chariot B, \(m_B = 300\) g
  • Masse de l’objet tiré, \(m = 200\) g
  • Force exercée par le moteur, \(F = 2\) N
  • Distance totale de la piste, \(L = 2\) m
  • Distance initiale entre les chariots est de 50 cm (le ressort entre les chariots est initialement non déformé).
Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie

Questions:

1. Calculer la position initiale du centre d’inertie du système constitué par les chariots A et B.

2. Calculer l’accélération du système sous l’effet de la force \(F\) (en négligeant la résistance de l’air et les frottements) et déterminer la nouvelle position du centre d’inertie après 3 secondes.

3. Discuter comment l’introduction de la force externe par le moteur affecte le mouvement du centre d’inertie.

Correction : Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie

1. Position du centre d’inertie initial

Pour calculer la position initiale du centre d’inertie (\(CI\)) du système constitué par les chariots A et B, nous utilisons la formule du centre de masse:

\[ CI = \frac{\sum (m_i \cdot x_i)}{\sum m_i} \]

où \(m_i\) sont les masses des objets et \(x_i\) leurs positions respectives le long de l’axe (en mètres).

Pour \(m_A = 500 \text{ g} \) (0.5 kg) et \(m_B = 300 \text{ g} \) (0.3 kg), avec \(x_A = 0 \text{ m} \) (position de référence) et \(x_B = 0.5 \text{ m} \) (distance du chariot B par rapport à A):

\[ CI = \frac{0.5 \times 0 + 0.3 \times 0.5}{0.5 + 0.3} \] \[ CI = \frac{0.15}{0.8} \] \[ CI = 0.1875 \text{ m} \]

Le centre d’inertie initial se trouve donc à 0.1875 m de la position de départ du chariot A.

2. Forces et accélérations

a. Calcul de l’accélération

L’accélération \(a\) du système est déterminée par la deuxième loi de Newton,

\[ F = ma\]

où \(F\) est la force nette appliquée et \(m\) est la masse totale du système.

La masse totale du système incluant \(m_A\), \(m_B\), et \(m\) (200 g ou 0.2 kg) est:

\[ m_{\text{total}} = 0.5 + 0.3 + 0.2 \] \[ m_{\text{total}} = 1.0 \text{ kg} \]

La force \(F\) étant de 2 N, l’accélération est:

\[ a = \frac{F}{m_{\text{total}}} \] \[ a = \frac{2}{1.0} \] \[ a = 2 \text{ m/s}^2 \]

b. Nouvelle position du centre d’inertie après 3 secondes

La position du centre d’inertie après un temps \(t\) est donnée par l’équation du mouvement uniformément accéléré:

\[ x_{CI}(t) = x_{CI,0} + \frac{1}{2} a t^2 \]

Pour \(t = 3 \text{ s}\) et \(a = 2 \text{ m/s}^2\):

\[ x_{CI}(3) = 0.1875 + \frac{1}{2} \times 2 \times (3)^2 \] \[ x_{CI}(3) = 0.1875 + 9 \] \[ x_{CI}(3) = 9.1875 \text{ m} \]

Le centre d’inertie se trouve donc à 9.1875 m après 3 secondes.

3. Impact de la force externe

L’application de la force externe a pour effet d’accélérer le système, déplaçant le centre d’inertie vers l’avant sur la piste.

Ce résultat illustre comment la force externe modifie non seulement la vitesse mais aussi la position du centre d’inertie du système.

Ce phénomène est une application directe de la loi de Newton sur le mouvement et montre l’efficacité du principe de conservation de la quantité de mouvement dans un système isolé où les seules forces internes agissent normalement, mais ici modifiée par une force externe.

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