Calcul de l’intensité du champ gravitationnel
Calculer l'intensité du champ gravitationnel créé par un astre et le poids d'un objet à sa surface.
Tout corps massif A crée autour de lui un champ gravitationnel. Ce champ est une propriété de l'espace qui décrit l'influence gravitationnelle que A exercerait sur un autre corps B placé en un point de cet espace.
L'intensité du champ gravitationnel (souvent appelée simplement "gravité" ou "accélération de la pesanteur" à la surface d'un astre) créée par un corps A de masse \(M_A\) en un point P situé à une distance \(d\) du centre de A est donnée par :
Où :
- \(g_P\) est l'intensité du champ gravitationnel au point P en Newtons par kilogramme (N/kg) ou en mètres par seconde carrée (m/s²).
- \(G\) est la constante de gravitation universelle, \(G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\).
- \(M_A\) est la masse du corps A (l'astre) en kilogrammes (kg).
- \(d\) est la distance entre le centre du corps A et le point P en mètres (m).
Le poids \(\vec{P}\) d'un objet de masse \(m\) placé en un lieu où règne un champ gravitationnel \(\vec{g}\) est la force gravitationnelle subie par cet objet : \(\vec{P} = m\vec{g}\). La valeur du poids est \(P = mg\).
Données du Problème
On s'intéresse à la planète Mars.
- Masse de Mars : \(M_{Mars} = 6.417 \times 10^{23} \text{ kg}\)
- Rayon équatorial de Mars : \(R_{Mars} = 3.3895 \times 10^6 \text{ m}\)
- Constante de gravitation universelle : \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
Un astronaute a une masse \(m_{astro} = 80 \text{ kg}\) (équipement compris).
Questions
- Rappeler l'expression littérale de l'intensité du champ gravitationnel \(g\) créé par un astre de masse \(M\) à une distance \(d\) de son centre.
- Calculer l'intensité du champ gravitationnel \(g_{Mars}\) à la surface de Mars.
- Calculer la valeur du poids \(P_{astro, Mars}\) de l'astronaute à la surface de Mars.
- Calculer l'intensité du champ gravitationnel \(g'_{Mars}\) à une altitude \(h = 1000 \text{ km}\) au-dessus de la surface de Mars. (Attention à la distance \(d\) à utiliser).
Correction : Calcul de l’intensité du champ gravitationnel
1. Expression Littérale de l'Intensité du Champ Gravitationnel
L'intensité du champ gravitationnel \(g\) créé par un astre de masse \(M\) en un point situé à une distance \(d\) de son centre est donnée par la loi de Newton.
Où \(G\) est la constante de gravitation universelle.
L'expression est \( g = G \frac{M}{d^2} \).
2. Calcul de l'Intensité du Champ Gravitationnel \(g_{Mars}\) à la Surface
À la surface de Mars, la distance \(d\) au centre de Mars est égale à son rayon \(R_{Mars}\).
Données :
\(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
\(M_{Mars} = 6.417 \times 10^{23} \text{ kg}\)
\(R_{Mars} = 3.3895 \times 10^6 \text{ m}\)
L'intensité du champ gravitationnel à la surface de Mars est \(g_{Mars} \approx 3.73 \text{ N/kg}\) (ou m/s²).
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3. Calcul du Poids de l'Astronaute sur Mars (\(P_{astro, Mars}\))
Le poids est donné par \(P = mg\).
Données :
\(m_{astro} = 80 \text{ kg}\)
\(g_{Mars} \approx 3.727 \text{ N/kg}\) (calculé à l'étape 2)
Le poids de l'astronaute à la surface de Mars est \(P_{astro, Mars} \approx 298 \text{ N}\).
4. Intensité du Champ Gravitationnel à une Altitude \(h\)
À une altitude \(h\), la distance au centre de Mars est \(d = R_{Mars} + h\). Attention à convertir \(h\) en mètres.
Données :
\(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
\(M_{Mars} = 6.417 \times 10^{23} \text{ kg}\)
\(R_{Mars} = 3.3895 \times 10^6 \text{ m}\)
\(h = 1000 \text{ km} = 1000 \times 10^3 \text{ m} = 1.0 \times 10^6 \text{ m}\)
Distance \(d\) du centre de Mars au point considéré :
Intensité du champ gravitationnel \(g'_{Mars}\) à cette altitude :
L'intensité du champ gravitationnel à 1000 km d'altitude au-dessus de Mars est \(g'_{Mars} \approx 2.22 \text{ N/kg}\).
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Glossaire des Termes Clés
Champ Gravitationnel (\(\vec{g}\)) :
Propriété de l'espace créée par un corps massif, décrivant l'influence gravitationnelle qu'il exerce. En un point, il est défini comme la force gravitationnelle qu'exercerait l'astre sur une masse unité placée en ce point.
Intensité du Champ Gravitationnel (g) :
Valeur (norme) du vecteur champ gravitationnel. Également appelée "accélération de la pesanteur" à la surface d'un astre. Unité : N/kg ou m/s².
Loi de la Gravitation Universelle :
Loi formulée par Newton qui décrit la force d'attraction entre deux corps massifs.
Poids (\(\vec{P}\)) :
Force gravitationnelle exercée par un astre sur un objet. \(\vec{P} = m\vec{g}\).
Masse (M ou m) :
Mesure de la quantité de matière d'un corps. Unité : kg.
Constante de Gravitation Universelle (G) :
Constante physique fondamentale, \(G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\).
Altitude (h) :
Hauteur par rapport à la surface d'un astre.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Quelle est la différence fondamentale entre la masse d'un objet et son poids ?
2. L'intensité du champ gravitationnel terrestre est d'environ \(9.8 \text{ N/kg}\) à la surface. Pourquoi cette valeur est-elle souvent appelée "accélération de la pesanteur" ?
3. Comment varie le poids d'un astronaute lorsqu'il s'éloigne de la Terre pour aller vers la Lune ?
4. Qu'est-ce qu'un satellite géostationnaire ? À quelle altitude doit-il orbiter pour rester au-dessus du même point de la Terre ? (Cela fait intervenir d'autres concepts que la simple formule de g).
5. La Terre n'est pas une sphère parfaite et sa densité n'est pas uniforme. Comment ces facteurs affectent-ils localement l'intensité du champ gravitationnel terrestre ?
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