Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie

Le système étudié est le skieur (assimilé à son centre d'inertie G). Le référentiel est terrestre, supposé galiléen. Les forces extérieures s'exerçant sur le skieur sont :

• Le poids \(\vec{P}\) : vertical, vers le bas.
• La réaction normale du support \(\vec{N}\) : perpendiculaire à la piste, vers le haut.
• La force de frottement cinétique \(\vec{f}_k\) : parallèle à la piste, opposée au mouvement (donc vers le haut de la pente).

Le schéma a été fourni dans l'énoncé. On choisit un axe (Ox) parallèle à la pente, orienté vers le bas, et un axe (Oy) perpendiculaire à la pente, orienté vers le haut.

\(P = m \cdot g\).

Données :

• \(m = 75.0 \text{ kg}\)
• \(g = 9.80 \text{ m/s}^2\)

On projette chaque force sur les axes (Ox) et (Oy). L'angle \(\alpha\) de la pente se retrouve entre la direction du poids \(\vec{P}\) (verticale) et l'axe (Oy) (perpendiculaire à la pente).

Coordonnées des forces :

• Poids \(\vec{P}\) :
  • \(P_x = P \sin(\alpha)\)
  • \(P_y = -P \cos(\alpha)\) (dirigé selon -Oy)
• Réaction normale \(\vec{N}\) :
  • \(N_x = 0\)
  • \(N_y = N\)
• Force de frottement \(\vec{f}_k\) :
  • \(f_{kx} = -f_k\) (opposée au mouvement, donc selon -Ox)
  • \(f_{ky} = 0\)

On utilise les valeurs de \(P\) et \(\alpha\).

Données :

• \(P = 735 \text{ N}\)
• \(\alpha = 25^\circ\)
• \(\sin(25^\circ) \approx 0.423\)
• \(\cos(25^\circ) \approx 0.906\)

Composante \(P_x\) :

Composante \(P_y\) (sa valeur, la coordonnée est \(-P_y\)) :

Le mouvement se fait le long de la pente (axe Ox). Il n'y a pas de mouvement perpendiculaire à la pente (selon Oy). Donc, la somme des forces selon Oy est nulle : \(\sum F_y = 0\). D'après les projections : \(N_y + P_y = 0 \Rightarrow N - P\cos(\alpha) = 0\).

\(f_k = \mu_k \cdot N\).

Données :

• \(\mu_k = 0.080\)
• \(N \approx 665.91 \text{ N}\)

On applique la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe (Ox) : \(\sum F_x = m \cdot a_G\). Les forces selon (Ox) sont \(P_x\) (positive) et \(f_k\) (négative). Donc \(P_x - f_k = m \cdot a_G\).

Données :

• \(P_x \approx 310.805 \text{ N}\)
• \(f_k \approx 53.2728 \text{ N}\)
• \(m = 75.0 \text{ kg}\)

Le skieur part du repos (\(v_0 = 0\)). On utilise la relation cinématique \(v_f^2 = v_0^2 + 2ad\), donc \(v_f = \sqrt{2ad}\).

Données :

• \(a_G \approx 3.43376 \text{ m/s}^2\)
• \(d = 100 \text{ m}\)

Réponses Correctes :

Question 1 : b) Dont le mouvement décrit la translation du solide sous l'effet des forces extérieures.

Question 2 : b) La somme des forces extérieures à l'accélération du centre d'inertie.

Question 3 : c) Dépend de l'angle d'inclinaison et de \(g\) ( \(a = g \sin\alpha\) ).

Question 4 : b) La réaction normale du support.

Centre d'Inertie (G) :

Point d'un solide (ou d'un système de points matériels) qui se déplace comme si toute la masse du système y était concentrée et que la résultante des forces extérieures s'y appliquait.

Deuxième Loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie : \(\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G\).

Référentiel Galiléen :

Référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié. Le référentiel terrestre est souvent considéré comme galiléen pour des mouvements de courte durée.

Poids (\(\vec{P}\)) :

Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet.

Réaction Normale (\(\vec{N}\)) :

Force exercée par un support sur un objet, perpendiculaire à la surface de contact.

Force de Frottement Cinétique (\(\vec{f}_k\)) :

Force qui s'oppose au glissement d'un objet sur une surface. Sa norme est \(f_k = \mu_k N\).

Accélération (\(\vec{a}\)) :

Taux de variation du vecteur vitesse par rapport au temps.