Mouvement d’une boîte sur un plan incliné

Mouvement d’une boîte sur un plan incliné

Comprendre le Mouvement d’une boîte sur un plan incliné

Une boîte de masse \(m = 5\, \text{kg}\) est placée sur un plan incliné rugueux faisant un angle \(\theta = 30^\circ\) avec l’horizontale.

Le coefficient de frottement cinétique entre la boîte et le plan incliné est \(\mu_k = 0.4\).

Questions:

1. Calcul de la composante parallèle de la force gravitationnelle :
Déterminez la composante de la force gravitationnelle agissant parallèlement au plan incliné.

2. Calcul de la force de frottement :
Calculez la force de frottement qui s’oppose au mouvement de la boîte.

3. Force nette et accélération :
Déterminez la force nette agissant sur la boîte et calculez son accélération.

4. Vitesse finale :
Si la boîte se déplace sur une distance de \(d = 3\, \text{m}\) le long du plan incliné, quelle est sa vitesse à la fin de cette distance, en supposant qu’elle part du repos?

Données utiles:

  • Poids de la boîte : \(P = m \cdot g\) (où \(g = 9.81\, \text{m/s}^2\) est l’accélération due à la gravité).

Correction : Mouvement d’une boîte sur un plan incliné

1. Calcul de la composante parallèle de la force gravitationnelle (Poids)

La composante parallèle de la force gravitationnelle, \(P_{\parallel}\), est donnée par :

\[ P_{\parallel} = mg \sin(\theta) \]

Substituons les valeurs :

\[ P_{\parallel} = 5 \times 9,81 \times \sin(30^\circ) \] \[ P_{\parallel} = 5 \times 9,81 \times 0,5 \] \[ P_{\parallel} = 24,525 \, \text{N} \]

2. Calcul de la force de frottement

La force normale, \(N\), est donnée par :

\[ N = mg \cos(\theta) \] \[ N = 5 \times 9,81 \times \cos(30^\circ) \] \[ N = 5 \times 9,81 \times 0,866 \] \[ N = 42,436 \, \text{N} \]

La force de frottement, \(F_f\), est donc :

\[ F_f = \mu_k \cdot N \] \[ F_f = 0,4 \times 42,436 \] \[ F_f = 16,9744 \, \text{N} \]

3. Calcul de la force nette et de l’accélération

La force nette, \(F_{net}\), est la différence entre la composante parallèle de la gravité et la force de frottement :

\[ F_{net} = P_{\parallel} – F_f \] \[ F_{net} = 24,525 – 16,9744 \] \[ F_{net} = 7,5506 \, \text{N} \]

L’accélération, \(a\), est donnée par :

\[ a = \frac{F_{net}}{m} \] \[ a = \frac{7,5506}{5} \] \[ a = 1,51012 \, \text{m/s}^2 \]

4. Calcul de la vitesse finale

Utilisant la formule du mouvement uniformément accéléré :

\[ v = \sqrt{2 \cdot a \cdot d} \] \[ v = \sqrt{2 \cdot 1,51012 \cdot 3} \] \[ v = \sqrt{9,06072} \] \[ v = 3,009 \, \text{m/s} \]

Conclusion

À la fin de la descente sur le plan incliné, la boîte atteint une vitesse de \(3,009 \, \text{m/s}\). Cet exercice montre comment les différentes forces interagissent sur un corps en mouvement sur un plan incliné, prenant en compte à la fois la gravité et les forces de frottement.

Mouvement d’une boîte sur un plan incliné

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