Analyse de l’Orbite d’une Exoplanète
Comprendre l’Analyse de l’Orbite d’une Exoplanète
Les exoplanètes, ou planètes extrasolaires, sont des planètes qui orbitent autour d’étoiles autres que notre Soleil.
Leur étude peut nous aider à comprendre la formation des systèmes planétaires et la possibilité de vie ailleurs dans l’univers.
Pour cet exercice, les élèves utiliseront des données réelles pour calculer la période orbitale d’une exoplanète hypothétique basée sur la loi de Kepler.
Données :
- Masse de l’étoile (M) : 1.2 fois la masse du Soleil (M☉).
- Distance de l’exoplanète à son étoile (d) : 0.7 unités astronomiques (UA).
- Vitesse orbitale de l’exoplanète (v) : 35 km/s.
Questions :
1. Calcul de la période orbitale : Utilisez la troisième loi de Kepler pour calculer la période orbitale (T) de l’exoplanète.
- Convertissez la distance de l’UA en mètres (1 UA = 149.6 \(\times 10^9\, \text{m}\)).
- Calculez le demi-grand axe en mètres.
- Déduisez \( en secondes, puis convertissez-le en années terrestres.
2. Vérification par la vitesse orbitale : Vérifiez la cohérence de votre résultat en utilisant la vitesse orbitale donnée.
- Comparez cette vitesse calculée à celle donnée dans l’exercice.
3. Discussion :
- Discutez de l’influence de la masse de l’étoile sur la période orbitale de l’exoplanète.
- Expliquez comment des changements dans la distance orbitale pourraient affecter la période orbitale.
Correction : Analyse de l’Orbite d’une Exoplanète
1. Calcul de la période orbitale (T)
La période orbitale est le temps qu’il faut à une planète pour compléter une orbite complète autour de son étoile. Selon la troisième loi de Kepler, cette période dépend du demi-grand axe de l’orbite de la planète et de la masse combinée de l’étoile et de la planète. La formule utilisée ici prend en compte que la masse de l’exoplanète est négligeable par rapport à celle de son étoile.
Formule :
\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3 \]
Données :
- \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\) (constante gravitationnelle)
- \(M = 1.2 \times M_{\odot}\)
- \(M_{\odot} = 2 \times 10^{30} \, \text{kg}\) (masse du Soleil)
- \(a = 0.7 \, \text{UA} = 0.7 \times 149.6 \times 10^9 \, \text{m} = 1.0472 \times 10^{11} \, \text{m}\) (distance de l’exoplanète à son étoile)
Calcul :
\[ M = 1.2 \times 2 \times 10^{30} \, \text{kg} \] \[ M = 2.4 \times 10^{30} \, \text{kg} \]
\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{6.674 \times 10^{-11} \times 2.4 \times 10^{30}} (1.0472 \times 10^{11})^3 \] \[ T = \sqrt{3.077 \times 10^{14}} \, \text{s} \approx 1.754 \times 10^7 \, \text{s} \] \[ T \approx \frac{1.754 \times 10^7}{3600 \times 24 \times 365.25} \] \[ T \approx 0.556 \, \text{ans} \]
2. Vérification par la vitesse orbitale (v)
La vitesse orbitale peut être utilisée pour confirmer la période orbitale calculée. Si la vitesse orbitale calculée concorde avec la vitesse donnée, cela confirme l’exactitude des calculs précédents.
Formule :
\[ v = \frac{2\pi a}{T} \]
Calcul :
\[ v = \frac{2\pi \times 1.0472 \times 10^{11} \, \text{m}}{1.754 \times 10^7 \, \text{s}} \] \[ v \approx 37.41 \, \text{km/s} \]
La vitesse calculée (37.41 km/s) est légèrement supérieure à la vitesse donnée (35 km/s). Cette différence peut être due à des approximations dans les valeurs ou des effets non pris en compte dans le modèle simplifié.
3. Discussion
- Influence de la masse de l’étoile :
Une augmentation de la masse de l’étoile entraînerait une diminution de la période orbitale, car l’attraction gravitationnelle serait plus forte, ce qui accélérerait la vitesse de l’exoplanète.
- Changements dans la distance orbitale :
Une augmentation de la distance orbitale augmenterait la période orbitale, car la planète aurait un chemin plus long à parcourir et la force gravitationnelle serait réduite à une distance accrue, diminuant ainsi la vitesse orbitale.
Analyse de l’Orbite d’une Exoplanète
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